a b

2 2 22

8 2 2

SABC

1

2

2 2 .

2

h

3Vпир

3 2

3

2 лин. ед.

SABC

2

Упражнения для самоконтроля

1.

Векторы

a , b , c

взаимно перпендикулярны. Зная, что

a

4 ,

b

2 ,

c

3, найти смешанное произведение abc .

"

2. Векторы a , b , c образуют левую тройку, взаимно перпендикулярны

У

и

a

3,

b

5,

c

Г

2. Найти abc .

Н

"

3. Вектор c перпендикулярен к векторам a

З

Уи b , угол между a и b ра-

0

В

вен 30

. Зная, что

a

6 ,

b

3,

c

3, вычислить abc .

к

и

векторов:

4. Найти смешанное произведение заданныхт

е

а

ua

а) a i 2 j k ,

c

i 6 j 4k ;

b i 2 jм 2.k ,

м

т

org

б) a i ,

b j ,

c k ;

а

.

г) a 4; 7; 8 ,

b 6;matem4; 5 ,

c 1; 2; 3 .

й

k ,

5i 4 j 3k ;

в) a 4i 3 j 9k , еb i

c

ш

с

ы

в

5. Определить, какой тройкой (правой или левой ) являются заданные

тройки векторов:

а

р

д

е

b 2; 1; 1 ,

c 1; 2; 2 .

ф

а) a 1; 1; 2 ,

а

К

2 j k ,

b 2i

j k ,

c 5i j 2k ;

б) a i

в) a 3; 2; 1 ,

b 2; 3; 1 ,

c 1; 2; 3 .

6. Установить, компланарны ли векторы:

а) a

3; 2; 2 ,

b

1; 1;3 ,

c 1; 9; 11 .

б) a 3; 2; 1 ,

b 2; 1; 2 ,

c 3; 1; 2 .

7. При каком значении векторы a , b , c компланарны?

а) a

2; ; 1 ,

b 1; 1;3 ,

c 1; 9; 11 .

б) a 3; ; 1 ,

b

; 2; 3 ,

c 3; 4; 7 .

8. Выяснить, лежат ли точки

A 1; 2; 1 ,

B 0;3; 5 ,

C 1; 2; 1 и

D 2; 1; 3 в одной плоскости.

и c :

3; 6; 3 ,

b 1; 3; 2 ,

c 2; 2; 2 ;

а) a

б) a 3i

4

j ,

b 3 j k ,

c 2 j 5k .

11. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами в точках:

A 3; 2; 5 ,

B 1;3;1

, C 1; 1; 3

и D 4;3; 4 .

12. Даны

вершины

тетраэдра

A 2; 3; 1 , B 4; 1; 2 ,

C 6; 3; 7 и

D 5; 4; 8 . Найти длину высоты, опущенной из вершины D .

13. Объем пирамиды V 5 , три ее вершины лежат"в точках A 2; 1; 1 ,

У

Г

B 3;0; 1 , C 2; 1; 3 . Найти координаты четвертой вершины D , если извест-

Н

но, что она лежит на оси Оу.

"

З

У

Указание: точка, лежащая на оси Оу, имеетВкоординаты 0; y; 0 .

Г

14. Установить, образуют ли векторы

и

кa , b и c базис:

а) a 2; 3; 1 ,

и

т

c 1; 9; 11 ;

b 1; 1; 3 ,

а

м

.

б) a 3; 2; 1 ,

b 2; 1;е2 ,

ua

c 3; 1; 2 .

т

а

.

org

15. Доказать, что векторы a ,мb и c

образуют базис и разложить вектор

d по этому базису:

й

е

ш

a 0; 5; 7 ,

с

d 20; 27; 35 .

b 3; 2;matem1 , c 1; 5; 3 ,

ы

в

16. Доказать тождества:

р

а) a

b bд c

c

a

2abc ;

е

ф

c a 2b c

3abc ;

б) a b а a b

К

в) a c b a b abc .

Ответы

1. 24 .

2.

30 .

3. 27 .

4.

а) 12 ; б) 1;

в)

46;

г) 19 .

5. а) правая; б) векторы компланарны;

в) левая.

6. а) да; б)

нет.

7. а)

3 ;

б) 1

1, 2

12 7 .

8.

Да.

9. SABCD 2

74 .

10. а) V 18;

б) V 51.

11.

V 6 .

12. h 11.

13.

D 0; 8; 0

или

D 0; 7; 0 .

14. а) нет;

б) да.

15. d 5a 6b 2c .

1987. 352 с.

"

7. Сборник задач по математике / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидо-

У

Г

вича. М.: Наука, 1971. 328 с.

Н

"

З

8. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Нау-

ка, 1969. 255 с.

У

В

Г

9. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.

и

к

М.: Наука, 1966. 336 с.

и

т

10. Гусятников П.Б., Резниченко Са.В. Векторная алгебра в примерах и

задачах. М.: Высш. шк., 1985.

м

.ua

232 се.

м

т

org

а

.

ы

matem

й

е

ш

в

с

а

р

д

е

ф

а

К

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Базис 19

в пространстве

20

на плоскости

20

Векторы коллинеарные

5

компланарные

5

линейно независимые

18

противоположные

6

"

равные

5

Координаты вектора

21, 22

У

Г

Н

точки

21

"

З

Линейная комбинация векторов

18

У

В

Модуль вектора

5

Г

и

Направляющие косинусы

23

к

и

т

е

а

ua

Орты 20

т

м

.