21-24
.doc
21. Граф дискретного марковского процесса с непрерывным временем. Уравнения состояния. Стационарное состояние Пусть имеется некоторая система S , переходы системы из состояния в состояние происходят в случайные моменты времени под воздействием каких-либо потоков событий (например, поток отказов, поток восстановлений). Для системы такими событиями могут быть: поступление очередной заявки (событие вход ного потока); окончание обслуживания очередной заявке (событие потока обслуживания заявок) и т.д. Процесс, протекающий в системе S , называется Марковским процессом с дискретными состояниями и непрерывным временем (или непрерывной Марковской цепью ), если выполняется условие: для любого фиксированного момента времени условные вероятности состояния системы в будущем зависят только от состояния системы в настоящем и не зависят от того, когда (на каком шаге) и откуда система перешла в это состояние [5, 16]. Схематично систему удобно представлять в виде размеченного графа состояний. Граф состояний – это схема, отражающая переход системы из состояния в состояние. Вершины графа соответствуют состояниям, дуги – переходам из состояния в состояние. Размеченный граф состояний – граф состояний с проставленными у стрелок интенсивностями соответствующих потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние. Размеченный граф состояний системы имеет вид:
Стационарный режим для непрерывной цепи Маркова. Предельные значения при :
|
22. Виды пространств сигналов. Аксиоматика нормы, метрики и скалярного произведения в пространстве сигналов Пусть - множество сигналов. Путем введения структурных ограничений из можно выделить различные функциональные пространства. Например, ограничение для
формирует Гильбертово пространство сигналов, обозначенное . Если рассматриваются периодические сигналы, то можно выделить пространство сигналов, для которых
Норма сигналов Норма векторных сигналов на – длина вектора:
|
|
22.1. Для дискретных сигналов, определенных на
Для непрерывных сигналов:
Норма комплексных сигналов:
Метрика сигналов Задача математической оценки близости векторов. Предположим, что мы задали пространство сигналов или, в частности, Евклидово n-мерное пространство . Пусть – элементы пространства (или – реализации сигнала. Введем обозначения: – расстояние между элементами множества . Введем отображение – множество действительных чисел. Если ввести правила отображения такие, что:
Пространство сигналов с введенным отображением называется метрическим. Метрика задается нормой разности сигналов
22.3 Используя 2-е и 3-е свойство
Для ортогонального базиса
для нормированного базиса:
Аналогично для метрики:
|
22.2 Для (Евклидово n-мерное пространство):
Геометрическая интерпретация для n=2:
Норма сигнала = расстояние от сигнала до нулевого элемента. Скалярное произведение векторных сигналов. Метрика в пространстве может быть введена с помощью операции скалярного произведения векторов. Скалярное произведение векторов называют отображение: - поле действительных чисел, которое обладает свойствами:
Если , то Если , то Для скалярного произведения над полем комплексных чисел:
Введение метрики в : – норма, – расстояние. Введенные таким образом функции (отображения) полностью соответствуют требуемым свойствам метрики. Определение нормы и d в в базисе. Пусть в задан базис . Любые векторы могут быть выражены через линейные комбинации базисных векторов :
Определим нормы и расстояние :
23. Линейное векторное пространство сигналов. Норма, метрика и скалярное произведение в Rn. Линейное пространство Пространство сигналов является линейным, если для него справедливы следующие операции: Для определена сумма ,, обладающая свойством:
Для и числа определен сигнал и при этом Множество содержит нулевой элемент : для Представление сигналов как векторов n-мерного векторного пространства позволяет для анализа сигналов и систем использовать математический аппарат векторного анализа. Если множество значений координат вектора – действительные числа, то такое векторное пространство – Евклидово n-мерное векторное пространство . - возможное состояние или реализация сигнала. В определены следующие операции:
– обратный вектор. Свойства операций в :
в векторов , одна из координат которых = 1, а остальные = 0 – координатные орты в . вектор в может быть представлен в виде суммы:
………………………
|
|
23.1 Метрика сигналов Задача математической оценки близости векторов. Предположим, что мы задали пространство сигналов или, в частности, Евклидово n-мерное пространство . Пусть – элементы пространства (или – реализации сигнала. Введем обозначения: – расстояние между элементами множества . Введем отображение – множество действительных чисел. Если ввести правила отображения такие, что:
Пространство сигналов с введенным отображением называется метрическим. Метрика задается нормой разности сигналов
Для (Евклидово n-мерное пространство):
Метрика в пространстве может быть введена с помощью операции скалярного произведения векторов. Скалярное произведение векторов называют отображение: - поле действительных чисел, которое обладает свойствами:
Если , то Если , то Для скалярного произведения над полем комплексных чисел:
Введение метрики в : – норма, – расстояние. Введенные таким образом функции (отображения) полностью соответствуют требуемым свойствам метрики.
|
23.2 Метрика в пространстве может быть введена с помощью операции скалярного произведения векторов. Скалярное произведение векторов называют отображение: - поле действительных чисел, которое обладает свойствами:
Если , то Если , то Для скалярного произведения над полем комплексных чисел:
Введение метрики в : – норма, – расстояние. Введенные таким образом функции (отображения) полностью соответствуют требуемым свойствам метрики. Определение нормы и d в в базисе. Пусть в задан базис . Любые векторы могут быть выражены через линейные комбинации базисных векторов :
Определим нормы и расстояние :
Используя 2-е и 3-е свойство
Для ортогонального базиса
для нормированного базиса:
Аналогично для метрики
|
|
24. Ортонормированный базис в линейном векторном пространстве сигналов. Координатные орты. Представление нормы, метрики и скалярного произведения в ортонормированном базисе в Rn. Ортонормированный базис в Ортогональный базис:
Ортонормированный базис:
Приведение ортогонального базиса в ортонормированный:
Про норму, метрику и скалярное произведение в 23 вопросе подробно. |
|