Приклади до теми
1. Маємо 10 лотерейних білетів. На кожний із них може випасти виграш із певною ймовірністю.
Побудувати простір елементарних подій (множину Ώ) — числа білетів, на які випаде виграш, а також такі випадкові події: А — із 10 білетів виграють не більш як три; В — із 10 білетів виграють не менш як п’ять. Обчислити Р (А), Р (В), .
Відповідь. ;
; .
2. Задано дві множини цілих чисел: Ώ1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Ώ2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту і такі випадкові події: А — сума цифр буде кратною 3; В — сума цифр буде кратною 7.
Обчислити: Р (А), Р (В), .
Відповідь. ;;.
3. Гральний кубик підкидається один раз, а монета чотири рази. Побудувати простір таких елементарних подій — поява числа на гральному кубику і поява герба на монеті, а також випадкові події:
А— на гральному кубику з’явиться число, кратне двом, і герб при цьому випаде не менш як двічі;
В — на гральному кубику з’явиться число, кратне трьом, і герб при цьому випаде не більш як тричі. Обчислити: Р (А), Р (В), .
Відповідь. ;;.
4. В електромережу ввімкнено 15 електролампочок. Кожна з них може перегоріти із певною ймовірністю. Визначити простір елементарних подій (множину Ώ) — числа електролампочок, що не вийдуть із ладу, і такі випадкові події:
А — число електролампочок, що не вийдуть із ладу, буде не більшим від чотирьох;
В — від трьох до шести. Обчислити: Р (А), Р (В), .
Відповідь. ;;.
5. Відомо, що Р (А) = 0,9. Чому дорівнює , якщоА Ώ, АВ .
6. В якому разі ?
7. Відомо, що А Ώ, В Ώ. Чому дорівнює
?
8. В якому разі ,?
9. Відомі значення ,,. Знайти.
10. Відомі значення ,,. З’ясувати, чи сумісні випадкові події А і В? Чому дорівнює?
11. В якому разі А \ В = А?
12. В якому разі ?
13. В якому разі ?
14. Відомо, що Аі Ώ (і = 1, …, n). Чому дорівнює ?
15. Відомо, що Аі Ώ (і = 1, n). Чому дорівнює ?
16. Відомі значення ;; . Знайти .
17. Відомо, що А1, А4, А3, А4 є між собою несумісними і утворюють повну групу. Знайти значення Р(А1), Р(А2), Р(А3), Р(А4), якщо:
Р(А1) = 0,5Р(А2) + 0,8Р(А3);
Р(А2) = 0,8Р(А3) + 0,2Р(А4);
Р(А3) = 0,8Р(А4).
18. Монета підкидається 20 раз. Яка ймовірність того, що при цьому герб з’явиться 7 або 17 раз?
Відповідь. .
19. На кожній із п’яти однакових карток написана одна із цифр 1, 2, 3, 4, 5. Навмання картки розкладають в один рядок. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:
1) А — цифри на картках утворюють зростаючу послідовність;
2) В — спадну послідовність;
3) С — цифри 1, 2 розміщуватимуться в такій послідовності на початку рядка;
4) D — цифра 1 стоятиме на першому місці, а 5 — на останньому.
Відповідь. ;;;
.
20. Виконується переставлення чисел 1, 2, 3 ... 10. Знайти ймовірність того, що числа 1) 1, 2; 2) 1, 2, 3, 4 будуть розміщені в наведеному порядку.
Відповідь. 1) ; 2).
21. Задано множину цілих чисел Ώ = 1, 2, 3, 4, 5. Числа навмання розміщують у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому утвориться парне п’ятицифрове число?
Відповідь. .
22. Маємо тринадцять однакових карток:
,
які навмання розкладають у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому дістанемо слово «паралелепіпед».
Відповідь. .
23. Задана множина цілих чисел Ώ = 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9. Яка ймовірність того, що навмання взяті чотири числа, розміщені в рядок, утворять число 1936?
Відповідь. .
24. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написані на п’яти однакових картках. Навмання послідовно по одній вибирають три картки й розкладають їх у рядок. Яка ймовірність того, що при цьому утвориться парне трицифрове число?
Відповідь. .
25. Дев’ять пасажирів навмання розміщуються у трьох вагонах. Обчислити ймовірність таких випадкових подій: 1) А— у кожному вагоні виявиться по три пасажири; 2)В— у першому вагоні виявиться 4 пасажири, у другому — 3 і в третьому — 2 пасажири.
Відповідь. ;
.
26. В урні міститься 4 червоних, 5 синіх і 6 зелених кульок. Навмання із урни беруть три кульки. Яка ймовірність того, що вони виявляться одного кольору або всі три будуть мати різні кольори?
Відповідь. .
27. В урні міститься 20 кульок, пронумерованих відповідно від 1 до 20. Кульки із урни виймають по одній із поверненням. Таким способом кульки виймалися 10 раз. Яка ймовірність того, що номери кульок утворять зростаючу послідовність?
Відповідь. .
28. Підкидається n штук гральних кубиків. Обчислити ймовірність таких випадкових подій: 1) А — сума випадкових цифр дорівнюватиме n ; 2) В — сума цифр, що випали, дорівнюватиме n + 1.
Відповідь. 1) ; 2).
29. 20 студентів, серед яких 10 чоловічої статі, а решта — жіночої, навмання групуються в пари. Яка ймовірність того, що кожна пара складається зі студентів різної статі?
Відповідь. .
30. У бригаді робітників 5 чоловіків і 10 жінок. Яка ймовірність того, що навмання розбиваючи їх на 5 груп по три чоловіки, у кожній із них виявиться один чоловік.
Відповідь. 15 робітників можна розбити на 5 трійок так: ; 10 жінок можна розбити на 5 груп, по дві жінки в кожній групі так:; 5 чоловіків можна розмістити в 5 групах 5! способами.
Отже, .
31. Задано множину Ώ = 0 х , 0 у 1. Яка ймовірність того, що навмання взяті два числа x, y утворять координати точки, яка належить області А = 0 х , 0 у .
Відповідь. Р (А) = 0,5.
32. У мішень, яка має вигляд кола, вписано квадрат. По ній здійснюється один постріл. Вважається при цьому, що влучення в коло мішені є подією вірогідною. Яка ймовірність того, що куля влучить у квадрат.
Відповідь. .