Перевод чисел из десятичной системы в восьмеричную и в шестнадцатеричную и обратно.

Пример 1.8. Преобразование шестнадцатеричного числа 2C6F в десятичное (согласно формуле 1.1).

Значениями позиций первых четырех шестнадцатеричных цифр являются соответственно слева направо 4096 (16³), 256 (16²), 16 (16¹), 1 (16⁰). Десятичное число содержит 15 (F₁₆) единиц, 6 чисел 16, 12 (С₁₆) чисел 256 (16²) и 2 числа 4096 (16³). Каждая цифра умножается на соответствующий ей вес, получается сумма, которая и дает десятичное число 11375.

Пример 1.9. Преобразование десятичного числа 15799 в шестнадцатеричное.

15799(10) / 16 = 987 15799 % 16 = 7₁₀ = 7₁₆ 16 ⁰

987 / 16 = 61 987 % 16 = 11₁₀ = B₁₆ 16 ¹

61 / 16 = 3 61 % 16 = 13₁₀ = D₁₆ 16 ²

3 / 16 = 0 3 % 16 = 3₁₀ = 3₁₆ 16 ³

15799₁₀ = 3DB7₁₆

Пример 1.10. Запишем восьмеричное число 2357 в десятичной форме.

Веса первых восьмеричных позиций равны 512 (8³), 64 (8²), 8 (8¹) и 1 (8⁰). В предлагаемом числе содержится 7 единиц, 5 восьмерок, 4 числа 64 (8²) и два числа 521 (8³). Для получения результата сложим: 2*521 + 4*64 + 5*8 + 7 = 1263 (в десятичном представлении).

Пример 1.11. Преобразуем десятичное число 2145 в его восьмеричный эквивалент.

2145 / 8 = 268 2145 % 8 = 1₁₀ = 1₈ 8⁰

268 / 8 = 33 268 % 8 = 4₁₀ = 4₈ 8¹

33 / 8 = 4 33 % 8 = 1₁₀ = 1₈ 8²

4 / 8 = 0 4 % 8 = 4₁₀ = 4₈ 8³

2145₁₀ = 4141₈

Операции над двоичными числами и поразрядные операции.

К логическим операциям относятся:

&& - логическое "И";

|| - логическое "ИЛИ";

! - логическое отрицание.

Логические операции используются в тех случаях, когда необходимо объединить несколько условных выражений.

Пример 1.12. Пусть нужно подтвердить или опровергнуть принадлежность точек заштрихованной области:

bool b;

b = y < exp(x) && y > 0 && x > 2 && x < 5

bool b;

b = (y < exp(x) && y > 0 && x > 0 && x<2) || (x < 0 && x > -2 && y < 0 && y > -2)

Свойства логических операций представлены в таблице 1.2.

Таблица 1.2.

V1	V2	!V2	V1&&V2	V1||V2
false	false	true	false	false
false	true	false	false	true
true	false		false	true
true	true		true	true

Поразрядные операции или операции с разрядами (битами) нельзя применять к переменным типа float и double. К таким операциям относятся:

& - поразрядное "И";

| - поразрядное "ИЛИ";

~ - поразрядная инверсия;

^ - поразрядное "исключающее ИЛИ";

<< - сдвиг влево;

>> - сдвиг вправо.

Поразрядные операции выполняются в соответствии с таблицами истинности (табл.1.3), причем каждый разряд рассматривается независимо от других разрядов.

Таблица 1.3.

x	y	~ y	x & y	x | y	x ^ y
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	1	1
1	0		0	1	1
1	1		1	1	0

Пример 1.13. Обычное (+) и поразрядное (OR) двоичное сложение.

0111001110011010 0111001110011010

+ OR

1100111100100110 1100111100100110

--------------------------- ---------------------------

10100001011000000 1111111110111110

В случае обычного сложения может возникнуть так называемый бит переноса, в случае поразрядного сложения это невозможно.

Пример 1.14. Сдвиги разрядов.

Сдвиг на один бит влево приводит к умножению на 2, на один бит вправо - к целочисленному делению на 2:

00000100 4 (десятичное)

00001000 8 = 4 x 2

00000010 2 = 4 / 2

Пример 1.15. Сменить биты 16-разрядного машинного слова на обратные

1000110001110011

XOR

1111111111111111

--------------------------

0111001110001100

Иногда возникает необходимость анализировать или преобразовывать не все биты слова, а лишь некоторые. Тогда задают маску - слово в котором выделены нужные разряды. Установка битов по маске осуществляется поразрядным сложением (OR), сброс битов по маске - поразрядным умножением (AND).

Пример 1.16. Установить по маске биты в 16-разрядном машинном слове

1001110101110011

OR

1100110011001100 - маска

-------------------------

1101110111111111

Пример 1.17. Сбросить по маске биты в 16-разрядном машинном слове

1110000111101101

AND

1110001110001110 - маска

-------------------------

1110000110001100

Пример 1.18. Проверить наличие 0, 3, 5 битов в 16-разрядном слове

1000110011001100

AND

0000000000101001

-------------------------

0000000000001000

Отрицательные двоичные числа

Представление абсолютной величиной со знаком.

При этом способе крайний левый бит является знаковым битом числа:

0 означает +, а 1 - -. Остальные биты содержат абсолютную величину числа.

0000000000000110 +6

1000000000000110 -6 в представлении числа со знаком.

Представление числа в обратном коде.

Также присутствует знаковый бит: 0 обозначает +

1 - -

0000000000000101 – 5

1111111111111010 - -5 в обратном коде, т.к. здесь для того, чтобы сделать число отрицательным, каждая 1 заменяется на 0 и каждый 0 заменяется на 1. Это правило справедливо также для знакового бита.

Чаще, чем два описанных способа, применяется представление числа в дополнительном коде

Представление числа в дополнительном коде.

Присутствует знаковый бит: 0 обозначает +

1 - -.

Чтобы найти двоичное представление отрицательного числа (т.е. его дополнительный код), надо взять его положительную форму, обратить каждый бит (т.е. заменить 1 на 0, а 0 на 1), а затем добавить к полученному результату 1.

0000000000000100 + 4

1111111111111011 - 4 в обратном коде

1. прибавляем 1

________________

1111111111111100 - 4 в дополнительном коде

Задания для самостоятельной работы.

1 задание. Вычислить результат предложенной операции.

1	1010101010101010 AND 1100111000111100
2	1110011000001101 OR 0001100011000110
3	1100011011 + 101
4	1111000110 - 1
5	1111100000111110 XOR 1100110011001100
6	NOT 1100001001100110
7	1111111100000000 XOR 0000111100001111
8	1011100111001011 AND 1011111000111010
9	1010101010101010 AND 1110111000110100
10	1110011000001101 OR 0001100011000110
11	1100011011 + 101
12	1111000110 - 1
13	1111100000111110 XOR 1100110011001100
14	NOT 1100001001100110
15	1111111100000000 XOR 0000111100001111
16	1011100111001011 AND 1011111000111010
17	1010101010101010 AND 1100111000111100
18	1110011000001101 OR 0001100011000110
19	1100011011 + 101
20	1111000110 - 1
21	NOT 1100001001100110
22	1111111100000000 XOR 0000111100001111
23	1011100111001011 AND 1011111000111010
24	1100110000110011 XOR 0000111100001111
25	1011100111001011 AND 1010111000101010
26	1110011010001101 OR 0001100011010110
27	1100011001 + 1101
28	1111000110 - 11