Matematika_Filippov_S_I

Сборник практических заданий по курсу МАТЕМАТИКА.

Линейная, векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Комплексные переменные, пределы и дифференцирование.

Казань – 2015

УДК 517+512

ББК 22.1

Печатается по решению секции естественно-научных дисциплин Учебно-методического совета

Института экономики, управления и права (г. Казань)

Филиппов С.И.

Сборник практических заданий по курсу МАТЕМАТИКА. Линейная, векторная алгебра и аналитическая геометрия. Комплексные переменные, пределы и дифференцирование, Учебно-методическое пособие/ С.И. Филиппов. – Казань: Изд-во “Познание” Института экономики, управления и права (г. Казань), 2015. – 37 с.

Одобрено кафедрой высшей математики.

Предназначено для для студентов, обучающихся по инженерным направлениям бакалавриата: Управление качеством, Технология продукции и организация общественного питания, Техносферная безопасность, Прикладная информатика, Информационная безопасность и др. Содержит варианты контрольных работ.

УДК 517+512

ББК 22.1

© Институт экономики, управления и права (г.Казань), 2015

© Филиппов С.И., 2015

2

ЛИНЕЙНАЯ, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Разделы теории:

I. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

1. Действительные числа, числовая ось, определители второго и третьего порядков

2.Декартовы координаты. Полярные координат

3.Векторы, линейные операции над ними

4.Проекция вектора на ось

5.Разложение вектора по базисным векторам

6.Линейные операции над векторами, заданными своими проекциями

7.Длина вектора. Расстояние между двумя точками

8.Направляющие косинусы вектора

9.Скалярное произведение векторов

10.Угол между векторами.

11.Условие ортогональности двух векторов

12. Векторное произведение векторов

13.Условие коллинеарности двух векторов

14.Площадь треугольника

15.Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл.

16.Условие компланарности трех векторов

II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1.Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве

2.Плоскость, общее уравнение плоскости

3

3.Угол между двумя плоскостями

4.Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

5.Расстояние от точки до плоскости в пространстве

6.Прямая в пространстве и ее уравнения

7.Канонические уравнения прямой.

8.Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

9.Угол между двумя прямыми 10.Условия параллельности и перпендикулярности прямых

11.Уравнение линии на плоскости

12.Общее уравнение прямой на плоскости

13.Угол между прямыми на плоскости

14.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. 15.Условия параллельности и перпендикулярности прямых

16.Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом.

17.Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

18.Преобразование координат на плоскости

III. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.Определители высших порядков

2.Свойства определителей

3.Матрицы и действия над ними. Обратная матрица

4.Системы n линейных алгебраических уравнений

сn неизвестными. Матричный метод решения

5.Формулы Крамера

6.Общая система линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса

7.Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

8.Однородные системы

4

Контрольная работа № 1

Вариант № N (N – две последние цифры номера зачетной книжки, m – две последние цифры текущего учебного года)

другого и во сколько раз.

4.Даны векторы a 0, 1, n , b 3, m,1 . Вычислить 2a 3b a b

5.Вычислить косинус угла, образованного векторами

aN, 4,3 и b 3,1,m .

6.Заданы a N,4,1 , b 1,1, m . Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 2a

иb a .

7.Установить, компланарны ли векторы

a2,5, 1 , b 1, 1,3 , c 1,9, N / m .

8.Найти уравнение плоскости, которая проходит через

КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ, ПРЕДЕЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Разделы теории:

I. КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

1.Алгебраическая форма комплексного числа

2.Модуль и аргумент

3.Действия над числами в алгебраической форме

4.Тригонометрическая форма

5.Формула Эйлера

6.Показательная форма комплексного числа

7.Действия над числами в показательной форме

8.Формула Муавра.

9.Извлечение корня из комплексного числа.

10.Логарифм комплексного числа

11.Решение квадратного уравнения в комплексной области

II. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

1.Обозначения. Функция

2.Предел функции при x и его геометрический смысл

3.Предел функции при x x0 и его геометрический смысл.

4.Односторонние пределы

5. Теоремы о пределах. Ограниченные функции

6. Бесконечно малые функции и их свойства 7. Бесконечно большая функция, ее связь с бесконечно малой 8. Свойства пределов 9. Первый замечательный предел

10. Предел последовательности.

6

11.Второй замечательный предел.

12. Натуральные логарифмы

13. Сравнение бесконечно малых функций

14. Непрерывность функции в точке и на интервале

15. Свойства непрерывных функций

16. Точки разрыва функции

III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Производная функции. Определение

2.Геометрический и механический cмысл производной

3. Правила дифференцирования.

4. Производные основных элементарных функций

5.Неявная функция и ее дифференцирование

6. Параметрические уравнения линии на плоскости Параметрическое задание функции и ее дифференцирование

7. Логарифмическое дифференцирование

8.Дифференциал

9. Производные и дифференциалы высших порядков 10. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя 11. Формула Тейлора

IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

1.Исследование функции на монотонность и экстремумы

2.Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции

3.Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

4. Асимптоты кривой

5. Общая схема построения графика функции

7

V*. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1.Длина дуги и ее производная

2.Кривизна плоской кривой

*Примечание: раздел для курса “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА”.

VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕНЫХ

1.Способы задания функции двух переменных

2.Предел и непрерывность функции двух переменных

3.Частные и полные приращения. Частные производные

4.Полный дифференциал

5.Производная сложной функции

6.Частные производные высших порядков

7.Экстремумы функции двух переменных

8

Контрольная работа № 2

Вариант № N (N – две последние цифры номера зачетной книжки, m – две последние цифры текущего учебного года)

Задание 2.1:

Дано z1 N 2i , z2 m i .

Найти 1)z1 z2 , 2) z1 z2 ,3) z1z2 , 4) z1 . z2

Задание 2.2:

Вычислить пределы

Примеры для задания 2.2:

10