- •Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.
- •Геометрический смысл производной.
- •Арифметические свойства производной.
- •Производная обратной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производные элементарных функций.
- •Билет 7 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Производные высших порядков. Формула Лейбница.
- •Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков.
- •Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Коши. Физический смысл.
- •Теорема о среднем Лагранжа.
- •Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Формула Тейлора для многочленов.
- •Формула Тейлора для дифференцируемых функций.
- •Формула Тейлора для важнейших элементарных функций.
- •Билет 20 Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Непрерывна в и. Тогда, если- нечетное число, то криваяобращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет лиили, а есличетное, тоесть точка перегиба кривой.
- •Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.
- •Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •1) A – конечное.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида ,,,,.
- •Асимптота. Уравнение наклонной асимптоты.
- •Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование выражений вида.
- •Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
- •Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Тригонометрические подстановки.
- •Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.
- •Ограниченность интегрируемой функции.
- •Суммы Дарбу. Их Свойства.
- •Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.
- •Билет 41 Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.
- •Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.
- •Теорема 2 Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ().
- •Интегрируемость по Риману непрерывной функции.
- •Интегрируемость по Риману монотонной функции.
- •Аддитивное и однородные свойства определенного интеграла Римана.
- •Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.
- •Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
- •Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.
- •Определение объёма. Объем тела вращения.
- •Длина дуги кривой. Определение и вычисление.
Производные высших порядков. Формула Лейбница.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке Xo, то есть существует ее производная в этой точке f ’ (Xo). Пусть f - дифференцируема в некоторой окрестности U(Xo). f’(x) определена на U(Xo) и если дифференцируема в точке Xo, то (f’(Xo))’=f’’(Xo). Вообще
Теорема: (Формула Лейбница)
Пусть функции U и V n раз дифференцируемы, т.е. существуют и. Значит (U*V) – тоже n раз дифференцируема, при этом
Доказательство:
Метод математической индукции:
Пусть при n=m – верно, т.е.
(*)
Надо доказать, что
Доказательство:
Теорема доказана.
Билет 10
Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков.
f(x) дифференцируема,
тогда . Далее, пустьf – n раз дифференцируема,
__________________________
.Докажем, что
1) ,
2) Пусть при n = m
3)
Инвариантность/Неинвариантность.
1) y(x), x – независимая переменная, ,пусть x = x(t)
2) y(x), x – независимая переменная, ,,
, здесь ,.
Билет 11
Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма.
Определение 1:. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если
.
Определение 1’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если
Определение 1’’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если
Определение 2. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если
.
Определение 2’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если
Определение 2’’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если
Теорема 1: (Необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке )
Если f возрастает (не убывает) в точке и дифференцируема в точке, то.
Доказательство:
Т.к. функция возрастает (не убывает), то, по определению 1’’ ,
, а значит и . Теорема доказана.
Теорема 1’ (Необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке )
Если f убывает (не возрастает) в точке и дифференцируема в точке, то.
Доказательство:
Т.к. функция убывает (не возрастает), то, по определению 2’’ ,
, а значит и , теорема доказана.
Теорема 2: (Достаточное условие возрастания)
Если f(x) дифференцируема в точке , причем, тоf(x) возрастает в точке .
Доказательство:
По теореме о сохранении знака:
, значит
f возрастает.
Теорема доказана.
Замечание: если , то про возрастание сказать ничего нельзя.
Теорема 2’: (Достаточное условие убывания)
Если f(x) дифференцируема в точке , причем, тоf(x) убывает в точке .
Доказательство:
По теореме о сохранении знака:
, значит
f(x) убывает.
Теорема доказана.
Замечание: если , то про убывание сказать ничего нельзя.
Теорема Ферма: (Необходимое условие существования экстремума)
Если f(x) дифференцируема в точкеи– точка локального экстремума, то.
Доказательство:
Пусть f(x) возрастает в точке , т.е.
, т.е. – не точка экстремума.
Аналогично невозможен случай , следовательно.
Теорема доказана.
Билет 12
Теорема Ролля.
Теорема:
Если функция непрерывна на, дифференцируема наи, то существует точка, такая, что.
Доказательство:
Так как функция f непрерывна на [a,b], то существует точка x1, в которой f достигает максимума и точка x2, в которой f достигает минимума. Рассмотрим 2 случая:
Обе точки x1 и x2 совпадают с a или b, тогда
И тогда производная
Одна из точек не является концевой отрезка [a,b]. Пусть - та из них, которая, тогда в точкедостигается локальный экстремум, кроме того,, так как по условиюсуществует. Поэтому по теореме Ферма, что и требовалось доказать.
Контрпример 1
Уберем непрерывность в точке b: теорема потеряет силу.
Контрпример 2
Уберем дифференцируемость в одной из точек: теорема потеряет силу.
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если выполнены все условия теоремы, то на графике функции ! существует точкакасательная в которой параллельна осиx.
Физический смысл: при прямолинейном движении если перемещение тела = 0, то существует момент времени, в который скорость тела = 0.
Билет 13