§6. Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместимых событий равна сумме их вероятностей.

Докажем теорему для двух событий. Пусть из общего числа n единственно возможных, равновозможных и несовместимых случаев событию A благоприятствуют k случаев, а событию В – m случаев. Тогда вероятность этих событий

;.(4)

Сумме событий А + В благоприятствуют k + m случаев из n, поэтому вероятность события А + В есть

.

Очевидно

.

Принимая во внимание формулы (4), получаем

P(A + В) = P(A) + P(В) (5)

Далее методом математической индукции можно показать, что теорема сложения вероятностей справедлива для любого конечного числа несовместимых событий:

P(A₁ + А₂ + … + А_n) = P(A₁) + P(А₂) + … + P(А_n).

Говорят, что события образуют полную группу, если сумма вероятностей этих событий равна 1.

Обозначим через событие противоположное событиюА (т.е. если А происходит, то событие нет). Два противоположных события всегда образуют полную группу:

.

Отсюда

(6)

Если события A и В совместны, то теорема сложения (5) усложняется и принимает вид

P(A + В) = P(A) + P(В) – P(AB). (7)

Вероятность суммы трех совместных событий A, B, C находится уже по формуле

P(A + В + C) = P(A) + P(В) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC).

§7. Теорема умножения вероятностей

Пусть A и B наблюдаемые события в эксперименте, причем

P(A)  0.

Определение. Вероятность события A, найденная в предположении, что событие B наступило, называется условной вероятностью события A относительно события B.

Условную вероятность события А относительно события B будем обозначать символом P(A/В).

Теорема. Вероятность произведения событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого относительно взятого первым, т.е.

P(AВ) = P(A)  P(В/А) или P(AВ) = P(В)  P(А/В) (8)

Доказательство. Пусть их общего числа n единственно возможных, равновозможных и несовместимых случаев событию A благоприятствуют m случаев, из которых k благоприятствуют событию B. Тогда вероятность события В относительно события A есть P(В/А) = k / m.

Так как произведение AB событий A и B заключается в их совместном наступлении, то событию AB благоприятствуют k случаев из n и поэтому

.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на m, получим

,

что и требовалось доказать.

События A и B называются независимыми, если вероятность одного из них не изменяется при наступлении другого. Если события независимы, то формулы (8) принимают вид

P(AВ) = P(A)  P(В) = P(В)  P(А).

Для нахождения условной вероятности одного из событий относительно другого могут быть использованы формулы (8). Так как условная вероятность события A относительно события В равна

. (9)

Рассмотрим примеры решения задач на теоремы сложения и умножения.

§8. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Пусть задана полная группа попарно несовместных событий Н₁, Н₂, Н₃, …, Н_n, т.е. сумма этих событий есть достоверное событие P(Н₁) + P(Н₂ ) + … + P(Н_n ) = 1. Событие А может появиться только вместе с одним из событий Н, т.е.

А = = А Н₁ + А Н₂ +… + А Н_n .

Тогда вероятность наступления события А может быть подсчитана по формуле

Р(А)==Р(Н₁)Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)Р(А/Н₂)+…+ Р(Н_n)Р(А/Н_n) . (10)

Равенство (10) получило название формулы полной вероятности. События Н_i принято называть гипотезами по отношению к событию А. Если теперь в результате проведения опыта зафиксировано событие А, то это позволяет переоценить вероятности гипотез по формулам:

Р(Н_i / А) = , (11)

Где Р(А) – полная вероятность осуществления события А.

Равенство (11) получило название теоремы гипотез или Формулы Байеса.