I курс, I семестр Линейная алгебра

1.Матрицы. Виды матриц.

2.Действия над матрицами.

3.Определители.

4.Миноры. Алгебраические дополнения.

5.Обратная матрица.

6.Система линейных уравнений.

7.Метод Крамера.

8.Матричный метод.

9.Метод Гаусса.

Теоретический курс

1.Матрицы. Виды матриц.

Прямоугольная таблица, составленная из действительных чисел, следующего вида

называется матрицей размера m x n, где m – количество строк, n – количество столбцов.

Если m=n, то матрица называется квадратной.

Матрица вида

называется единичной.

Матрица, составленная из одного столбца, называется – столбцом. Матрица, составленная из одной строки, называется матрицей- строкой.

Пусть дана матрица

_,

_{тогда матрица вида}

_{называется транпонированной.}

2.Действия над матрицами.

2.1.Сложение. Вычитание.

Суммой матриц одинакового размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц.

Разностью матриц одинакового размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен разности соответствующих элементов данных матриц.

2.2.Умножение матриц.

Произведением матрицы на некоторое число называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на это число.

Произведением двух матриц – матрицы А размера m x n и матрицы В размера n x k - называется матрица С размера m x k , каждый элемент которой равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

3.Определители.

Определителем квадратной матрицы А второго порядка называется число

Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число

4.Миноры. Алгебраические дополнения.

Минором М_{i j} , соответствующим элементу а_{i j} определителя называется определитель меньшего порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, содержащего элемент а_{i j} .

Алгебраическим дополнением А_{i j} , соответствующим элементу а_{i j} определителя называется минор М_{i j} , умноженный на (- 1)^i+j, т.е.

А_{i j} = (- 1)^i+j М_{i j}

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной в противном случае.

5.Обратная матрица.

Матрица A^-1 называется обратной для квадратной матрицы А,если выполняется равенство:

А^-1× А = А× А^-1=Е

Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырожденная, т.е. когда

6.Система линейных уравнений.

Линейной системой m уравнений с n неизвестными х₁, х₂,... х_n называется система вида :

Действительные числа а_{i j} называются коэффициентами системы; b_i называются свободными членами системы. Упорядоченный набор чисел c₁, c₂,… c_n называется решением системы, если, будучи подставленным в каждое из уравнений, он обращает их в верные равенства.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет решения, в противном случае она называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, в противном случае она называется неопределенной.