3Признаки сравнения рядов

   Сходимость рядов. Признаки сравнения

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Признаки сравнения рядов

Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:

 Если сходится, то также сходится;

 Если расходится, то также расходится.

Предельные признаки сравнения рядов

Пусть даны два ряда и , у которых члены a_n и b_n положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:

• Если , то оба ряда и либо сходятся, либо расходятся;

• Если , то ряд сходится, если сходится ряд ;

• Если , то ряд расходится, если расходится ряд .

Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1.

   Пример 1

Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.

Легко видеть, что для n > 1. Применяя далее признак сравнения, находим

Поскольку ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени p = 2, то исходный ряд также сходится.

   Пример 2

Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.

Воспользуемся признаком сравнения. Заметим, что для всех натуральных n. Ряд является обобщенным гармоническим рядом с p = 2 > 1 и, следовательно, сходится. Таким образом, исходный ряд сходится по признаку сравнения.

   Пример 3

Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Можно заметить, что для всех натуральных n. Тогда

Поскольку − гармонический ряд, то он расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится по признаку сравнения.

   Пример 4

Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.

Воспользуемся предельным признаком сравнения. Будем сравнивать заданный ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Тогда

Разделим числитель и знаменатель на n³:

Следовательно, данный ряд сходится в соответствии с предельным признаком сравнения.

   Пример 5

Исследовать ряд на сходимость.

Решение.

Будем сравнивать наш ряд со сходящимся рядом . Получаем

Следовательно данный ряд сходится согласно предельному признаку сравнения.

   Пример 6

Исследовать ряд на сходимость.

Решение.

Применяем предельный признак сравнения. Сравним с расходящимся гармоническим рядом . Вычислим предел отношения соответствующих членов обоих рядов:

Таким образом, исходный ряд расходится.

   Пример 7

Определить, сходится или расходится ряд

Решение.

Используем предельный признак сравнения. Будем сравнивать со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Находим значение предела:

Следовательно, ряд сходится.