пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
В.И. Деев К.В. Куценко А.А. Лаврухин А.П. Никулин
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ЭВМ
Пособие к лабораторному практикуму по курсу «Основы тепломассопереноса»
Рекомендовано к изданию редсоветом университета
Москва 1998
Р30 УДК 536.2(076)
ББК
Деев В.И., Куценко К.В., Лаврухин А.А., Никулин А.П. Решение задач теплопроводности на ЭВМ: Пособие к лабораторному практикуму по курсу «Основы тепломассопереноса». М.: МИФИ, 1998. - 65 с.
Пособие подготовлено в соответствии с содержанием раздела ″Теплопроводность″ курса «Основы тепломассопереноса» и включает 11 типовых задач для решения их с использованием ЭВМ в рамках лабораторного практикума.
Предназначено для студентов старших курсов факультета “Ф”, специализирующихся в области теплофизики ядерных энергетических установок.
©В.И. Деев, К.В. Куценко, А.А. Лаврухин
А.П. Никулин, 1998
©Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет), 1998
ISBN 5-7262-0176-0
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
a - коэффициент температуропроводности, м2/с ñ - удельная теплоемкость, Дж/(кг К)
D, d - диаметр, м
F - площадь поверхности, м2 L, l - линейный размер, м
Q - поток тепла, Вт
q - плотность потока тепла, Вт/м2
ql - поток тепла на единицу длины, Вт/м
qv - мощность внутренних источников тепла, Вт/м3 r - радиус, м
t - температура, 0C
tж - температура жидкости, 0C tс - температура стенки, 0C
t - разность температур, 0C V - объем, м3
x, y, z - координаты, м
α - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2 К) δ - толщина, м
λ - коэффициент теплопроводности, Вт/(м К) ρ - плотность, кг/м3 τ - время, с
Bi = αL/λ - число Био Fo = aτ/L2 - число Фурье
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время совершенно очевидно, что уже на начальной стадии изучения профилирующих дисциплин студенты вузов, специализирующиеся в области теплофизики, должны приобретать практические навыки работы с современными ЭВМ и существующим программным обеспечением, предназначенным для проведения разнообразных теплофизических расчетов. Именно на достижение этой цели и направлено данное учебное пособие, в котором студентам предлагается решить на ЭВМ в рамках лабораторного практикума по теплопередаче несколько типовых задач стационарной и нестационарной теплопроводности.
При подготовке пособия авторы стремились обратить главное внимание на физическую сторону изучаемых явлений и математическую сторону решаемой задачи, имея в виду, что вопросы численного моделирования тепловых процессов, а также составления конкретных расчетных программ излагаются в других учебных курсах. Кроме того, в последние годы издано большое количество как отечественной, так и зарубежной литературы, ориентированной на уровень расчетчика-пользователя готовых программ. Поэтому восполнить недостающие знания по практическому использованию ЭВМ в различных областях научной и инженерной деятельности сейчас уже, по-видимому, не представляет особого труда.
Предлагаемые в учебном пособии задачи составлены по единой схеме. После краткого описания физической сущности и математической постановки каждой типовой задачи намечаются пути ее теоретического исследования и там, где это необходимо, приводятся в достаточно общей форме итоговые аналитические зависимости. В наиболее сложных случаях на простых примерах рассматриваются и способы построения конечноразностных схем, а также результаты численного решения задачи с конкретными исходными данными.
Все задачи в учебном пособии носят самостоятельный характер и могут рассматриваться как отдельные работы. Поэтому при недостатке времени читателю нет необходимости изучать пособие в целом, а достаточно ознакомиться лишь с интересующим его материалом. В каждой лабораторной работе студенту предлагается специальное задание, а также формулируются требования к оформлению отчета, следуя которым необходимо провести предварительный теоретический анализ одного из вариантов задачи, выполнить расчеты на ЭВМ с использованием индивидуальных исходных данных, а также сравнить данные численного решения задачи с результатами аналитического исследования. Проводя самостоятельное исследование конкретного варианта задания, студент имеет возможность контролировать ход своих рассуждений, а также убедиться в правильности полученных им
4
результатов, опираясь на представленные в пособии примеры и обобщенные соотношения.
При подготовке учебных задач для решения на ЭВМ авторы пособия ориентировались на программный «Комплекс работ по курсу “Теплообмен”», составленный сотрудниками Санкт-Петербургского института точной механики и оптики А.В. Сигаловым, А.О. Сергеевым, М.М. Короткевич. Программа для расчета стационарных двухмерных полей температур в твердых телах подготовлена одним из авторов пособия А.П. Никулиным (МИФИ). Программы для расчета распределения температур в телах с переменным коэффициентом теплопроводности в стационарном режиме и нестационарной теплопроводности в полуограниченном массиве написаны доцентом кафедры теплофизики МИФИ И.Г. Мериновым, за что авторы пособия выражают ему искреннюю благодарность.
5
ВВЕДЕНИЕ
Процесс теплопроводности состоит в переносе теплоты при непосредственном соприкосновении тел или частей одного тела с разной температурой, при этом тепло самопроизвольно распространяется от участков более нагретых к менее нагретым. В общем случае передача тепла теплопроводностью сопровождается изменением температуры как в пространстве, так и во времени. Совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент времени называется температурным полем. Таким образом, математическим выражением
температурного поля является функция |
|
t = t (x, y, z, τ). |
(Â.1) |
Ее определение и составляет главную задачу аналитического исследования теплопроводности. При численном исследовании процесса теплопроводности функция (В.1) заменяется совокупностью значений температуры в узловых точках пространственно-временной сетки, с помощью которой исследуемая область пространства разбивается на отдельные элементы, а рассматриваемый промежуток времени делится на определенные конечные интервалы.
Различают стационарные и нестационарные температурные поля. В случае нестационарного температурного поля температура изменяется с течением времени, а процесс теплопроводности является неустановившимся. В установившемся режиме теплопроводности температура в каждой точке поля остается неизменной во времени - такое температурное поле называется стационарным. Пространственные температурные поля могут быть функциями трех, двух или одной координаты, соответственно такие поля носят названия трехмерных, двухмерных или одномерных. Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля:
t = t (x), |
(Â.2) |
а∂t = ∂t = ∂t = 0 . ∂y ∂z ∂τ
6
1.СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Вустановившемся (стационарном) режиме теплопроводности температурное поле не зависит от времени, т.е. ∂t/∂τ=0, а дифференциальное уравнение переноса тепла имеет вид
div q = qv , |
(1.1) |
где q - вектор плотности теплового потока, характеризующий |
скорость |
переноса тепла в неоднородно нагретом теле; qv - мощность внутренних источников тепла, действующих в нем. Для однородных и изотропных тел согласно закону теплопроводности Фурье вектор q пропорционален по величине и противоположен по направлению градиенту температуры, т.е.
q = -λgradt. |
(1.2) |
Коэффициент теплопроводности λ является одним из важнейших физических свойств вещества и определяет его способность проводить тепло. В общем случае коэффициент теплопроводности твердых тел зависит от температуры.
Для решения конкретной задачи теплопроводности к дифференциальному уравнению (1.1) необходимо присоединить соответствующие граничные условия (1, 2 или 3-го рода), которые определяют условия теплового взаимодействия окружающей среды (или системы других тел) с рассматриваемым телом на его границах.
Совокупность уравнений (1.1), (1.2) совместно с граничными условиями дает возможность найти стационарное распределение температур в неоднородно нагретом теле.
1.1.Теплопроводность в телах простейшей геометрической формы
спеременным коэффициентом теплопроводности
Коэффициент теплопроводности λ большинства материалов не является постоянной величиной, а зависит от температуры. Если λ(t) - произвольная функция температуры, то при стационарном режиме теплопроводности в твердом теле, в котором отсутствуют внутренние источники тепла, температурное поле описывается нелинейным дифференциальным уравнением
7
div(λgradt) = 0. |
(1.3) |
В случае тел простейшей геометрической формы (неограниченной пластины, бесконечно длинного цилиндра, шара), когда температура зависит только от одной координаты, уравнение (1.3) имеет вид:
для плоской стенки (0 < x < δ) |
|
|
|
||
|
d |
d t |
, |
||
|
|
λ |
|
= 0 |
|
|
|
|
|||
|
d x |
d x |
|
||
для цилиндрической стенки (r1 < r < r2)
|
1 d |
|
|
d t |
||||||
|
|
|
|
|
|
rλ |
|
= 0 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
r d r |
|
|
d r |
||||||
для шаровой стенки (r1 < r < r2) |
|
|
|
|
||||||
|
1 d |
2 |
|
|
d t |
|||||
|
|
|
|
|
r |
|
λ |
= 0 . |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 d r |
|
|
|
d r |
|||||
|
r |
|
|
|
|
|||||
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Если на границах стенки заданы постоянные температуры (граничные условия 1-го рода), то решения уравнений (1.4)-(1.6) можно записать следующим образом:
для плоской стенки (t |
x = 0 = tс1; |
t |
x = δ = tс2 ) |
|
|
|
||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
∫ λ(t )d t |
= λ |
ср |
t 1 − |
|
|
|
|
, |
(1.7) |
||||||
|
|
δ |
||||||||||||||
|
tc2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= tс2 ) |
|
||||||||
для цилиндрической стенки ( t |
r = r = tс1; |
t |
r = r |
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
t |
|
|
|
|
ln |
r2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫ λ(t )d t = λср |
t |
|
|
|
r |
, |
|
(1.8) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
tс2 |
|
|
|
|
ln |
r2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r
1
8
для шаровой стенки (t |
r = r |
= tс1; t |
r = r |
= tс2 ) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
− r r |
|
||||||
|
|
|
|
∫ λ(t )d t |
= λ ср |
t |
|
2 |
|
|
|
1 |
. |
(1.9) |
||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− r r |
|
|||||||
|
|
|
tс2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В формулах (1.7)-(1.9) t = tc1 - tc2 - разность температур на границах |
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
tc1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
стенки; |
λср = |
|
∫ λ(t ) d t - |
среднеинтегральное значение |
коэффициента |
|||||||||||||||||
t |
||||||||||||||||||||||
|
|
tc2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
теплопроводности в интервале температур tc1, tc2. |
|
|||||||||||||||||||||
Если известно λср, легко рассчитать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
плотность потока тепла для плоской стенки - |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ ср |
|
t |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
q = |
|
|
|
|
, |
|
Вт/м , |
(1.10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
поток тепла на единицу длины цилиндрической стенки - |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ql = |
|
2πλ |
ср |
t |
, |
Вт/м, |
(1.11) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln |
r2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поток тепла через шаровую стенку - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4πλ |
ср |
tr r |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Q = |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
, Вт. |
(1.12) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
− r |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для многих материалов в определенном интервале температур достаточно хорошо выполняется линейный закон изменения коэффициента теплопроводности с температурой:
λ(t ) = λ 0 (1 + βt ), |
(1.13) |
где β - постоянная. В таком случае среднее значение коэффициента теплопроводности λср можно принять равным значению λ при средней температуре двух поверхностей стенок, то есть
9
|
|
|
tс1 + tс2 |
|
|
|
|
λ ср |
= λ 0 |
1 + β |
|
|
, |
(1.14) |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
а распределение температуры в стенке можно получить из формул (1.7) - (1.9), подставив в них выражение (1.13).
Задание
1.Найти в явном виде распределение температуры в стенке заданной геометрической формы при граничных условиях 1-го рода в случае, если
коэффициент теплопроводности материала стенки изменяется с температурой по линейному закону: λ(t ) = λ 0 (1 + βt ).
2.Используя исходные данные, рассчитать на ЭВМ поле температуры в стенке для значений β = 10-4, 10-3, 10-2 К-1.
3.Для указанных в п.2 значений β найти поток тепла в стенке.
4.Полученные результаты сравнить с данными для случая λ=const (β=0).
Исходные данные
Вариант 1. Плоская стенка -
δ = 0,25 м, tc1 = 1350 0C, tc2 = 50 0C, λ0 = 0,72 Вт/(м К).
Вариант 2. Цилиндрическая стенка -
r1 = 0,02 м, r2 = 0,07 м, tc1 = 550 0C, tc2 =50 0C, λ0 = 0,15 Вт/(м К).
Вариант 3. Шаровая стенка - см. исходные данные для варианта 2.
В отчете необходимо представить:
1.Математическую формулировку задачи; аналитические зависимости, описывающие распределение температуры в стенке.
2.Результаты выполненных расчетов в виде таблиц и графиков.
1.2.Теплопроводность в двухслойной стенке. Критическая толщина тепловой изоляции
10