BIS4_matem_org_ua
.pdfе3 |
|
A |
(рис. 2.6). Очевидно, что а |
|
|
|
|
|
ОА ОР РА . Век- |
||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
е2 |
|
тор ОР компланарен с векторами е1, е2 . Согласно |
||||
|
|
|
е2 . Вектор |
|
|||
О |
|
P |
теореме 1 ОР= 1е1 2 |
РА колли- |
|||
е1 |
неарен вектору е3 по построению. Следовательно, |
||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.6 |
|
найдется число 3 такое, что РА 3е3. Имеем |
|||||
|
|
|
а 1е1 2е2 3е3 , |
|
|
(2.5) |
т.е. получено разложение произвольного вектора а по системе линейно неза- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
висимых векторов е1, е2 , е3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
, е называют |
|||||||||||||||||
Упорядоченную тройку некомпланарных векторовУе , е |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|||
базисом в пространстве. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Числа , |
|
, |
|
|
в (2.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
3 |
и (2.5) координаты вектора а в данном ба- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
зисе. Записывают |
|
|
а 1 , 2 |
, 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
базиса |
каждому |
вектору |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Посредством |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
чисел (два на плоскости, три |
|||||||||||||||||||
ставится в соответствие упорядоченный набори |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в пространстве) координаты вектора и наоборот. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Имеют место следующие свойстева: |
|
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
все его координаты умножаются на |
|||||||||||||||||||||||||||
1. При умножении вектора на число. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
это число: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
а |
|
е |
|
|
еш |
3 |
е |
3 |
1 |
е |
2 |
е |
2 |
3 |
е |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
2с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
соответствующие координаты в данном бази- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. При сложении векторова |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
се складываются: |
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
b |
ф |
e |
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а |
|
1 1 |
|
|
|
е |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
е |
1 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
К |
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
3 |
|
3 |
е . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2.3. Декартова система координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть в пространстве задан базис |
|
е1, е2 , е3, |
отнесенный к некоторой |
фиксированной точке О. Совокупность точки О и базиса образует декарто-
ву систему координат. Точка О ее начало (рис. 2.7).
Наиболее распространена прямоугольная система координат. В каче-
стве ее базиса в пространстве принимают три взаимно перпендикулярных единичных вектора: e1 i , e2 j , e3 k орты (рис. 2.8). Направленные
вдоль этих ортов оси называют: Ох ось абсцисс, Оу ось ординат, Oz ось аппликат.
20
|
|
е3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
О |
|
|
|
|
е2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
k |
|
y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
е1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Рис. 2.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.8 |
|||||||||
В дальнейшем будем рассматривать только прямоугольную систему ко- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ординат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произвольной точке М пространст- |
||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ва можно поставить в соответствие век- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М(х,у,z) |
|
тор |
r |
OM , |
"выходящий из точки О. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Его |
|
|
|
|
У |
|
радиус-вектором точки |
||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называют |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М. |
|
|
|
|
В |
|
|
|
вектора |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РазложениеГ |
r по базису за- |
||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
в виде |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
писываютк |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
а |
.ua |
r x i y j z k . |
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
org |
x, y, z |
|
(координаты вектора r ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тЧисла |
|
|||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являются проекциями этого вектора на |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
координатные оси (рис. 2.9). Их вместе с |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
тем называют координатами точки М. |
||||||||||||||||||
|
|
|
Рис. 2.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
Записывают M x, y,z , |
r x, y,z , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
т.е. координаты точки |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ри ее радиус-вектора совпадают. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Применяя теорему Пифагора (рис. 2.9), получаем формулу для вычисле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния длины радиуса-вектора по его координатам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Вектор в прямоугольной системе координат. Пусть a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB произ- |
вольный вектор в пространстве (рис. 2.10), разложение которого по ортам имеет вид
a ax i a y j az k , |
|
(2.6) |
|
а точки А и В заданы своими координатами A x1 , y1 ,z1 , B x2 , y2 ,z2 . |
|||
Тогда радиус-векторы точек А и В: |
|
|
|
|
|
j |
z2k . |
OA x1i y1 j z1k , |
OВ x2i y2 |
||
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ax |
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
у |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.10 |
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
j |
z |
|
|
k x i |
y |
j |
z k |
||||||||||||||||||||||||
Очевидно, a AB OB OA x |
|
i мy |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
е |
|
|
.ua |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
.yorgj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
z |
|
|
z k . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x i мy |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
й |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая эту запись с формулой (2.6), заключаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ax x2 |
|
ы |
, |
|
|
|
y1 |
, |
|
|
|
|
az z2 |
z1 . |
(2.7) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
вx1 |
|
a y |
|
y2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образоме, чтобы найти координаты вектора (его проекции на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
координатные осиф), достаточно из координат конца вектора вычесть со- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ответствующие координаты его начала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Пусть a ax ,ay ,az , |
b bx ,by ,bz произвольные векторы. Спра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ведливы соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) a b |
a |
x |
,a |
y |
,a |
z |
|
b ,b |
|
,b a |
x |
b |
,a |
y |
b |
y |
,a |
z |
b ; (2.8) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
||||||||||||||
2) a ax ,ay ,az ax , ay , az |
|
|
, |
|
|
|
число; |
|
|
|
(2.9) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
a |
|
|
a2x a2y az2 |
длина вектора; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.10) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
a b |
|
|
|
ax bx , ay |
by , az bz ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.11) |
22
5) a b |
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
ax |
bx , ay |
by , az bz |
или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
a y |
|
a |
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.12) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Соотношение (2.12) называют условием коллинеарности векторов. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Направление вектора в пространстве. Направление вектора |
a в про- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
странстве определяется углами , и |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, которые вектор образует с осями |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координат (рис. 2.11). Косинусы этих |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
углов ( cos , |
cos и cos ) называ- |
||||||||||||||||||||||||||
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ют |
|
направляющими косинусами. Со- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гласно формуле (2.1) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
np |
"aН |
|
a |
|
cos , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
У |
|
a |
a |
|
cos , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
np |
|
|
|
||||||||||||
ax |
|
|
|
|
ay |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
В |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
cos , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кaz npza |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
а |
|
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Рис. 2.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
|
|
м |
|
|
|
|
a y |
|
|
|
|
|
|
|
az |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
й |
cos |
|
|
|
|
|
|
, |
cos |
|
|
. |
(2.13) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Возводя каждое из равенств |
(2.13) в квадрат и складывая их, с учетом форму- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лы (2.10) имеем |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
д |
|
|
cos2 |
cos2 cos2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
(2.14) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (2.14) следует, что из трех углов , и произвольно можно задать |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
только два. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для единичного вектора a0 , |
который по направлению совпадает с век- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= 1), из (2.13) вытекает, что |
|||||||||||||||||
тором a , но имеет длину, равную единице ( a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos ax0 , |
|
|
|
|
cos a0y , |
|
|
|
|
cos az0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, координатами единичного вектора служат его направ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ляющие косинусы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i cos j cos k cos . (2.15) |
||||||||||||||||||||||||
a0 |
cos , cos , cos |
|
|
|
или |
|
a0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Деление отрезка в заданном отношении. |
|
Пусть точка |
M x, y,z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
делит отрезок |
между точками |
|
|
|
A x1, y1,z1 |
|
|
|
|
и |
|
B x2 , y2 ,z2 в отношении |
23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
AM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. |
2.12). Тогда АМ МВ. |
|||||||||||||||||||||||||
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MB |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x1, y y1,z z1 , |
|
||||||||||||
А |
Рис. 2.12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АМ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x, y2 y,z2 z . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МB |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из равенства векторов А |
М и |
МB следует равенство их одноименных коор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
динат (2.11), т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x x1 x2 x , |
|
y y1 y2 y , |
|
z z1 z2 z , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
откуда следуют формулы, определяющие координаты точки М: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y y |
|
|
|
|
|
|
z |
|
У |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Г z |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
z |
"Н |
|
|
|
|
|
. |
(2.16) |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При делении отрезка пополам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
для середины отрезка |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1. ПоэтомуГ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
к |
|
|
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
yи |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
, |
y |
|
|
|
1 |
т2 |
|
, |
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(2.17) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ua |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
м2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a.org3; 2; 6 и b 2; 1; 0 . Найти |
||||||||||||||||||||||||
Пример 2.5. Даны два векторам |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
координаты векторов: а) |
a |
bш; б) |
|
|
|
b ; в) |
|
2a ; г) |
|
|
|
b |
; д) 2a 3b . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Сумму и разность векторов можно найти, используя формулу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2.8): |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b 3; 2; 6 2; 1; 0 3 2; 2 1; 6 0 1; 1; 6 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
К |
|
2; 6 2; 1; 0 3 2; 2 1; 6 0 5; 3; 6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) a |
b 3; |
Согласно формуле (2.9) при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Поэтому имеем:
в) 2a 2 3; 2; 6 2 3; 2 2 ; 2 6 6; 4; 12 г) 12 b 12 2; 1; 0 1; 12; 0 .
По тем же формулам (2.8) и (2.9) можно найти линейную комбинацию векторов:
д) 2a 3b 2 3; 2;6 3 2;1;0 6; 4;12 6;3;0 0; 1;12 .
24
Пример 2.6. Определить, |
при |
каких |
значениях |
и векторы |
|||||
a 2i 3 j k |
и b i |
6 j 2 k |
коллинеарны. |
|
|||||
Решение. В условие коллинеарности векторов (2.12) подставим коорди- |
|||||||||
наты векторов a 2; 3; β |
и b ; 6;2 : |
|
|
|
|||||
2 |
|
3 |
|
|
3 12, |
|
4, |
|
|
|
|
6 |
2 |
|
6 6 |
|
1. |
|
Пример 2.7. Определить модули суммы и разности векторов a 3; 5;8 и b 1;1; 4 .
Решение. Находим по формуле (2.8) сумму и разность векторов (см.
пример 2.5), после чего согласно формуле (2.10) вычисляем модули получен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ных векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
||
a b 3; 5; 8 1; 1; 4 2; 4; 4 , |
|
|
" |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3; 5; 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a b |
1; 1; 4 4; 6; 12Г; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a b |
|
2 |
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
а |
|
|
|
16 |
|
36 6 ; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
16 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
м |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2м |
.org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
6 |
|
|
12 |
|
|
а |
|
16 |
36 144 |
|
196 14 . |
|
||||||||||||||||||
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая |
|
является концом |
вектора |
||||||||||||||||||
2.8. Найти |
|
точкуmatemB , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a 3; 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , если егоан чало совпадает с точкой A 2; 1; 1 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Координаты вектора a АB оп- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. Обозначим B xB ; yB ; zB |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ределяются |
|
|
|
а |
|
|
|
(2.7), |
|
|
а |
|
именно |
ax xB xA; |
ay yB yA ; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
формуламиК |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
az zB zA , откуда |
xB ax xA 3 2 5 ; |
yB ay yA 4 1 5; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
zB az zA 2 1 3. Таким образом, |
конец вектора a совпадает с точкой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B 5; 5; 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1;5; 10 , |
|
B 5; 7;8 , |
C 2;2; 7 и |
||||||||||||||||||||
Пример 2.9. |
Даны |
|
точки |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D 5; 4;2 . Проверить, что векторы AB |
и CD коллинеарны; установить, ка- |
кой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.
|
|
|
; Z2 и |
Решение. Введем обозначения AB X1;Y1; Z1 , |
CD X 2 |
;Y2 |
вычислим координаты указанных векторов по формулам (2.7):
25
|
X1 xB xA 5 1 6, |
|
|
|
X2 xD xC 5 2 3, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Y1 yB yA 7 5 12, |
|
|
|
Y2 yD yC 4 2 6, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Z1 zB zA 8 10 18, |
|
|
|
Z2 zD zC 2 7 9. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6; 12; 18 , |
|
3; 6; 9 . Эти векторы коллинеарны, |
|||||||||||||||||||||||||
|
Имеем AB |
CD |
||||||||||||||||||||||||||||||
так как их координаты пропорциональны (см. условие 2.12)): |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
12 |
18 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6; 12; 18 2 3; 6; 9 , т.е. |
||||||||||||||||||
Очевидно, можно записать AB |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB 2CD . |
|
|
|
|
|
|
|
" |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это означает, что вектор AB в два раза длиннее вектора CD , а направления |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
этих векторов совпадают. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.10. Даны три последовательныеВ |
вершины параллелограмма |
||||||||||||||||||||||||||||||
A 1;1;4 , B 2;3; 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
C 2;2;0 . Найти координаты четвертой вершины D . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Сделаем схематический чертеж (рис. 2.13). У параллелограм- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
ua |
|
|
|
|
стороны равны и па- |
||||
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ма противоположныем |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
org |
|
поэтому можно записать равен- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раллельны, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ством |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
AB DC . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D x, y,z и |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
|
определим коор- |
|||||||||||||
|
Рис. 2.13 |
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB и |
|
DC по формулам |
||||||
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
динаты векторов |
|
|||||||||||||||
(2.7) (см. примера2.9). Получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1;2; 5 , |
|
|
|
|
2; y 2; z . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
AB |
CD x |
Два вектора равны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты совпадают (2.11). Следовательно, должны выполняться равенства
|
x 2 1, |
y 2 2, |
z 5 , |
|
|
||
откуда x 1, |
y 4, |
z 5 . Таким образом, |
четвертая вершина парал- |
||||
лелограмма находится в точке D 1; 4; 5 . |
|
|
|||||
Пример |
2.11. |
Доказать, что |
точки |
A 3;4;1 , |
B 1;0; 1 и |
||
M 2; 6; 4 лежат |
на одной прямой. |
|
|
|
Решение. Если точки А, В и М лежат на одной прямой, то векторы AB
26
и AM коллинеарны (рис. 2.12), т.е. согласно (2.12) их координаты пропорциональны.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2;Y2; Z2 |
|
Найдем координаты векторов AB X1;Y1; Z1 |
и AM |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(см. формулы (2.7) и пример 2.9): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
X1 xB xA 1 3 2, |
|
|
X 2 xM xA 2 3 5, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Y1 yB yA 0 4 4, |
|
|
Y2 yM yA 6 4 10, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Z1 zB zA 1 1 2, |
|
Z2 zM zA 4 1 5. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2; 4; |
2 , |
|
|
5; 10; 5 . Эти векторы колли- |
|||||||||||||||||||||||||||
Имеем |
AB |
|
AM |
|||||||||||||||||||||||||||||||
неарны, так как |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
М лежат на |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Следовательно, точки А, В и |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
10 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|||||||||||
одной прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
Пример 2.12. Даны точки A 1;2;1 , |
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
B 2;В 1; 3 и C 3; ; . При ка- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
ких значениях и точка С лежит на прямойиАВ? |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Если точка С |
|
|
|
|
е |
а |
|
ua |
АВ, то векторы |
AB и |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
AC |
|||||||||||||||||||||||||
лежит на прямой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
коллинеарны (см. пример 2.11). Найдемт |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
координаты указанных векторов по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулам (2.7) и потребуем выполнениям .orgусловия коллинеарности (2.12). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
2; 2; 1 ; |
|
|
|
|
|
||||||||
AB 1; 3; 2 ш, AC |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6, |
|
|
|
4, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
а |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
д2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
5. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПримерК2.13. Доказать, что четырехугольник с вершинами A 2;1; 4 , B 1;3;5 , C 7;2;3 и D 8;0; 6 есть параллелограмм. Найти длины его сто-
рон.
Решение. Для доказательства достаточно убедиться, что векторы, совпа-
|
|
|
|
дающие с противоположными сторонами параллелограмма, например, |
AB |
||
|
|
|
|
и DC , равны (рис. 2.13). Определим по формулам (2.7) координаты указанных |
|||
|
|
|
9 . |
векторов (см. примеры 2.9 и 2.11). Получим AB 1; 2;9 , DC 1; 2; |
|||
|
|
|
|
Следовательно, AB DC , т.е. четырехугольник ABCD – параллелограмм. |
|||
Длины сторон этого параллелограмма можно найти как модули векторов |
|||
|
|
|
|
AB 1; 2; 9 и |
AD 6; 1; 2 по формуле (2.10): |
|
|
27
AB 1 2 22 92 1 4 81 86 ;
AD 62 1 2 2 2 36 1 4 41 .
Пример 2.14. Проведен отрезок от точки A 1; 1 до точки B 4;5 .
До какой точки необходимо его продолжить в том же направлении, чтобы его длина удвоилась?
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Продолжить отрезок АВ в том же |
|||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
направлении так, чтобы его длина удвоилась, оз- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
начает, что от точки В по прямой АВ следует от- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ложить отрезок ВС такой же длины, как и отрезок |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
АВ (рис. 2.14). Тогда точка B" 4; 5 разделит от- |
||||||||||||||||||||||||
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
резок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
АС пополам. В этом случае координаты то- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чек А, Ви Ссвязаны формулами (2.17), а именно: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
||
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
xB |
|
|
Гx |
, yB |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
и C |
|
|
A |
C |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
.ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(координата |
z |
отсутствует, так как точки лежат на |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскоститхОу). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из записанных соотношений вытекаютм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2x |
|
x |
|
2 |
|
е |
1 9 , |
|
y 2 y |
|
|
y |
|
|
2 5 1 11. |
|||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
C |
|
B |
|
|
A |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, отрезок АВв |
необходимо продолжить до точки C 9; 11 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.15е. Отрезок AD точками В и С разделен на три равные час- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
Ви С, если A 1; 3; 0 и D 5; 6; 9 . |
|||||||||||||||||||||||
ти. Найти координаты точек |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Сделаем схематический чертеж (рис. 2.15). Точка Вделит от- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
резок AD в отношении |
|
AB |
1 |
||||||||||||||||||||
A |
B |
|
C |
|
|
D |
|
|
BD |
2 . Воспользу- |
Рис. 2.15 |
|
|
|
емся формулами (2.16): |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
xA xD |
|
1 |
5 |
|
|
yA yD |
|
3 |
6 |
|
||||||||
xB |
|
|
|
2 |
|
1 , |
yB |
|
|
|
2 |
|
|
|
0 , |
||||
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
zB |
zA zD |
|
0 2 9 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
Таким образом, определились координаты точки B 1;0;3 .
Точку C можно рассматривать как точку, которая делит отрезок AD в
отношении CDAC 12 2 , либо как середину отрезка BD . Воспользуемся второй возможностью и формулами (2.17):
|
|
|
x |
|
|
xB xD |
1 5 3, |
|
|
y |
|
|
yB yD |
0 6 3, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
z |
|
|
zB zD |
|
3 9 6 . |
Следовательно, |
|
C 3; 3; 6 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
C |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Пример 2.16. Даны вершины треугольника A 1;4 ,"B 5;3 и C 3; 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определить длину медианы BM (рис. 2.16). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
М, которая по |
||
|
|
Решение. По формулам (2.17) найдем координаты точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
||
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условию делит сторонуУ |
|
AC пополам: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xA xC |
Г |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
2 |
|
|
к |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2; 1 , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yA yC |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yM |
|
е |
|
|
|
.ua |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
org |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Рис. 2.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим координаты вектора BM по форму- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
слам (2.7): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BM рxM xB ; yM yB 2 5;1 3 3; 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Длина медианы BMф |
|
|
может быть вычислена по формуле (2.10) как длина век- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тора BM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 2 2 13 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BM |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2;6; 4 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пример 2.17. Векторы AB |
|
AC 4;2; 2 совпадают со |
сторонами треугольника АВС. Определить координаты вектора, приложенного к вершине треугольника Аи совпадающего с его медианой АМ.
Решение. Построим на векторах AB и AC как на сторонах параллелограмм ABDC (рис. 2.17). Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Из этого следует, что точка M есть середина
29