- •I курс, I семестр Линейная алгебра
- •Теоретический курс
- •1.Матрицы. Виды матриц.
- •2.Действия над матрицами.
- •7.Метод Крамера.
- •8.Матричный метод.
- •9.Метод Гаусса.
- •Примеры решения задач.
- •Расчётно-графическая работа №1.
- •Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
- •Теоретический курс.
- •Аналитическая геометрия
- •Примеры решения задач.
- •Расчетно-графическая работа №2.
7.Метод Крамера.
Метод Крамера применяется при решении систем, в которых число уравнений и количество неизвестных совпадают:
Составим главный определитель системы и вычислим его.
Составим и вычислим вспомогательные определители ,где i =1,2,…,n, путем замены i-го столбца столбцом свободных членов.
Решение системы линейных уравнений находится по формулам Крамера:
xi= где i=1,2,…,n,
8.Матричный метод.
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:
Введем матрицы:
1.Основная матрица системы
2.Вектор-столбец неизвестных
3.Вектор-столбец свободных членов
Запишем систему в матричном виде АХ=В.
Решение матричного уравнение имеет вид: Х=А-1×В, если
9.Метод Гаусса.
Целью метода Гаусса является приведение матрицы системы к треугольному виду, используя элементарные преобразования:
1.Умножение некоторого уравнения на число, не равное нулю.
2.Прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число.
3.Перестановка местами двух уравнений системы.
Суть метода состоит в следующем.
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными
Запишем расширенную матрицу системы
Пусть а11 ≠ 0, в противном случае всегда можно принять за первое уравнение то, в котором коэффициент при хi отличен от нуля и перенумеровать неизвестные.
1.Исключим элементы ai1 , i=2,…m, умножением первой строки на выражение ( - ai1/ a11), i=2,…m и прибавлением ее к последующим строкам. Здесь возможны случаи
а) получилась строка расширенной матрицы С(1) , у которой все элементы aij(1), i=2,…m, j=2,…n равны нулю, а хотя бы один соответствующий элемент bi(1)≠0. Тогда исходная система несовместима.
б) только первая строка матрицы С(1) ненулевая. Тогда исходная система состоит из одного уравнения. Если в этом уравнении все коэффициенты, за исключением a11 равны нулю, то исходная система имеет единственное решение. В противном случае система неопределённая.
в) среди коэффициентов ai1(1) существует хотя бы один отличный от нуля. Тогда следует перейти к очередному шагу.
2. Пусть a22(1) ≠0 . В матрице С(1) исключим элемент ai2, i=3,…m. Получим матрицу вида
Здесь возможны случаи а, б, в. Если имеет место третий случай, то следует перейти к следующему шагу и т.д.
Необходимо привести матрицу к виду:
Из этой матрицы легко найдём единственное решение, осущесвляя «обратный ход».
Из последнего уравнения имеем:
Подставляем значение хn в предыдущее уравнение и находим хn-1 и т.д.
Примеры решения задач.
Задача 1. Найдите сумму матриц:
и
Решение:
Задача 2. Найдите произведение матриц:
а)
б)
Решение:
а)=
б)
Задача 3. Вычислить определитель второго порядка
Решение:
Задача 4. Вычислить определитель третьего порядка
Решение:
Задача 5. Найдите обратную матрицу для матрицы
Решение:
1.Вычислим определитель матрицы
т.е. матрица невырожденная и ,следовательно, для нее существует единственная обратная матрица.
2.Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы:
Составим промежуточную матрицу, заменяя элементы матрицы А на соответствующие им алгебраические дополнения:
3.Протранспонируем ее:
4.Найдем обратную матрицу, умножив А* на число, равное
5.Проверкой убедимся, что вычисления выполнены верно:
Задача 6. Решите матричное уравнение и сделайте проверку решения, если
Решение:
1.Вычислим
2.
3.Найдем М-1
а)
б)
в)
г)
д) Проверка
4.Найдем N-1
а)
б)
Промежуточная матрица
в)
г)
д) Проверка
5.
Проверка правильности решения матричного уравнения
Проверим правильность этого равенства
Получим , равенство верно.
Ответ:
Задача 7. Решите систему уравнений по правилу Крамера
Решение:
Проверка:
Ответ: (4;-1;-1)
Задача 7. Решите систему уравнений
матричным методом (методом обратной матрицы).
Решение:
1.Запишем систему в виде матричного уравнения
;
2.Найдем матрицу, обратную матрице ;
а)
б)
Промежуточная матрица имеет вид
в) Транспонируем ее и получаем
г)
3.
Проверка:
Ответ: (1;2;3)
Задача 9. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений и сделайте проверку решения
Решение:
Составим расширенную матрицу и выполним преобразования:
Имеем соответствующую нашей матрице систему линейных уравнений:
x+ y -z -t=-2,
-5y+7z+t=6,
z+3t=-2,
-35t=35
1) -35t=35; t=-1
2) z-3=-2; z=1
3) -5y+7-1=6; y=0
4) x-1+1=-2; x=-2
Проверка:
Система решена верно.
Ответ: (-2; 0; 1; -1)