Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

BIS4_matem_org_ua

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Пример 3.7. При каком значении векторы c a b и d a b будут перпендикулярны, если a 3, b 6 ?

Решение. Найдем скалярное произведение векторов c и d , опираясь на

свойства скалярного произведения (см. пример 3.4):

c d a b a b a a a b b a b ba a a b a b 2b b a 2 2 b 2 .

Потребуем выполнения условия перпендикулярности векторов (3.6):

c d 0

2 2

2 0.

Поскольку

32 9,

62 36 ,

9 36 2 0

получаем уравнениеУ

из которого и определяем возможные значения

a c b , если

Пример 3.8. Вычислить длину вектора

а c ,b

.org

matem

Решение. Согласно

скалярного произведения

a а

свойству

откуда

а. В нашем случае

b b b .

c b еc

b c c

b b c b

b c

Согласно условию c c

9 ,

b b

, c

cos c ,b

3 4 cos		3 4	1 6 , поэтому	a а 9 2 6 16 37 , откуда полу-
	а	3	2
чаем		37 .		A 1;1;1 ,		B 4;5; 3 и C 2;3;4 . Вы-
чаем		37 .
Пример 3.9. Даны три точки

числить скалярное произведение векторов AB					и AC .

Решение. Найдем координаты векторов AB и AC .
					; Z2 . Тогда согласно формулам
Пусть AB X1;Y1; Z1 , AC X2;Y2					; Z2 . Тогда согласно формулам

(2.7) (см. пример 2.9) :

	X1 xB xA 4 1 3,																									X2 xC xA 2 1 1,
	Y1 yB yA 5 1 4,																									Y2 yC yA 3 1 2,
	Z1 zB zA 3 1 4,																									Z2 zC zA 4 1 3.
	По формуле (3.4) вычисляем скалярное произведение через координаты
перемножаемых векторов:

									AB AC							X1X2									Y1Y2						Z1Z2												или
																		2 4 3 3 8 12 1.
			AB				AC 3 1 4											2 4 3 3 8 12 1.
	Пример 3.10. Даны вершины треугольника A 1; 2;4 , B 4; 2;0
и C 3; 2;1 . Найти его внутренний угол при вершине B . "
																																					У	– это угол между
	Решение. Угол при вершине B треугольника АВСГ																																					– это угол между
																																		Н
		В																															"
		В																													З
													векторами BA и BCУ(рис. 3.1). Найдем коорди-
																															В
													наты этих векторовГ (см. пример 3.9):
																												и
																											к
																									и
																					BA							X ;Y ; Z 3;0;4 ,
																							а							1		1		1
																				е					т			ua		1		1		1
																					м
																										.
																		м	тBC X ;Y ; Z 7;0;1 .
																			тBC X ;Y ; Z 7;0;1 .
А											С													org							2	2				2
А											С							а			.										2	2				2
												с					matem
		Рис. 3.1											Согласно формуле (3.5) имеем
		Рис. 3.1														й
														е
											ы		ш					X		X					Y Y							Z Z
					BA BC						ы							X		X		2			Y Y							Z Z			2
		cos								в									1			2						1	2				1		2
									а
									а
					BA				р				X			2		Y 2			Z					2		X				2	Y 2				Z 2
									р				X			2		Y 2			Z					2		X				2	Y 2				Z 2
								дBC						1					1						1							2				2		2
							е
						ф
				а
			К				0 0				4 1															21 4											25				1	2
			3 7				0 0				4 1															21 4											25				1	2	.
		32 02 42									72 02							12								25 50									25 2					2		2	.
		32 02 42									72 02							12								25 50									25 2					2		2
Следовательно, arccos													2		,			450 .
Следовательно, arccos													2		,			450 .																					b 3; 4;2 и
	Пример				3.11. Даны три вектора																								a 1; 3;4 ,										b 3; 4;2 и
c 1;1;4 . Найти npb c a .

Решение. Найдем вектор b c . Как известно (см. раздел 2.3), при сложении векторов их одноименные координаты складываются. Поэтому

b c 3 1; 4 1;2 4 2; 3; 6 .

Из формулы (3.2) следует

a b

1 2 3 3 4 6

2 9 24

npb c a

3 2 62

т.е. npb c a 5 .

Пример

3.12.

Вычислить

работу,

которую

выполняет

сила

3; 2; 5 , когда точка ее приложения движется прямолинейно, переме-

щаясь из положения M 2; 3;5 в положение N 3; 2; 1 .

Решение. В соответствии с формулой (3.3)

работа равна скалярному

произведению вектора силы F на вектор перемещения l MN . Координаты

вектора силы заданы, а координаты вектора перемещенияУопределим по фор-

мулам (2.7):

l xN xM ; yN yM ; zN

1;"1; 6 .

произведение:

На основании (3.4) найдем требуемое скалярноеУ

30 31,

F l 3 1 2 1 5 6 3

т.е. A F l 31.

org

A 1;2;3 ,

B 7; 3;2 ,

Пример 3.13. Даны вершиныачетырехугольника

C 3;0;6 и

D 9;2;4 . Доказатьй, что его диагонали взаимно перпендикуляр-

ны.

matemРешение. Сделаем

схематический чертеж

Св

(рис. 3.2).

Построим

векторы AC и

диагонали четырехугольника и найдем их коор-

динаты (см. формулу (2.7) и пример 3.9).

X2;Y2; Z2 .

Пусть

AC X1;Y1; Z1 ,

Рис. 3.2

Тогда

X1 xC xA 3 1 2,

X2 xD xB 9 7 2,

Y1 yC yA 0 2 2,

Y2 yD yB 2 3 5,

Z1 zC zA 6 3 3,

Z2 zD zB 4 2 2.

Если векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение

равно нулю. Вычислим

AC BD

X1 X2 Y1 Y2

Z1 Z2 :

AC BD 2 2 2 5 3 2 4 10 6 0.

Следовательно, диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.

Пример 3.14. Найти вектор d , если он перпендикулярен к векторам a 2;3; 1 и b 1; 2;3 и удовлетворяет условию d c 6, где c 2; 1;1 .

Решение. Обозначим координаты искомого вектора через X , Y и Z , т.е d X ;Y; Z . Так как вектор d перпендикулярен к векторам a и b , то согласно условию (3.6) a d 0 и b d 0 . Учитывая эти соотношения, а также условие d c 6 и записывая скалярные произведения в координатной

форме (3.4), получим систему уравнений для определения координат вектора
																												"
d :																											У
d :																										Г
																									Н
										2X 3Y Z 0,														"
										2X 3Y Z 0,														З
																								З
																							У
										X			2Y 3Z 0,В
																				Г
																				и
										2X Y Z										и
										2X Y Z										к6.
																				и
																			т
Решим эту систему по формулам Крамера. Вычислим определитель сис-
темы:																	м			.ua
																е
							2	3		1			м		т			org
							2	3		1			а				.
							2 1				1		matem
						1 2						й								1 4 6 3 14.
						1 2					3е 4 18									1 4 6 3 14.
										ш
									с
								ы
								ы
								в
Найдем вспомогательные определители:
							р
	0	3 1			д																	2		0		1
					д
				е
			ф
X			а	6 9 2 42,															Y		1			0 3					6 6 1 42,
X	0 2К3			6 9 2 42,															Y		1			0 3					6 6 1 42,
	6	1	1																			2 6					1
								2		3			0	6 4 3 42 .
								2		3			0
			Z					1 2					0
								2 1					6
Имеем	X	X		42				3,					Y		Y					42 3 ,				Z Z						42 3.
					14															14										14
Таким образом,			d 3; 3; 3 .

Пример 3.15. Даны два вектора a 3; 1; 5 и b 1; 2; 3 . Найти
вектор c , перпендикулярный к оси Оz и удовлетворяющий	условиям
c a 9 , c b 4.	Y и Z , т.е
Решение. Обозначим координаты искомого вектора через X ,	Y и Z , т.е
c X ;Y; Z . Поскольку вектор c перпендикулярен к оси Оz, то его проек-
ция на эту ось равна нулю ( Z 0), т.е. можно записать c X ;Y; 0 . Остав-
шиеся две координаты X и Y найдем из условий c a 9 , c b 4, соста-
вив и решив систему уравнений (см. пример 3.14).
3X Y 9,

X 2Y 4.

Систему можно решить, например, подстановкой: находим"из первого уравне-

ния Y 3X 9 и подставляем полученное выражение воГвторое уравнение

X 2 3X 9 4

7 X 14

Тогда Y 3.

X З2.

Следовательно, искомый вектор

2; 3; 0 .

Упражнения дляас моконтроля

.векторовorg

a и b , если

1. Найти скалярное произведением

6 ;

а)

2 ,

3с, шa,b

matem

б) a 3i 5 j

b i j 4k ;

2k ,

b m n ,

2 ,

m,n 120 .

в) a 2m 4n ,

что

4 ,

2. Векторы a и b образуют угол 2 3. Зная,

вычислить а)

a b ;

б)

a2 ;

в)

b 2 ;

г)

a b 2 ; д)

3a 2b a

2b ;

е) a b 2 ; ж) 3a 2b 2 .

3. Определить угол

между векторами a и b , если

а) a i j ,

i 2 j 2k ;

б) a m n

3 ,

300 .

m n

1, m,n

4. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на

векторах a 2i 3 j

b 2 j 3k .

5. Даны вершины треугольника

A 0; 1; 4 , B 3; 1; 0 и C 4; 1; 1 .

Определить его внутренний угол при вершине B .

6. Показать, что треугольник						с	вершинами A 1; 2; 1 ,		B 3; 1; 7 ,
C 7; 4; 2 тупоугольный.
7. Даны точки A 1; 3; 7 , B 2; 1; 5 и C 0; 1; 5 . Найти:
							2	2
а)								AC ;
а)		2 AB CB		2 BC BA ; б) AB ; в)				AC ;


г)				д)
г)	AB		AC BC ;	д)	AB	AC BC .

8.Даны вершины четырехугольника A 1; 2; 2 , B 1; 4; 0 , C 4; 1; 1

иD 5; 5; 3 . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

9. Определить, при каком значении

векторы

a i 3 j 2k

b i

2 j k

взаимно перпендикулярны.

a 2; 1; 1 и удов-

10. Найти вектор

x , если он коллинеарен вектору

летворяет условию

x a

11.

Даны два вектора: a 3; 1; 5 и

b 1; 2; 3 . Найти вектор

при условии,

что он перпендикулярен к

оси Oz и удовлетворяет условиям

x a 9, x b 4 .

a 3; 2; 2

x ,

org

12.

Вектор

к векторам

перпендикулярный

matem

b 18; 22; 5 , образует с осьюйОу

тупой угол. Найти его координаты, если

14 .

проекциюв

вектора b , если

13.

Найти

вектора

на направление

a 2i

3 j k

и b i 2 j 8k .

A 4; 4; 1 ,

B 1; 2; 5 ,

C 1; 2; 1 и D 1; 3; 3 . Найти

14. Даны точки:

CD .

a 2; 6; 8 ,

b 3; 4; 2

и c 1; 1; 4 .

15. Даны три вектора:

Вычислить npb c a .

a 4i

b 2i 2 j k

16.

Даны

три

вектора:

2 j 2k ,

2i 10

j . Вычислить np

3a 2c .

17. Вычислить, какую работу производит сила F 6; 4; 10 , когда ее

точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения

A 3; 2; 6 в положение B 4; 1; 0 .

18. Какую работу производит сила F 3; 5; 2 , когда ее точка прило-

жения перемещается из начала в конец вектора s 2; 5; 7 ?
19. Даны силы:	F	3; 4; 2 ,	F 2; 3; 5	и	F 3; 2; 4 ,
	1		2		3

приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, пере-

мещается из положения M1 5; 3; 7 в положение M2 4; 1; 4 .

20. Сила, определяемая вектором R 1; 8; 7 , разложена по трем взаимно перпендикулярным направлениям, одно из которых задано вектором

a 2i

2 j k . Найти составляющую силы R в направлении вектора a .

Ответы

1. а) 3; б) 10 ; в) 34 .

2. а) 6 ; б) 9 ;

в) 16

; г) 13; д) 61; е) 37 ;

ж) 73.

3. а) 135

;

б) arccos

90".

5. 45 .

6. cos A

0 , т.е. A 900 .

7. а) 524 ;

б) 13;

в)

д)

78; 104; 312 .

г) 70;а70; 350 ;

org

12. x 4; 6; 12 .

9. 6; 10.

x 1;

;

а. 11.

x 2; 3; 0 .

2м

matem

13.

14. 6

15.

16. 22.

17. 62.

18. 17 .

19. 13.

10е.

20.

14с

ы ,

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

4. ВЕКТОРНОЕа

Векторным произведением двух векторов

называют третий

вектор

с= a b ,

который

1) перпендикулярен этим векторам;

направлен в ту сторону, куда движется буравчик

с правой нарезкой, если его рукоятку поворачи-

вать от а к b на наименьший угол;

3) имеет длину, численно равную площади паралле-

лограмма со сторонами а и b (рис. 4.1).

Из условия 3) следует равенство

Рис. 4.1

a b

sin a,b .

(4.1)

Из определения векторного произведения вытекают следующие соотно-

	z		шения между единичными векторами i , j , k
			(рис. 4.2):

	k		i i 0,		j j 0, k	k	0;
i	j	y	i j k ,		j i k ;
			k i	j ,	i k j ;		(4.2)
x
	Рис. 4.2		j k	i ,	k j i .

Векторное произведение в координатной форме. Пусть заданы векто-

ры a ax ,ay ,az и b bx ,by ,bz . С учетом соотношений (4.2) получаем

a b =

У z

b k

aybz azby j axbz

azbx

= i

Зk

axby aybx .

Последнее выражение можно рассматривать как разложение определи-

теля 3-го порядка, а именно:

.org

aа

a a

(4.3)

matem

b b

bzш

Таким образом, векторноеа

произведение векторов а и b есть определитель,

j ,

k , второй – ко-

первой строкой которого являются единичные векторы i ,

ординаты первогоавектора

а , а третьей – координаты второго вектора b .

Механический смысл векторного произведения.

Пусть О некоторая

m0 F

точка

пространстве,

вектор силы, а

r OM ,

где

точка

приложения

силы.

Тогда момент силы

F относительно точки О

F есть векторное произведение вектора r

на силу F , т.е.

Рис. 4.3

F .

(4.4)

mo F

Свойства векторного произведения. 1) a b b a ;

2) a b a b a b ;

3) a b с a с b с;
4) для ненулевых векторов a b 0 в том и только в том случае, когда
векторы а и b коллинеарны.
Равенство
a b 0	(4.5)

называют условием коллинеарности векторов.

Поскольку определитель обращается в нуль, если его"строки пропорцио-

векторов а и b ,

нальны, то из (4.3) можно получить условие коллинеарностиГ

записанное в координатной форме (см. также 2.12):

a y

Г.

иb

кz

Пример 4.1. Вычислить

2 и угол между

a b

м, если

org

векторами a,b

matem

(4.1) имеем

Решение. Согласно формулес

a b

1 2 sin

3 .

sinрa,b ;

, если

2 ,

3 и

ПримерК4.2. Вычислить

b a

угол между векторами a,b 300 .

Решение. В соответствии со свойствами векторного произведения имеем:

2a b a 2b 2a a 4a b b a 2b b .

Поскольку a a 0 , b b 0 , b a a b , получаем

2a b a 2b 4a b a b 3a b .

Тогда

2a b a 2b

a b

sin a

,b 3 2 3 sin300 9 .

Пример 4.3. Вычислить

a b

, если

6 ,

5 и a b

15 3 .

Решение.

Согласно

формуле (3.1) скалярное произведение

векторов

cos a,b

откуда cos a,b

, т.е. можно найти угол между

15 3

векторами а и b :

cos a,b

. Дальше по фор-

муле (4.1) получаем

6 5

a b

sin a,b

6 5 sin

15 .

Пример 4.4. Векторы

взаимно

, причем

перпендикулярныУ

4 . Вычислить

3a b a 2b

"Н

Решение. Найдем необходимое произведениеВ

3a b a 2b

a 2b b .

3a a 6иa b

Учитывая, что

a a 0 ,

b b 0 ,

b , получим

еb a

ua a

.org

3a b a 2b

a b 5 a b 5 a b .

6aй b

matem

Тогда

a b

sin a,b .

3a b р a 2b

900

1. В ре-

Так как векторыа

перпендикулярны, то sin a,b sin

зультате имеем

3a b a 2b 5 3 4 1 60 .

Пример 4.5. Найти векторное произведение векторов


a 3i 2 j 4k		и b 2i 4 j 5k .
Решение. Введем обозначения
a ax ,ay ,az 3;2;4 ,	b bx ,by ,bz 2; 4;5 .

Согласно формуле (4.3) имеем

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20184.8 Mб5Avtomatika.docx
#
28.03.2016924.3 Кб237Bezopas_dvizhenia_rus_2.docx
#
18.09.201934.95 Кб1Bilet_vse_25.docx
#
24.04.20195.11 Mб2Bilyavskiy.doc
#
06.06.20151.34 Mб9BIS3_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.4 Mб12BIS4_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.77 Mб16BIS5_matem_org_ua.pdf
#
28.03.20162.42 Mб8book_full.pdf
#
15.11.2019564.21 Кб1Brif_dlya_konsultantov_ISTINNAYa_iyul_2012.docx
#
26.08.2019102.02 Кб2bukhuchet.docx
#
22.11.2019185.21 Кб2BYuDZhETUVANNYa_Rob_zoshit_dlya_studentiv.docx