Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lineynye_operatsii

.pdf

Скачиваний:

147

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

5.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

3.1. Корневые векторы и корневые подпространства							91
	Ker A E 1 Ker A E 2
	0		0
	... Ker A E p 1	Ker A E p V 0 .
	0			0
	0	0			0
Здесь	Ker A E 1 Ker A		E :		A E	0

собственное подпространство V 0 , отвечающее собственному зна-

чению 0 .

Способы практического нахождения корневых векторов

Рассмотрим два способа нахождения корневых векторов и корневых подпространств линейного оператора , матрица которого в

некотором базисе равна A.

1 способ

1.Находим все собственные значения оператора (матрицы A ) и их алгебраические кратности.

2.Для каждого собственного значения i алгебраической крат-

ности ni ищем отвечающее ему корневое подпространство V i .

Для этого возводим матрицу A i E в степень до тех пор, пока

n rang A E p	не станет равной		n .	В результате получаем
i			i
p максимальную высоту		корневого вектора ( p ni ), отвечаю-

щего собственному значению i . Решаем однородную систему ли-

нейных алгебраических уравнений A E p 0 и находим
	i


фундаментальную систему решений e1i ,	, eni i . Эти решения об-

разуют базис корневого подпространства V i , а само корневое

подпространство V i является	линейной		оболочкой	фундамен-
тальной системы решений e1i ,	eni	V i	L e1i , eni	.
	i		i
3. Если требуется найти высоты базисных векторов ei ,					ei	, то
				1	n
					i

ищем высоту каждого базисного вектора eij следующим способом:

92	Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
вычисляем	последовательно		A i E eij ,			A i E 2 eij	( eij

столбец координат вектора eij )				и	т.д., и	находим s такое, что
A i E s 1 eij		0, а A i E s		eij	0; следовательно, s		иско-


мая высота корневого вектора			eij .

2 способ

1.Находим все собственные значения оператора (матрицы A ) и их алгебраические кратности.

2.Для каждого собственного значения i алгебраические крат-

ности ni :

1) решаем однородную систему линейных алгебраических урав-

нений A i E 0 и находим фундаментальную систему реше-

ний e1i , , elii . Эти решения являются линейно независимыми собственными векторами оператора , отвечающими собственному значению i , т.е. корневыми векторами высоты 1. Их количе-

ство равно геометрической кратности i ;

2) решаем однородную систему линейных алгебраических уравнений A i E 2 0 и дополняем ранее найденную систему ли-

нейно независимых			векторов ei ,	ei	векторами решениями
			1	l
				i
ei	,..., ei , линейно независимыми с найденными ранее, при этом
li 1	gi
векторы ei		,...,ei	являются линейно независимыми корневыми
	li 1	gi

векторами высоты 2; 3) повторяем эту процедуру для однородной системы линейных

алгебраических уравнений A i E 3 0, и т.д., до тех пор, пока

общее количество линейно независимых решений не достигнет ал-

3.1. Корневые векторы и корневые подпространства				93
гебраической кратности ni собственного	значения i		размерно-
сти пространства V i . Количество шагов не превосходит				n .
				i
i	i	i	i
В результате получаем базис e1 ,..., eli		, eli 1 ,..., eni		корневого

подпространства V i , при этом для каждого вектора оказывается

найденной его высота.

Отметим, что первый способ проще логически, но может потребовать большего количества вычислений, чем второй способ, который требует меньшей вычислительной работы, но в нем на каждом шагу надо следить за тем, чтобы вновь выбранные векторы фундаментальной системы решений образовывали с ранее найденными векторами линейно независимую систему. Второй способ понадобится при нахождении жорданова базиса.

Пример 3.3. Для заданной матрицы найдем корневые подпространства и укажем в них какой-либо базис. Для векторов базиса (как для корневых) найдем их высоту.

	-2		3	1
A		-1	-5	0	.

		0	1	-2
		0	1	-2

Решение. Составим характеристическое уравнение

	-2- 3		1
	-2- 3		1
det A E	-1	-5-	0	3 3 0 .
	0	1	-2-

Следовательно, оператор имеет только одно собственное значение 0 3 алгебраической кратности n0 3, а корневое под-

пространство, отвечающее этому собственному										значению, совпа-
дает со всем пространством V 0				V , dimV 0					3.
1 способ. Найдем ранг матрицы A 3E:
1		3	1	1		3	1	1		3	1
	-1	-2	0		0	1			0	1	1
A+3E							1					.
	0	1	1		0	1			0	0	0
							1

94		Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
Следовательно,				rang A+3E 2, а n rang A+3E 3 2 3.
Вычислим матрицу A+3E 2										и найдем ее ранг
		1			3 1 1					3 1			-2 -2 2						1 1 -1
A+3E	2		-1		-2		0		-1	-2	0		1	1					0	0	0
												=				-1						.
			0		1 1				0	1 1			-1 -1 1						0 0 0

Имеем		rang A+3E 2 1								и n rang A+3E 2							3 1 3. Это
означает, что максимальная высота корневого вектора																			p больше 2,
а так как она меньше или равна 3, получаем, что																		p =3. Следова-
тельно, rang A+3E 3 0 , т.е. A+3E 3														нулевая матрица.							Про-
верим это:
						1 3				1 -2 -2				2	0 0				0
A+3E				3			-1	-2		0	1	1				0		0	0
														-1						.
							0 1			1	-1 -1					0 0			0
														1

Фундаментальной системой решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с нулевой матрицей системы являются любые три линейно независимых вектора. Возьмем, на-

пример, e1 1, 0, 0 , e2 0,1, 0 , e3 0, 0,1 . Найдем их высоты:

	1		3 1 1						1
A+3E e1	-1		-2	0	0		=			-1		,

		0	1 1		0
		0	1 1		0					0
	1		3 1 1						-2
A+3E 2 e1		-1	-2	0		-1 =					1		,

		0	1 1								-1
		0	1 1			0					-1
	1		3 1 -2							0
A+3E 3 e1		-1	-2	0		1		=			0		,

		0	1 1			-1					0
		0	1 1			-1					0

3.1. Корневые векторы и корневые подпространства									95
следовательно, высота вектора e1			1, 0, 0 равна 3. Аналогично,
	1		3	1 0			3
A+3E e		-1	-2	0	1	=		-2	,
2
		0	1	1	0			1
		0	1	1	0			1


	1		3 1 3							-2
A+3E 2 e		-1	-2	0	-2			=				1		,
2
		0	1 1			1
		0	1 1			1						-1
	1		3 1 -2							0
A+3E 3 e		-1	-2	0		1		=				0			,
2
		0	1 1									0
		0	1 1			-1						0
	1		3 1 0						1
A 3E e		-1	-2 0			0	=				0		,
3
		0	1 1			1					1
		0	1 1			1					1
	1		3 1 1						2
A+3E 2 e		-1	-2	0		0	=				-1				,
3
		0	1 1			1						1
		0	1 1			1						1
	1		3 1 2							0
A+3E 3 e		-1	-2	0		-1		=				0			,
3
		0	1 1			1						0
		0	1 1			1						0
высота векторов e2 0,1, 0 ,		e3	0, 0,1 также равна 3.
Заметим, что в данном примере V 0					V. Поэтому, если нам не

нужно находить максимальную высоту корневого вектора, то в

качестве базиса V 0 V можно было сразу взять любые три линейно независимых вектора и найти их высоты.

2 способ

1) Решим однородную систему линейных алгебраических уравнений

96	Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
			1
	A+3E 0	,	2
	A+3E 0	,	2

			3
			3

методом Гаусса. Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:

1		3	1	1		3	1	1		3	1	1 0			-2
	-1	-2	0		0	1			0	1	1		0	1	1
A+3E							1									.
	0	1	1		0	1			0	0	0		0	0	0
							1

1 2 3				0	1	2 3		. Здесь 3
Отсюда получаем				или
	2		3	0			3
					2
свободная переменная.		Положим 3 1,			получаем e1 2, -1,1

собственный вектор оператора , отвечающий собственному значению 0 3 , т.е. корневой вектор высоты 1. Так как мы получили только один линейно независимый собственный вектор, то

геометрическая кратность собственного										значения 0		3 равна 1.
2) Решим однородную систему линейных алгебраических урав-
нений A+3E 2 0 методом Гаусса. Приведем матрицу системы

к сильно ступенчатому виду:
		1 3			1 1		3 1			-2 -2 2			1	1	-1
A+3E	2		-1	-2	0	-1	-2 0			1			0	0	0
									=		1 -1 ~					.
			0 1		1	0	1 1						0	0	0
										-1 -1 1
Отсюда получим 1					2	3	0 ,	или		1	2 3 .		Имеем две

свободные переменные: 2 и 3 . Фундаментальная система решений этой системы состоит из двух решений. Одно из них берем e1 2, -1,1 решение системы, полученной на предыдущем шаге.

У этого вектора 3 1. Чтобы получить линейно независимый с ним вектор высоты 2, положим свободную переменную 3 0.

3.1. Корневые векторы и корневые подпространства					97
Тогда, выбрав	2	1, получаем e2	-1,1, 0	корневой вектор
высоты 2.
3) A+3E 3		нулевая матрица.	Фундаментальной		системой

решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с нулевой матрицей системы являются любые три линейно не-

зависимых вектора. Нужно дополнить		векторы e1 2, -1,1 и
e2 -1,1, 0 линейно независимым с		ними вектором. Выбрав
3 0 , 2 0	, 1 1 , получаем вектор e3 1, 0, 0 корневой
вектор высоты	3.

Пример 3.4. Для заданной матрицы найти корневые подпространства и указать в них какой-либо базис. Для векторов базиса (как для корневых) найти высоту.

	-1		5	1	-7

A		-1	0	0	-1 .
A		-2	-8	2	2
		-1	-4	-1	5
		-1	-4	-1	5

Решение. Составим характеристическое уравнение:

	-1- 5		1	-7
	-1- 5		1	-7
det A E	-1	-	0	-1	4 2 1 2 0.
	-2	-8	2-	2
	-1	-4	-1	5-

Оператор имеет два собственных значения: 1				4 и 2		1 ал-
гебраической кратности		n n 2. Поэтому V V 1			V 2 , здесь
		1	2
V 1 и V 2	корневые подпространства, отвечающие собствен-
ным значениям	1 и 2 ,	и	dimV 1 dimV 2	2 .
1 способ
Рассмотрим	сначала	собственное значение		1	4.	Найдем

ранг матрицы A 4E:

98	Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
	-5			5 1	-7		-5 5			1 -7

A 4E		-1	-4 0 -1					-1 -4		0 -1
	-2		-8 -2 2					-1 -4	-1 1

		-1	-4 -1 1					-1 -4	-1 1
-1 -4			0	-1	-1 -4 0				-1		-1 0		0 -1
	0 0		-1	2		0 1 0			0			0 1	0 0
	0 0		-1	2		0 1 0			0			0 1	0 0	.
	0 25		6 -12			0 0 1			-2			0 0	1 -2	.
	0 25		6 -12			0 0 1			-2			0 0	1 -2

	0 0		0	0		0 0 0			0			0 0	0 0
Следовательно,			rang A 4E 3 и тогда, очевидно,
	n rang A 4E 4 3 1 dimV 1 2 .
Это означает,		что		максимальная				высота			корневого		вектора p

больше 1, а так как она меньше или равна 2, то p =2. Вычислим

матрицу A 4E 2 :
25		-25	0	25
	10	15	0	10
A 4E 2	10	15	0	10	;
	20	30	0	20

	10	15	0	10

ирешим однородную систему A 4E 2 0 методом Гаусса:

	1		-1 0		1	1		-1 0		1	1 0			0	1
A 4E 2		2	3	0	2		0	5	0	0		0	1 0		0
A 4E 2		2	3	0	2		0	5	0	0		0	1 0		0	.
		2	3	0	2		0	0	0	0		0	0	0	0

		2	3	0	2		0	0	0	0		0	0	0	0

	1 4		0	1	4	.	Выбирая сво-
Отсюда получаем			0	или	0
		2
				2
бодные переменные 3		и 4 −		сначала 3	1 ,	4	0 , а затем
3 0 , 4	1 − получаем два линейно независимых решения этой

3.1. Корневые векторы и корневые подпространства						99
системы: e1 0, 0,1, 0		и e1 -1, 0, 0,1 , которые образуют базис
1		2
V 1 . Найдем их высоты:
		-5 5 1 -7	0		1

A 4E e11		-1 -4 0 -1	0		0	0 ,
		-2 -8 -4 2	1		-4

		-1 -4 -1 1	0		-1
		-5 5 1 -7	-1		-2

A 4E e1		-1 -4 0 -1	0	=	0	0 .
		-2 -8 -4 2 0			4
	2

		-1 -4 -1 1	1		2
Так как e1	и e1 не являются собственными векторами, т.е. кор-
1	2

невыми векторами высоты 1, то они являются корневыми векторами высоты 2.

Теперь рассмотрим собственное значение 2 1. Найдем ранг матрицы A+E:

	0		5	1	-7	-1		1 0 -1			-1 1 0				-1
		-1	1				0	5	1	-7		0	5	1	-7
A+E				0 -1
		-2	-8	3	2		0	-10	3	4		0	0	5	-10
		-1	-4	-1	6		0	-5	-1	7		0	0	0	0

-1 1 0				-1	1 -1 0				1	1 0			0	0
	0	5	1	-7		0	5	0	-5		0	1 0
														-1		,
	0	0	1	-2		0	0	1	-2		0	0	1	-2

	0	0	0	0		0	0	0	0		0	0	0	0

т.е. rang A+E 3, а n rang A+E 4 3 1 dimV 2															2.

100	Глава 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
Это означает, что максимальная высота					корневого вектора p
больше 1, а так как она меньше или равна dimV 2							2 , то p =2.
Вычислим матрицу A+E 2 :
	0		25	10	-45
		0	0	0	0
	A+E 2	0	0	0	0	,
		0	-50	5	40

		0	-25	-10	45

ирешим однородную систему A+E 2 0 методом Гаусса:

	0	5	2	-9	0	5	2	-9
A+E 2
A+E 2	0	0	0	0	0	-10	1	8	~
	0	-10	1 8		0	0	0	0
	0	-5	-2	9	0	0	0	0

0 5 2			-9		0		5	2	-9
	0 0 5		-10			0	0	1	-2
	0 0 5		-10	~		0	0	1	-2
	0 0 0		0	~		0	0	0	0
	0 0 0		0			0	0	0	0

	0 0 0		0			0	0	0	0
	0 5 0		-5		0		1 0		-1
		0 0 1	-2			0	0	1	-2
~		0 0 1	-2			0	0	1	-2	.
		0 0 0	0			0	0	0	0

		0 0 0	0			0	0	0	0

2 4				0	2	4		.	Выбирая сво-
Отсюда получаем		2		0	или	2
	3		4				4
					3
бодные переменные 1 и			4	−	сначала 1	1 ,		4	0 , а затем

1 0 , 4	1 − получаем два линейно независимых решения этой
системы:	e12 1, 0, 0, 0	и e22 0,1, 2,1 , которые образуют ба-

зис V 2 . Найдем их высоты:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.20151.32 Mб113lektsii_Telyaka_starshego.pdf
#
04.06.20152.95 Mб3lichman.doc
#
26.09.20193.02 Mб2Linal.doc
#
04.06.201571.39 Кб13Linal.doc
#
27.09.2019322.75 Кб49LinAl_otvety.docx
#
05.06.20155.31 Mб147Lineynye_operatsii.pdf
#
19.09.20191.19 Mб14literature s art(1 группа).doc
#
04.06.20156.16 Mб39Literaturny_obzor.docx
#
04.06.201598.3 Кб99Makiavelli.doc
#
04.06.2015428.54 Кб19Makro.doc
#
05.06.2015300.19 Кб33manual-l2only.pdf