- •5 Анализ систем саРиУ
- •5.1 Понятие об устойчивости систем регулирования
- •5.2 Критерий устойчивости Гурвица
- •5.3 Критерий устойчивости Михайлова
- •5.4 Построение областей устойчивости. D-разбиение
- •5.5 Критерий устойчивости Найквиста
- •5.6 Определение устойчивости по логарифмическим
- •5.7 Устойчивость двумерных систем с антисимметричными связями
5.7 Устойчивость двумерных систем с антисимметричными связями
В практике встречаются двумерные системы регулирования с антисимметричными связями. Структурная схема такой системы изображена на рис. 5.28. Она содержит два идентичных канала с одинаковыми передаточными функциями и антисимметричные связи. К такому виду сводятся некоторые гироскопические устройства, двухканальные системы слежения и др.
Рис. 5.28 |
Рис. 5.29 |
Матрица-столбец выходных (регулируемых) величин связана с матрицей столбцом ошибок выражением
(5.38)
Характеристическое уравнение замкнутой системы:
(5.39)
где I – единичная матрица 2×2.
Уравнение (5.39) можно представить в другом виде:
(5.40)
где корни уравнения (5.39)
(5.41)
Исследование (5.40) сводится к рассмотрению двух уравнений: и .Формально здесь может быть использован, например критерий Найквиста, но вместо точки комплексной плоскости (–1, j0), которая соответствует обычной записи характеристического уравнения , необходимо рассматривать две точки, соответствующие комплексным числам λ1 и λ2.
На рис. 5.29 изображена комплексная плоскость, на которой построены а. ф. х. частотной передаточной функции и комплексные числа, соответствующие λ1 и λ2. Замкнутая система будет устойчивой, если а. ф. х. устойчивого или нейтрально-устойчивого в разомкнутом состоянии одного изолированного канала не будет охватывать точек комплексной плоскости, соответствующих λ1 и λ2.
Колебательная граница устойчивости будет иметь место, если выполняется одно из равенств: или .
Из (6.41) нетрудно видеть, что при а = 0 обе точки стягиваются в одну точку λ1 = λ2= -1, что соответствует обычной формулировке критерия Найквиста.
Другой метод расчета устойчивости заключается в том, что вводятся в рассмотрение комплексные величины
(5.42)
Матричная зависимость (5.38) дает два равенства
(5.43)
Умножая второе равенство на j и складывая, получаем для комплексных величин
(5.44)
Здесь введена эквивалентная передаточная функция разомкнутой двумерной системы
(5.45)
Для дальнейшего расчета может использоваться критерий Найквиста в своей обычной формулировке. Однако при построении а. ф. х. частотной передаточной функции Wэ (jω) она оказывается повернутой по сравнению с исходной а. ф. х. величины W0 (jω) почасовой стрелке на угол α =arctg а. Это соответствует введению дополнительного фазового сдвига, что приближает а. ф. х. к точке (–1, j0) и снижает запас устойчивости (рис. 5.30, а). Кроме, того, mod Wэ (jω) оказывается в раз большеmod W0 (jω), что также способствует снижению запаса устойчивости.
Рис. 5.30
При а < 0 поворот а. ф. х. будет против часовой стрелки и к точке (–1,j0) будет приближаться верхняя ветвь а. ф. х., соответствующая отрицательным частотам (рис. 5.30, б). Это также соответствует снижению запаса устойчивости.
Заметим, что и в случае перехода к комплексным величинам у* и х* по произвести расчет по а. ф. х. исходной одноканальной системы W0 (jω). В этом случае колебательная граница устойчивости будет при выполнении условия
(5.46)
Условие (5.46) сводится к равенству
(5.47)
что согласуется с первым методом расчета устойчивости.
Рассмотренные методы позволяют упростить определение устойчивости двумерной системы по сравнению с использованием результирующего характеристического уравнения (5.39), так как требуют рассмотрения передаточной функции W0 (р) одного изолированного канала