Lineynye_operatsii
.pdf3.4. Единственность жордановой формы матрицы |
151 |
s1
s2.
si.sp 1sp
|
n |
2r1 |
r2 |
|
|
r1 |
2r2 |
r3 |
|
. . |
. |
. |
|
|
|
ri 1 |
2ri |
ri 1 . |
(3.24) |
. . |
. |
. |
|
|
|
rp 2 |
2rp 1 |
rp |
|
|
rp 1 |
rp |
|
|
Таким образом, мы показали, что числа s1 , s2 , …, sp являются
инвариантами. Теорема единственности жордановой нормальной формы доказана.
Следствие. Количество жордановых клеток, отвечающих собственному значению 0 , равно его геометрической кратности.
Доказательство. Действительно, с одной стороны из формулы
(3.23) следует, что количество s1 s2 |
sp жордановых клеток, |
|
отвечающих собственному значению 0 |
равно n r1. |
С другой |
стороны в теореме 2.13 было доказано, что количество |
линейно |
|
независимых собственных векторов также равно n r1. |
|
Замечание 3.7. В теореме 3.10 получен алгоритм, позволяющий записать жорданову нормальную форму матрицы линейного оператора , не находя жорданова базиса.
Он заключается в следующем:
1)находим собственные значения 1 , 2 , …, k матрицы A линейного оператора ;
2)для каждого собственного значения i последовательно нахо-
дим ранги |
r |
, r |
, |
…, r |
матриц A E, |
A E 2 |
, |
… , |
|
|
1 |
2 |
|
p |
i |
|
i |
|
|
A E p |
, число |
p |
находится из условий: |
|
|
|
|
||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rang A E p rang A E p 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rang A E p 1 rang A E p |
; |
|
|
||||
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
152 Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
3) по формулам (3.24) вычисляем s1 количество жордановых клеток порядка 1, s2 количество жордановых клеток порядка 2, …, sp количество жордановых клеток порядка p .
Пример 3.8. Пусть матрица оператора в некотором базисе
равна |
|
|
|
|
|
|
3 |
-1 |
1 |
-7 |
|
||
|
9 |
-3 -7 |
-1 |
|
||
A |
. |
|||||
|
0 |
|
0 |
4 |
-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
2 |
-4 |
|
Не находя жорданова базиса, записать жорданову нормальную форму матрицы этого оператора.
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение
|
3- |
-1 |
1 |
-7 |
|
|
|
||||
|
9 |
-3- -7 |
-1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
4- |
-8 |
|
|
0 |
0 |
2 |
-4- |
|
|
|
3- |
-1 |
|
|
|
4- |
-8 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
9 |
3- |
|
|
|
2 |
-4- |
|
|
2 9 9 2 16 16 0 4 0 . |
||||||||||
Мы получили, что оператор имеет только одно собственное |
значение 0. Следовательно, во всех клетках жордановой матрицы на диагонали будут стоять нули.
Найдем ранг r1 |
матрицы A 0 E: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
-1 1 |
-7 |
|
3 |
-1 |
1 |
-7 |
||||
|
|
0 |
0 |
-10 20 |
|
|
0 |
0 |
1 |
-2 |
|
|
A 0 E |
|
|
~ |
. |
||||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
-2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3.4. Единственность жордановой формы матрицы |
153 |
Отсюда следует, что r1 2 . Вычислим общее количество жорда-
новых клеток: |
n r1 4 2 2 . |
Возведем матрицу |
A 0 E в |
|||||||||||
квадрат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 -1 1 |
-7 3 |
-1 1 |
-7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||
|
9 |
-3 -7 |
-1 |
|
9 |
-3 -7 -1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
A 0 E 2 |
|
|
= |
. |
||||||||||
|
0 |
0 4 |
-8 |
|
0 |
0 4 |
-8 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 2 |
-4 |
|
0 |
0 2 |
-4 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отсюда получим, что |
r2 0. |
Очевидно, что в этом случае |
||||||||||||
r3 0 и, следовательно, |
p 2. Найдем s1 (количество жордано- |
|||||||||||||
вых клеток порядка 1) и |
s2 (количество жордановых клеток по- |
|||||||||||||
рядка 2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 n 2r1 r2 4 4 0 0 , s2 r1 r2 2 0 2 . |
|
|
Запишем жорданову нормальную форму матрицы оператора :
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
J |
. |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 3.9. Пусть A − матрица линейного оператора в неко- |
|||||||
тором базисе |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
-2 |
-3 |
|
5 |
|||
|
0 |
-3 -3 5 |
|
||||
A |
. |
||||||
|
0 |
-4 |
-3 |
|
6 |
|
|
|
-1 |
-5 |
-5 |
|
9 |
|
|
|
|
|
Не находя жорданова базиса, записать жорданову нормальную форму матрицы этого оператора.
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения оператора :
154 |
|
Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ |
|||
|
-1- |
-2 |
-3 |
5 |
|
|
|
||||
|
0 |
-3- -3 |
5 |
0 1 1 3 0 . |
|
|
0 |
-4 |
-3- |
6 |
|
|
-1 |
-5 |
-5 |
9- |
|
Таким образом, оператор имеет два различных собственных значения: 1 1 и 2 1 .
Так как 1 1 имеет алгебраическую кратность 1, то ему отвечает одна жорданова клетка порядка 1 (она состоит из одного
числа -1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим 2 |
1 . Оно имеет алгебраическую кратность 3. |
||||||||||||
Вычислим ранг r1 |
матрицы A 1 E |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
2 |
3 |
5 |
|
1 |
5 |
5 |
8 |
|||
|
|
0 |
4 |
3 |
5 |
|
|
|
0 |
2 |
2 |
3 |
|
A 1 E |
|
|
... |
|
. |
||||||||
|
|
0 |
4 |
4 |
6 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Отсюда следует, что r1 3. Вычислим общее количество жордано-
вых |
клеток, |
отвечающих |
собственному |
значению |
2 1: |
||||
n r1 |
4 3 1. Так как получилась одна клетка, то ее порядок |
||||||||
равен |
3 − |
алгебраической |
кратности |
|
собственного |
значения |
|||
2 1. В этом случае вычислять r2 |
не требуется. |
|
|||||||
Запишем жорданову нормальную форму матрицы оператора : |
|||||||||
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
J |
. |
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
155
Глава 4. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ
4.1. Многочлен от матрицы
Пусть V − линейное пространство над множеством F (где F= или F=), dimV n, L(V ,V ) − линейный оператор. Пусть
p(t) p |
(t) a |
a t ... a tm − числовой многочлен, |
a F. |
|
m |
0 |
1 |
m |
i |
Определение 4.1. Многочленом от оператора назовем опера-
тор |
p ( ) a I a ... a m |
L(V ,V ) , где по определению |
|||||
|
m |
0 |
1 |
m |
|
|
|
0 |
I тождественный оператор, а k ... . |
||||||
|
|
|
|
|
|
k раз |
|
Замечание 4.1. Нетрудно проверить, что если |
p( ), q( ) два |
||||||
многочлена |
от |
одного |
и |
того |
же |
оператора, то |
|
p( )q( ) q( ) p( ), т.е. |
два многочлена от одного и того же |
||||||
оператора коммутируют между собой. |
|
|
|||||
Определение 4.2. Пусть матрица A является квадратной матри- |
|||||||
цей порядка n |
(A Mat(n)), тогда многочленом от матрицы A |
||||||
назовем матрицу |
p (A) a E a A ... a Am Mat(n) , где по- |
||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
m |
|
лагаем A0 E Mat(n) − единичная матрица порядка n . |
|||||||
Замечание 4.2. Если A − матрица оператора в базисе , то |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
p(A |
). |
(4.1) |
|
|
|
|
p( ) |
|
|
|
156 |
Глава 4. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ |
Определение 4.3. Будем говорить, что многочлен p(t) аннули- |
рует оператор (или матрицу A ), |
если p( ) (или, соответст- |
||||
венно, p(A) , здесь Mat(n) |
− нулевая матрица). |
|
|||
Замечание 4.3. Из соотношения (4.1) следует, что p(t) |
аннули- |
||||
рует оператор тогда и только тогда, когда |
p(t) аннулирует A . |
||||
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
линейное |
пространство |
квадратных |
матриц |
|
Mat(n) , тогда |
dim Mat(n) n2 . |
Пусть матрица A Mat(n) − |
|||
произвольная матица этого |
пространства. |
Рассмотрим |
матрицы |
E, A, A2 , ..., An2 . Их количество равно n2 1 n2 , поэтому они образуют линейно зависимую систему матриц. Следовательно, су-
ществуют числа |
0 , 1 |
,..., |
2 не все равные нулю, такие, что |
|
|
|
|
n |
|
|
E A ... 2 An2 |
. Это означает, что матрица A аннули- |
||
0 |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
руется многочленом q(t) 0 1t ... n2 tn2 , который не равен
нулю тождественно.
Среди всех не равных тождественно нулю многочленов, аннулирующих A , выберем многочлен минимальной степени. Приходим к определению.
Определение 4.4. Минимальным многочленом матрицы A (оператора ) называется многочлен наименьшей степени со
старшим коэффициентом 1, аннулирующий матрицу A (оператор ).
Будем обозначать через А (t) минимальный многочлен матри-
цы A и через |
(t) – минимальный многочлен оператора . Оче- |
|
видно, (t) |
А (t) , где A |
- матрица оператора в базисе . |
|
|
|
Отсюда следует, что минимальный многочлен матрицы операторане зависит от выбора базиса.
Теорема 4.1. Всякий аннулирующий многочлен делится на ми-
нимальный. |
|
Доказательство. Пусть |
p(t) − аннулирующий многочлен мат- |
рицы A , т.е. p(A) . |
Разделим p(t) на А (t) с остатком: |
4.1. Многочлен от матрицы |
157 |
|
|
p(t) q(t) |
A (t) r(t) , степень многочлена r(t) меньше степени |
||
многочлена |
А (t) . Подставим в это равенство матрицу A . |
Тогда |
получим r(A) , т.е. r(t) аннулирует матрицу A. Но тогда r(t) 0 , т.к. иначе он ненулевой, аннулирующий многочлен, со степенью, меньшей, чем степень минимального многочлена А (t) ,
что противоречит определению минимального многочлена. Теорема доказана.
Следствие. Минимальный многочлен |
|
А (t) единственен. |
||
Доказательство. Пусть |
|
(t) и |
|
|
A |
A |
(t) – два минимальных |
многочлена. У них старший коэффициент равен 1 и они делятся друг на друга, поэтому, очевидно, они совпадают.
Теорема 4.2 (Гамильтона−Кэли). Всякая матрица |
A Mat(n) |
||
аннулируется |
своим |
характеристическим |
многочленом |
Pn ( ) det(A E).
Доказательство. Пусть B Mat(n) − матрица с элементами bij , которые равны алгебраическим дополнениям элементов
c ji матрицы A E . Значит bij – многочлен от степени n 1. Тогда матрица B B( ) запишется в виде
B( ) B(0) B(1) ... B(n 1) n 1,
где B(i) Mat(n) – числовые матрицы порядка n . По построению
матрицы B |
|
|
(A E) 1 |
1 |
B( ) при , |
|
||
|
||
|
det(A E) |
i |
|
|
где i – собственные значения матрицы A. Следовательно,
B( )(A E) Pn ( )E, i .
Пусть Pn ( ) 0 1 ... ( 1)n n . Тогда имеем равенство
(B(0) B(1) ... B(n 1) n 1 )(A E)
(4.2)
( 0 1 ... ( 1)n n )E , i .
Матричное равенство (4.2) влечет за собой поэлементное равен-
158 |
Глава 4. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ |
ство соответствующих многочленов при всех , кроме i . Но тогда, очевидно, многочлены равны при всех , а, следовательно,
равны коэффициенты при одинаковых степенях . Поэтому справедлива система равенств
B(0) A 0E,
B(1)A B(0)E 1E,
...........................
B(n 1) A B(n 2)E n 1E,
B(n 1) E ( 1)n E.
Умножим первое из этих равенств справа на A0 E , второе на A1
и т.д., последнее равенство умножим справа на An . Сложив все полученные равенства, получим следующее выражение:
0E 1A ... ( 1)n An Pn (A),
т.е. многочлен Pn ( ) аннулирует матрицу A . Теорема доказана. Следствие 1. Характеристический многочлен Pn ( ) делится на
минимальный.
Следствие 2. Если все корни характеристического многочлена
лежат в F, то и все корни минимального многочлена лежат в F, а, следовательно, минимальный многочлен разлагается на линейные множители.
4.2. Минимальный многочлен жордановой нормальной формы
Пусть J0 – жорданова клетка порядка h , соответствующая собственному значению 0 , т.е.
4.2. Минимальный многочлен |
|
|
|
159 |
|||||
|
|
0 |
1 |
0 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
J |
0 |
. . . . . |
. |
E Mat(h) , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 ... |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
0 ... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
||||||
. . . |
. . |
. |
. |
||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
Теорема 4.3. Для минимального многочлена жордановой клетки |
||
J |
0 |
справедливо соотношение |
J0 |
(t) (t )h , где h − размер |
|
|
0 |
||
жордановой клетки. |
|
|
||
|
|
Доказательство. Матрица |
J0 0E является нильпотент- |
ной матрицей порядка h и тогда в силу утверждения 3.11 матрица
(J |
0 |
E)h |
− нулевая матрица, |
|
но |
в |
то |
же время |
матрица |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(J |
0 |
E)h 1 |
|
. |
|
Следовательно, |
|
(t )h |
аннулирует |
матрицу |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
J0 , |
поэтому |
J |
0 |
(t) |
должен быть |
его |
делителем, |
а значит |
|||||||
J0 |
(t) (t )m |
, |
m h . Однако, |
(t )h 1 |
не аннулирует мат- |
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
рицу J |
0 |
, поэтому |
|
|
(t) (t )h |
. Теорема доказана. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
J0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Приведем без доказательства следующее утверждение. Утверждение 4.1. Пусть матрица является блочно-
диагональной матрицей, т.е.
160 |
Глава 4. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ |
||||||
|
A1 |
0 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
A2 ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
A . |
. . |
. |
. |
|
, |
|
|
|
0 |
0 ... |
Ad 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
0 ... |
0 |
|
|
|
|
|
Ad |
|
и пусть A |
(t) − минимальный многочлен клетки Ai . Тогда спра- |
||||
|
i |
A (t) HOK A (t), i 1, 2,..., d . |
|||
ведливо равенство |
|||||
|
|
|
|
i |
|
Теорема 4.4. Пусть 1,..., k |
− корни характеристического мно- |
||||
гочлена матрицы |
A и все они лежат в F, т.е. являются собствен- |
||||
ными значениями матрицы A. Приведем матрицу A к жордановой |
|||||
форме J. Пусть hj |
− максимальный размер жордановой клетки, от- |
||||
вечающей собственному значению j , |
j 1, 2,..., k, тогда для ми- |
||||
нимального многочлена матрицы A справедливо равенство |
|||||
|
|
A |
(t) (t )h1 ... (t )hk . |
||
|
|
|
1 |
l |
|
Доказательство. Действительно, |
A (t) J (t) и в силу ут- |
верждения 4.1 равно наименьшему общему кратному (НОК) минимальных многочленов всех жордановых клеток. В то же время в
силу теоремы 4.3 минимальный многочлен клетки, отвечающий j
и размера mi равен (t j )mi , откуда и следует справедливость утверждения теоремы 4.4.
Следствие. Пусть корни характеристического многочлена мат-
рицы A принадлежат F. Жорданова форма матрицы A имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда минимальный многочлен не имеет кратных корней.