Линейная алгебра 2014

Глава 1. Линейная алгебра.

Amxn; A=( ai j ), где ai j – элемент матрицы;

i=1,…,m – номер строки (i=1, m ); j=1,…,n – номер столбца (j=1, n ).

Замечание. Будем рассматривать числовые матрицы. Если aij – функции (или векторы), то имеем функциональную (векторную) матрицу.

Если m n , то матрица называется прямоугольной. Если m=n , то матрица называется квадратной.

Опр. Матрица, получаемая из данной матрицы А путем замены строк на столбцы и наоборот называется транспонированной и обозначается АT.

1

Виды квадратных матриц (частные случаи):

1)Квадратная матрица, у которой все элементы aij=0, называется

нулевой матрицей

3) Если 1= 2=…..= n =1 то получим матрицу

– называются матрицами треугольного вида (А–верхняя треугольная матрица, В–нижняя треугольная матрица.)

§2. Равенство матриц. Действия над матрицами I.Равенство матриц

Опр. Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и их соответствующие элементы равны.

II.Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Опр. Суммой двух матриц А=(аij) и В=(bij) называется матрица

С=(сij), у которой сij=aij+bij, где i=1,…,m ; j=1,…,n.

Am n Bm n Cm n

2

Пример 2.1

Пример 2.2

В частности, если В – нулевая матрица, то А+0=А.

Аналогично определяется разность матриц.

Пример 2.3

Сложение матриц обладает свойствами: 1)А+В=В+А (переместительный закон) 2)(А+В)+С=А+(В+С) (сочетательный закон)

3)Для любых матриц А и В одинакового размера существует единственная

Свойства

1)1 A А ; 1 А А ; 0 А О , где 0 – число, О – нулевая матрица

2)k d A k dA

3)k d A kA dA

порядка.

3

IV. Умножение двух матриц

которой равны сумме произведений элементов i–й строки матрицы А на соответствующие элементы j–го столбца матрицы В, т.е.

Произведение А В осуществимо только в случае, когда А имеет число столбцов равное числу строк В.

Итоговая матрица С А В имеет число строк, равное числу строк А и число столбцов, равное числу столбцов В.

В частности: An n Bn n Cn n .

В общем случае A B B A

4

Пусть А – квадратная матрица

При умножении квадратной матрицы на матрицу-столбец получается матрица-столбец той же высоты.

§3. Определители

I. Определения определителей второго и третьего порядков

Понятие определителя матрицы вводится только для квадратных матриц.

Опр. Определителем второго порядка называют выражение (число)

Числа а11, а12, а21, а22 называют элементами определителя, элементы а11, а22 образуют главную диагональ, а элементы а12, а21 – побочную.

Числа аij, i=1,2,3; j=1,2,3 – элементы определителя, элементы а11, а22, а33 образуют главную диагональ, а элементы а13, а22, а31– побочную диагональ.

5

Пример 3.3

II.Свойства определителей (на примере определителя третьего порядка)

1.При замене строк столбцами величина определителя не меняется (при

транспонировании матрицы ее определитель не меняется)

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

3.Если в определителе имеются две одинаковые строки (столбца), то определитель равен нулю.

4.Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5.Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

6.Если элементы одной строки (столбца) пропорциональны элементам другой, то определитель равен нулю.

Доказательство: коэффициент пропорциональности выносим за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), по свойству 3 определитель равен нулю.

7.Если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число, то величина определителя не изменится.

III. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения определителя по элементам строки (столбца)

пересечении которых находится некоторый элемент аij, то получим определитель второго порядка, который называется минором определителя

6

Теорема разложения. Определитель третьего порядка равен сумме парных произведений элементов любой строки (столбца) на их

Замечание. Для определителей любых порядков остаются в силе определения минора и алгебраического дополнения, а также теорема разложения, сформулированная для определителя третьего порядка.

Например:

§4. Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратной матрицы. Если А – квадратная матрица порядка n, то обратной для нее называется

7

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную,

2)Найти алгебраические дополнения А ij всех элементов определителя матрицы А, составить из них матрицу и транспонировать ее

Пример 4.1

8

§5. Ранг матрицы. I. Определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу

Выделим из этой матрицы произвольные k строк и k столбцов. Получим квадратную матрицу k–го порядка.

Опр. Минором k–го порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы, получающийся из матрицы А выделением произвольных k строк и k столбцов. Обозначается M k

Опр. Рангом матрицы А называется наивысший из порядков отличных от нуля миноров матрицы А. Обозначается r (A); rang A; rg A.

Итак, ранг матрицы А равен r, т.е r(A)=r, означает, что в матрице А есть минор порядка r, отличный от нуля, а всякий минор порядка больше r, равен нулю

II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы. Элементарными преобразованиями матрицы называется

1.перестановка строк (столбцов) матрицы; транспонирование матрицы.

2.умножение строки (столбца) на число k 0.

3.прибавление к элементам одной строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число.

4.Отбрасывание нулевых строк (столбцов).

Матрицы, получающиеся одна из другой при помощи элементарных преобразований, называются эквивалентными: А ~ С.

Можно доказать, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга:

Если A~C, то r(A) = r(C).

Данный вывод используется при вычислении ранга матрицы. Данная матрица А преобразуется в эквивалентную матрицу ступенчатого вида:

9