1. Определение 2-ого и 3-его порядка. Решение систем 2х и 3х линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.
2. Алгебраические дополнения и миноры. Основные свойства определителей. Определители n-го порядка.
А)Алгебраическим
дополнением
элемента определителя(aij)
называется его минор умноженный на
(-1)i+J
и обозначается
Минором элемента aij опредедитель н-ого порядка называется « n-1»- ого порядка образованный вычеркиванием этой строки и j – ого столбца. Обозначается Mij.
Б)Основные свойства определителей.
При замене всех строк на соотв столбцы определитель не изменится.
При транспонировании определитель не изменится.
При перестановке 2-ух строк (столбцов) определитель меняет знак.
Общий множитель какой либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя
Если все элементы какой либо строки( столбца) нули то определитель равен 0.
Если все элементы какой либо строки (столбца) пропорциональны соотв элементам другой строки, то определитель равен 0.
Если все элементы какой либо строки представляют собой сумму двух слогаемых, то определитель равен сумме двух опред. У первой из которых на этой строке стоят первые слогаемые, а у второго- вторые.
Если все элементы какой либо строки ( столбца) представляют собой линейную комбинацию, соответствующих элементам других строк определитель так же равен 0.
Определитель не изменится если к элементам какой либо стрки ( столбца) прибавить соответсв элементы другой строки или умноженные на одно и то же число.
Определитель равен сумме произвед элементов какой либо строки столбца на их алгебраические дополнения.
Суммы произведения элементов какой либо строки на алгебраич – ие дополнения соотв – щие элементам другой сторки ( столбца) равны 0.
В)Определитель н-ого порядка.
Определение. Определителем (детерминантом) – го порядка или определителем (детерминантом) квадратной матрицы – го порядка называют алгебраическую сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.
Обозначение:
(1)где суммирование ведется по всем перестановкам столбцов.
3. Различные способы вычисления определителей 3-го порядка
1.Метод приведения к треугольгому виду. Этот метод заключается в преобразовани определителея к такому виду, где все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю.
2.Разложения определителя по сто\роке или столбцу.
3.Теорема Лапласа.
4.Метод выделения линейных множителей
5.Метод представления определителя в виде суммы определителей. Некоторые определители легко вычисляются путем разложения их в сумму определителей того же порядка относительно строк или столбцов.
6.Метод изменения элементов определителя.
7.Метод рекуррентных соотношений
8.Определитель Вандермонда
Вычисление определителей
Значение определителя 2-го порядка легко вычисляется по определению используя формулу (2). Для нахождения значения определителя 3-го порядка можно использовать формулу (3). Определители более высоких порядков в принципе тоже можно было бы вычислять по определению, однако это требует очень больших усилий. Чаще поступают следующим образом: определитель n-го порядка сводят к опреде-лителям (n-1)-го порядка, последние - к определителям (n-2)-го порядка и т. д., до тех пор, пока, наконец, не получат определители 3-го или 2-го порядка. В основе этого принципа "постепенного понижения порядка" лежит теорема разложения: определитель n-го порядка D записывается в виде суммы определителей порядка (n-1) ("раскладывается по элементам i-й строки или j-го столбца"); к каждому из этих определителей порядка n-1 вновь может быть применена теорема разложения. Если все элементы аik i-й строки определителя D, кроме одного, равны нулю, то сумма, полученная после применения теоремы разложения, содержит только одно отличное от нуля слагаемое. Таким образом, вычисления существенно упрощаются, если перед разложением определителя по элементам i-й строки как можно больше из них будут превращены в нули. Это становится возможным благодаря применению свойств определителей (особенно свойства 5). Еще удобнее оказывается вычисление определителя, если, применяя его свойства, можно преобразовать его так, чтобы все элементы, стоящие слева и ниже диагонали а11 , а22, ..., аnn были равны нулю. Как легко понять на основании теоремы разложения, значение определителя получается тогда просто как произведение членов, стоящих на главной диагонали: D = a11a22.. .аnn .