Шпоры по автоматике

1. Понятия САУ и САР. Функц схемы САР.

Автоматическое управление – осуществление некоторых операций без непосредственного участия человека, направленных на поддержание или улучшения работы объектов управления.

Автоматич. Регулирование – поддержание регулярной величины на заданном постоянном значении или изменении её по заданному закону без непосредственного участия человека.

А.Р. – частный случай А.У.

Функциональная схема САР:

У — устройство управления

И — исполнительное устройство

ОР — объект регулирования

ИУ — исполнительное устройство

2. Классификация автоматических систем.

1) по принципу действия

- Система разомкнутого цикла(без утр. управл-я)

- Замкнутые системы(есть инструмент сравнения и усилитель)

- Системы комбинированного управления

2) По виду входного управл сигнала g(t)

- g(t) = const – система стабилизации

- g(t) = f(t) - система программного регулиров

- g(t) = неизвестная функция – следящая система.

3) по виду сигналов действия в системе.

- непрерывные

- дискретно непрерывные

-импульсные

4) По виду мат описания.

3. Построение линейной модели следящей системы.

x’(t) = F(x(t) , u(t)) , где x(t) –вектор состояния системы,

u(t) - вектор входных воздействий.

x’₁(t) = f₁(x₁,…,x_n , u₁,…,u_m)

….

x’_n(t) = f_n(x₁,…,x_n , u₁,…,u_m)

Вектор выхода системы: y(t) = G(x₁,…,x_n , u₁,…,u_m)

G – нелинейная функция.

Линеаризация: x₁ = x₀ + Δx₁ , x₀ – нулевое решение.

Система принимает вид линеариз. ур-ия во временной области:

x’(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t),

где:

┌ ∂f₁/∂x₁…….∂f₁/∂x_n ┐

A = │ ……………….│ - матрица системы

└ ∂f_n/∂x₁……∂f_n/∂x_n ┘

┌ ∂f₁/∂u_{1 …..} ∂f₁/∂u_m ┐

B =│ … │ - матрица управления

└ ∂f_n/∂u_{1 …..} ∂f_n/∂u_m ┘

┌ ∂g₁/∂x₁… ... ∂g₁/∂x_n ┐

С =│ … │ - матрица наблюдения

└ ∂g_r/∂x₁……∂g_r/∂x_n ┘

┌ ∂g₁/∂u_m…... ∂g₁/∂u_m ┐

D = │ … │ - матрица прямой

└ ∂g_r/∂u_m……∂g_r/∂u_m ┘ передачи.

4. Элементы структурных математических моделей систем

1) Линия связи → направления передачи сигнала

2) Узел показывает что сигнал поступает на несколько входов.

3

K

Показывает сигнал поступает на неск. входов

4

F

y(t)=F(u(t))

5

1/S

x

y(t)= ∫ u(t) dt + y0;

0

y(s)/ u(s) = 1/s

U Y y=u+v

6)

V

7) U Y y= u – v

X

U Y

8) нелинейные операции:

Y = U(t) * V(t) V

5. Опис. линейных систем в пространстве переменных состоян.

X(t) — вектор состояния

x´(t) = F(x(t),u(t)) – описание в форме Коши.

u(t) — вектор воздействий на систему.

x1´(t) = f1(x1,…,xn, u1…um) форма Коши

xn´(t) = fn(x1,…,xn, u1…um)

min переменных способом. Которых можно описать процессы => кол-во переменных определяют размерность в-ра состояний Линеаризации происходит относительно стационарной точки(положения равновесия) – эта точка является опорной в n-мерном прост-ве. Необходимо иметь сист. Ур-ий для выхода:

yi(t)=Gi(x1…xn, u1…um)

Пусть система имеет равновесие в 0. x0=0; x1=x0+Δx1 => x1= Δx1

Линейная система приобретет вид:

x´(t) = Ax(t) + Bu(t) линеаризованная

y(t) = Cx(t) + Du(t) система

_ _

df/dx1…. df1/dxn матрица системы

A = . . . . . производная вы-

_ dfn/dxn . .dfn/dxn_ числяется в 0 [n*n]

B- матрица управления [n*m] (dF/du)

С- наблюд.;Связ. c датчиками [r*n] (dGr/dxn)

D- матр. прям. передю сигнала [r*m] (dGr/dum)

При D=0 (часто) скачок на входе на вых. Передаваться не будет.

См. также вопрос 3.

6. Способ составления CММ по ДУ в форме Коши.

Um Y

∫x(t) = ∫Ax(t) + Bu(t) (1)

Y(t) = Cx(t) + Du(t) (2)

sx(s) = Ax(s) + Bu(s) x(s) = Bu/(s-A)

7. (1/2) Правила преобразования СММ

1) Последовательное соединение динамич. звенье

W(s) = w1(s)*w2(s)*w3(s)

2) Параллельное соединение

n

W(s) = ∑ wi(s)

i=1

3) Соединение с обр. связью

ε = u-v

y = ε *w1(s)

v = y*w2(s)

Ф(s) = w1(s) / (1-w1(s)*w2(s)) – передаточ ф-ия замкнутой системы

ПОС: Ф(s) = w1(s) / (1-w1(s)*w2(s))

4) Перенос узла с выхода Эл-та на вход

5) перенос узла со входа на выход.

7. (2/2) Правила преобразования СММ

6)Перенос сумматора со входа на выход

7) Перенос сумматора с выхода на вход

8)Перестановка элементов суммирования

9) Перегруппировка элементов суммирования

8. Определение передаточной функции. Вычисление матричной передаточной функции системы.

Система линеаризованных уравнений записана во врменной области => для нее существует передаточная функция (для стац. Системы). Для нестационарных случаев перед. Функц. Не пользуются.

Аппарат передаточной ф-ии требует нулевых начальных условий по координат. Вектора состояния. Аппарат перех-х функции вводится при переводе системы из временной обл-ти в комплексную с пом. Преобразований Лапласа.

+∞

L{xi(t)} = xi(s) = ∫xi(t)* e^(-st) dt

0

s- переменная Лапласа

p- оператор дифференцирования p = d/dt

u(t) => u(s)

y(t) => y(s) L{d/dt , xi(t)} = s* xi(s) – xi(0). xi(o)=0

Sx(s) = Ax(s) + Bu(s)

Y(s) = Cx(s) + Du(s)

[SE – A]x(s) = Bu(s)

X(s) = Bu(s) / [SE – A]

Y(s) = [C[SE – A]‾¹B +D]u(s) - передаточная функция.

Матричная передаточная функция W(s)

_ _

W11(s)…. W1n(s) для линеар-ойначальной

W(s)= . . . . . системы с нулевыми

_ Wr1(s) Wrn(s) _ условиями

Wij = yi(s) / uj(s) – отношение i-го входа j-ому выходу.

W(s) = C* (adj[SE-A] / det[SEiA]) *B –D

При D=0 скачков на выходе нет. Нет прямой передачи.

Wij(s) A: n*n det[SE – A] – полином n-ого порядка.

Для любого Wij(s) имеет в знаменателе полином n-ого порядка.

Wij(s) = (b₀s^n-1+b₁s^n-1+…+b_n-1) / (sⁿ+a₁s^n-1+…+a_n-1s+a_n) – дробн. Рацион. Функция.

Когда нет прямой передачи порядок полинома в числителе строго меньше в знаменателе.

При D≠0 W(s) = s – дифф. Физически не реализуемо.

9. Правила преобразования основных типов динамических звеньев.

См. вопрос №7.Вместо W писать G. Cв-ва7,8,9 не надо

10. Метод привидения к диагональной форме.

W(s) = y(s) / u(s) = (b₀sⁿ+b₁s^n-1+…+b_n) / (sⁿ+a₁s^n-1+…+a_n) =

=M(s) / D(s) ; a₀=1

Пусть известны корни знаменателя.

_{n n}

D(s) = ∏(s – λ_i) λ_i – корни; W(s) = ∑(C_i / (s – λ_i)) + C₀ =

^{i=1 i=1}

y(s)/u(s)

C_i – вычеты W(s) вычисление в полюсах W(s). Корни в знаменателя –полюсы. Корни полинома в числителе–нули W(s).

С_i = lim(s – λ_i)W(s) = lim M(s) / [(d/ds)D(s)]

^{s →λi s →λi}

C₀ – целая часть передаточной функции C₀ = limW(s) = b₀

^s→∞

В качестве в-ра состояния: x_i(s) = u(s)/ (s – λ_i)

y(s) = ∑c_ix_i(s) + c₀u(s); y(t) = ∑c_ix_i(t) + c₀u(t);

sx_i(s) = λ_ix_i + u(s); по обратному преобр-ию Лапласа: =>

• x’_i(t) = λ_ix_i + u(t) ;

x’₁ = λ₁x₁ + u ┌ λ₁ 0 …. 0 ┐ ┌1 ┐

x’₂ = λ₂x₂ + u A = Λ = │ 0 λ₂ . . . . 0 │ B= │ ..│

…… │ 0 . . . . . . │ └ 1┘

x’_n = λ_nx_n + u └ 0 …. .. λ_n ┘

C = [C₁ ... C_n] ; D= C₀

11. (1/2)Составление ур-ний состояния по передат-ной ф-ции методом разложения на простые множ-ли.

Необходимо знать корни полиномов числ-ля и знамен-ля:

Для удобства моделирования рассм. отдельную ячейку i в таких блоках соед. послед-но

11. (2/2)Составление ур-ний состояния по передат-ной ф-ции методом разложения на простые множ-ли.

ПОС позволяет легко исследовать сис-му частотными методами

Система ур-ний:

12. (1/2) Составление ур-ний состояния по перед. ф-ции методом, применяемым при аналоговом моделировании.

Пусть

; W реализ-ся путем ОС

Расписываем M(s):

Послед-но n штук интеграторов

12. (2/2) Составление ур-ний состояния по перед. ф-ции методом, применяемым при аналоговом моделировании.

Не надо искать корни, не нужны предварительные расчеты

С=[10…0]

13. Составление ур-ний состояния передаточной ф-ции методом привед-я к канонич-кой форме.

Пусть

Вводим вектор состояния => получим из ур-ния n-го порядка ур-ния n-1 порядка

(!)

Схема:

14. Понятие переходной и импульсной переходной характеристик, способы нахождения их аналитических выраженй.

Переходная хар-ка – реакция системы на входное воздействие, представленная как ф-ция времени. Перех. хар-ка – реакция системы на единичную ступеньку.

Импульсная хар-ка – реакция сист. на абстрактный импульс

приближение ф-ции к δ(t)

Если есть , то (*)

(*)-если пор-ки передат. ф-цией не равны.

Если порядки =, то при разбиении на дроби появится целая часть при равных порядках получается прямая передача.

Выходной сигнал можно вычислять как интеграл свертки во временной области:

y(t) – свертка сходного сигнала с ИПХ.

15. Амплитудная и фазовая частотные характеристики элемента. Их мат. и физ-кая интерпретация.

Частотной хар-кой ТДЗ наз. ф-цию комплексного аргумента jω полученную путём формальной замены W(s) s= jω

Преобразование Фурье (частотные спектры сигналов) показывает, как распределена по частотам хар-ка системы:

Частотные хар-ки исслед-ся при подаче гармонич. входного воздействия в установившемся режиме

;

Годограф передат. ф-ции: (на примере )

Длина век-ра – модуль перед. ф-ции H(ωi)

Θ(ωi) – сдвиг по фазе

16. Понятие типовых динамических звеньев;минимально и неминимально фазовые ТДЗ.

Динамическое звено — математическая модель элемента или его части, записанная в виде диф.ура или передаточной ф-ции.

Динамические звенья, которые описываются диф.урами не выше 2-го порядка,принято называть Типовыми динамическими звеньями.Передаточная функция называется минимально-фазовой,если все её нули расположены в левой половине S плоскости .

ТДЗ

W(s)=K усилительное (безынерционное) звено

W(s)=KS идеальное диф-щее звено

W(s)=K/S идеальное интегр-щее

W(s)=K/TS+1 апер. 1го.пор-кa

W(s)=колебат уст. звено

W(s)=вырожден колеб консерват

W(s)=TS+1 диф звено 1 порядка

W(s)= диф звено 2 порядка

W(s)= вырожденное диф звено 2 порядка

W(s)= звено запаздывания

17. (1/2) Годограф и логарифмические амплитудные и фазовые хар-ки апериодического уст звена.

=

Избавимся от

=

амплитудно-фазовая частот хар-ка для

17. (2/2) Годограф и логарифмические амплитудные и фазовые хар-ки апериодического уст звена.

Годограф:

ЛАФЧХ:

18. (1/2) Годограф и ЛАФЧХ неустойч звена

Годограф:

Избавимся от

18. (2/2) Годограф и ЛАФЧХ неустойч звена

ЛАФЧХ:

19. Годограф и ЛАФЧХ итегрируещего звена

20. Годограф и ЛАФЧХ колебательного устойчивого З.

0< ξ <1 –– коэффициент затухания

От Т нет зависимости, только от ξ.

W(jω)=1/(1–T²ω²+2ξTj ω)=(1– T²ω²–2 ξTj ω)/((1– T²ω²)²+4 ξ²T ²ω²)

u(ω)= (1– T²ω²)/((1– T²ω²)²+4 ξ²T²ω²)

v(ω)= –2 ξTj ω/((1– T²ω²)²+4 ξ²T²ω²)

H(ω)==1/корень из того же

Θ(ω)= –arctan(2ξT ω/(1– T²ω²)), 0≤ω≤1/T

Θ(ω)= ––arctan(2ξT ω/(1– T²ω²)), ω>1/T

Годограф:

ЛАФЧХ:

L(ω)=20lg H(ω)

ξ3<ξ2<ξ1; при ξ =1 получаем 2 послед. Апер. Звена (можно сложить 2 характеристики)

21. Годограф и ЛАФЧХ колебательного неустойчивого звена

0< ξ <1 –– коэффициент затухания

От Т нет зависимости, только от ξ.

W(jω)=1/(1–T²ω² –2ξTj ω)=(1– T²ω²+2 ξTj ω)/((1– T_­²ω²)²+4 ξ²T ²ω²)

u(ω)= (1– T²ω²)/((1– T²ω²)²+4 ξ²T²ω²)

v(ω)= +2 ξTj ω/((1– T²ω²)²+4 ξ²T²ω²)

H(ω)==1/корень из того же

Θ(ω)= +arctan(2ξT ω/(1– T²ω²)), 0≤ ω≤1/T

Θ(ω)= ++arctan(2ξT ω/(1– T²ω²)), ω>1/T

Годограф:

ЛАФЧХ:

L(ω)=20lg H(ω)

ξ3<ξ2<ξ1

22. Годограф и ЛАФЧХ вырожденного колебательного З.

ξ=0.

W(jω)=1/(1–T²ω²)

u(ω)= 1/(1–T²ω²)

v(ω)= 0

H(ω)==1/|1–T²ω²|

Θ(ω)=0, 0≤ ω<1/T

Θ(ω)= –, ω>1/T;1/T – полюс функции

Годограф:

ЛАФЧХ:

L(ω)=20lg H(ω)

23. Годограф и ЛАФЧХ мин-фазового дифф. З. 1-го пор-ка.

W(S)=TS+1. Обратное к апериодическому => графики обратные в лог. масшт. Годограф не переворачивается, т.к. он линейном масшт.

W(jω)=1+Tjω

u(ω)= 1

v(ω)= Tω

H(ω)==

Θ(ω)=arctan(Tω)

Годограф:

ЛАФЧХ:

L(ω)=20lg H(ω)

24. Годограф и ЛАФЧХ немин-фазового дифф. З. 1-го пор-ка.

W(S)=TS–1.

W(jω)= –1+Tjω

u(ω)= –1

v(ω)= Tω

при ω=0 W= –1 => Θ=180^o

при ω=∞ W практически мнима (а мнимая часть положительна) => Θ=90^o

H(ω)==

Θ(ω)= –arctan(Tω)

Годограф:

ЛАФЧХ:

L(ω)=20lg H(ω)

25. Годограф и ЛАФЧХ идеального дифф. З. 1-го пор-ка.

W(S)=S.

W(jω)=jω

u(ω)= 0

v(ω)= ω

H(ω)== ω

Θ(ω)=/2

Годограф:

ЛАФЧХ:

L(ω)=20lg H(ω)

26. Годограф и ЛАФЧХ мин-фазового дифф. З. 2-го пор-ка.

W(S)=T²S²+2ξTS+1.

0< ξ <1

W(jω)=1–T²ω²+2ξTj ω

u(ω)= 1– T²ω²

v(ω)= 2ξTjω

H(ω)==

Θ(ω)= arctan(2ξTω/(1– T²ω²)), 0≤ ω≤1/T

Θ(ω)= +arctan(2ξTω/(1– T²ω²)), ω>1/T

Годограф:

ЛАФЧХ:

L(ω)=20lg H(ω)

ξ3<ξ2<ξ1

27. Годограф и ЛАФЧХ немин-фазового дифф. З. 2-го пор-ка.

W(S)=T²S²–2ξTS+1.

0< ξ <1

W(jω)=1–T²ω²–2ξTjω

u(ω)= 1– T²ω²

v(ω)= –2ξTjω

H(ω)==

Θ(ω)= –arctan(2ξTω/(1– T²ω²)), 0≤ ω≤1/T

Θ(ω)= ––arctan(2ξTω/(1– T²ω²)), ω>1/T

Годограф:

ЛАФЧХ:

L(ω)=20lg H(ω)

28. Годограф и ЛАФЧХ вырожденного дифф. З. 2-го пор-ка.

W(S)=T²S²+1 (т.е. ξ=0)

W(jω)=1–T²ω²

u(ω)= 1–T²ω²

v(ω)= 0

H(ω)==|1–T²ω²|

Θ(ω)= 0, 0≤ ω≤1/T

Θ(ω)= , ω>1/T

Годограф:

ЛАФЧХ:

L(ω)=20lg H(ω)

29. Годограф и ЛАФЧХ З. запаздывания

W(S)=e^–TS

W(jω)= e^–Tjω

u(ω)= cos(Tω)

v(ω)= –sin(Tω)

H(ω)==1

Θ(ω)= –Tω

Годограф:

ЛАФЧХ:

L(ω)=20lg H(ω)

30. Какие преимущества даёт использование логарифмических масштабов при построении частотных характеристик по сравнению с линейными масштабами.

ОЛОЛОЛО, короче так:

1) график лог. АЧХ произведения ТДЗ является СУММОЙ лог. АЧХ кадого из них, таким образом, получение лог. АЧХ системы существенно упрощается.

2) асимптотические лог. АЧХ являются прямыми линиями, а не экспонентами, это упрощает их получение и изображение.

3) асимптотические лог. АЧХ имеют фиксированный наклон, кратный 20 дБ на декаду, что эквивалентно 6 дБ/октаву (декада — изменение частоты в 10 раз, октава — в 2 раза)

4) изменения происходят в пределах декады (+- 10 раз) от характерной точки (сопрягающая частота, 1/Т) [а для сложных систем +10 раз от макс. Характерной точки и –10 раз от минимальной]

5) лог. ФЧХ часто бывает симметрична или косо-симметрична относительно сопрягающей частоты (для типовых звеньев)

6) лог. ФЧХ сложной системы является суммой ФЧХ ТДЗ [хотя вроде для лин. Масштаба это точно так же]

7) множество номограмм, шаблонов и приближённых формул составлены именно для лог. масшт.

Лог АЧХ: L(ω)=20lg H(ω), где H(ω) — лин. АЧХ.

Лог масштаб: на графике расстояния от 0.1 и 1 такое же, как и от 1 до 10 (например).

8) ЛАФЧХ дифф. звена — перевёрнутая ЛАФЧХ соотв. интегрального.

31. Определение асимптотической устойчивости, устойчивости и неустойчивости мо методу Ляпунова.

x` (t)=Ax`(t)+Bu(t) если лин. система [u(t)=0], то

x` (t)=Ax(t)

Линейная система имеет одно положение равновесия и оно находится в нуле:

x` (t)=Ax(t) => Ax(t)=0 => x(t)=0

1) Положение равновесия асимптотически устойчиво, если траектория движения в n-мерном пространстве находится в какой-то точке и стремится к положению равновесия при t→ ∞;

2) Если траектория движения все время находится в некоторой ограниченной области, то такое положение называется устойчивым (траектория не стремится к положению равновесия и не убегает от него);

3) Если траектория, начавшись в некоторой ограниченной области вокруг положения равновесия, удаляется с течением времени от положения равновесия , то данное положение является неустойчивым.

32. Прямой метод исследования устойчивости линейных систем.

x` (t)= Ax(t)

Корни характеристического уравнения:

Det [SE-A]=0 → _i , i=1…n

_i – собственные значения матрицы А

это знаменатель передаточной функции:

Sⁿ+a₁S ^n-1+a ₂ S ^n-2+...+a _n=0

1) Условие асимптотической устойчивости:

Re _i <0 , все корни характер. Уравнения лежат в левой полуплоскости. Если линейная система асимптотически устойчива, то и исходная нелинейная система асимптотически устойчива.

2) Как только найдется хотя бы один

Re  > 0 , то линеаризованная модель неустойчива, переходная характеристика уходит на бесконечность, исходная нелинейная модель неустойчива.

3) Как только из всех Re _i <0 , найдется , лежащая на мнимой оси (один или несколько), возникает неопределенность.

33. Алгебраический критерий Гурвица.

Метод использования информации о системе в виде характеристического уравнения: Знаменатель W(s) равен 0 => Sⁿ+a₁S ^n-1+a ₂ S ^n-2+...+a _n=0

Необходимым условием асимптотической устойчивости является положительность всех коэффициентов. (a _i >0 ).

Достаточное условие устойчивости (Матрица Гурвица):

a₁ a₃ а₅……..0

1 a₂ a₄ .........0

Г= 0 a₁ a₃.........0

0 1 a₁.........0

n*n 0...................a_n

Достаточное условие: положительность всех угловых миноров:

a₁>0,

,

34. (1/2) Частный критерий устойчивости Михайлова (принцип аргумента)

Sⁿ+a₁S ^n-1+a ₂ S ^n-2+...+a _n=0

Кор. Характер. Ур-ия: , i =1...n

,s=jω

Рассмотрим данное выражение как произведение векторов:

Вектора, проведенные из корней слева поворачиваются на +, справа — на –. Пусть m коней из n находятся справа .Приращение аргумента:

-четная функция

-нечетная функция

argD(jω)= –argD(–jω)

34. (2/2) Частный критерий устойчивости Михайлова (принцип аргумента)

Система устойчива когда нет корней в правой части. (m=0)

- Крит.устойч.Михайлова

Для того, чтобы линейная система была асимптотически устойчива , необх.и достат., чтобы годограф характеристического ур-ия D(jω) начинался на положительной части действительной оси , проходил последовательно n квадрантов в положительном направлении, не попадая в начало координат («проходил» означает, что он должен там побывать, но не обязательно выйти из квадранта)

35. (1/2) Критерий устойчивости Найквиста для устойчивых разомкнутых систем.

Позволяет исследовать устойчивость замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой. Основан на критерии Михайлова

↑ Характеристическое уравнение разомкнутой системы:

↑ Характеристическое уравнение замкнутой системы:

D(s)=Mp(s)+Dp(s)

Разомкнутая система чаще всего устойчива, но есть системы, которые сами по себе неустойчивы. Неустойчивость порождается только неустойчивостью в блоке управления.

В большинстве случаев Dp(s) не содержит корней в правой полуплоскости. Когда есть корни в правой полуплоскости система неустойчива. Для устойчивости Dp(s) должна иметь все корни в левой полуплоскости.

Введем вспомогательную функцию:

Применяя критерий Михайлова:

35. (2/2) Критерий устойчивости Найквиста для устойчивых разомкнутых систем.

Пусть объект управления неустойчив.

Есть m_p штук корней в правой полуплоскости.

1) Разомкнутая система устойчива [m_p=0]

Замкнутая система так же устойчива если годограф разомкнутой системы не охватывает точку –1 при

2) Пусть разомкнутая система неустойчива и имеет корней в правой полуплоскости. Замкнутая система будет устойчивой, если годограф разомкнутой системы охватывает точку –1 в положительном направлении m_p/2 раз при

36. Критерий устойчивости Найквиста для неустойчивых разомкнутых систем.

Для системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии, замкнутая система будет устойчивой, если годограф передаточной функции разомкнутой системы W(jw) охватывает точку -1 на комплексной плоскости в положительном направлении раз при изменении частоты , где -- число корней характеристического уравнения разомкнутой системы в правой полуплоскости.

37. Обобщенный критерий устойчивости Найквиста.

Для устойчивых замкнутых системы необходимо, что бы она не имела корней в правой полуплоскости. Обобщенный критерий рассматривает случай, когда замкнутая система может быть неустойчивой. Введем:

m_з – число корней в правой полуплоскости у замкнутой системы.

m_р – число корней в правой полуплоскости разомкнутой ситсемы

Рассмотрим полный диапазон частот

– количество оборотов вокруг точки –1 разомкнутой системы.

Используя критерий Михайлова:

=

Если годограф не делает оборотов вокруг точки –1 , то система асимптотически устойчива при =0

38. (1/2) Понятие запасов устойчивости по фазе и модулю.

В условии эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температура, колебания и т д) Эти колебания параметров могу привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать САУ так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости, степень этого удаления называют запасом устойчивости. По годографу и соответствующим ЛАФЧХ разомкнутой системы вводится количественная мера устойчивости в виде запасов устойчивости по фазе и модулю. Запас по фазе определяют на частоте среза системы, т.е. когда амплитуды

входного и выходного сигналов равны. Запас по модулю H_m определяется на частоте , где фазовая характеристика равна ±180⁰. Запас по фазе показывает, какой дополнительный отрицательный фазовый сдвиг допустим в системе прежде, чем она окажется на границе устойчивости. Запас по модулю показывает во сколько раз может быть увеличен коэффициент усиления системы, прежде чем она окажется на границе неустойчивости.

38. (2/2) Понятие запасов устойчивости по фазе и модулю.

;

;

Логарифмический запас устойчивости:

С ростом К увеличивается и запасы уменьшаются. При К=Кпр запасы равны нулю. Годограф проходит через точку -1

39. Анализ устойчивости многоконтурных систем.

Процесс исследования на устойчивость начинается с внутреннего контура. Необходимо построить ЛАФЧХ и годограф внутреннего разомкнутого контура.

Можно получить 4 результата:

Разомкн. внутр. контур Устойчивый:

Замкнутый – устойч. или неустойчив.

Разомкн. внутр. контур неустойчивый:

Замкнутый – устойч. или неустойчив.

Wвнутр=W2W3

Предположим получим:

Разомкн. Уст => замкн. Вн.контр. неустойч.

Годограф переходит точку –1

Тогда необходимо знать, сколько получится полюсов в правой полуплоскости у замкнутой системы.

=>

До появления системы MATLAB использовали номограммы замыкания Найквиста разомкнутой системы и считывалась информация о ЛАФЧХ замкнутой.

Замкнутая:

Разомкнутая:

40. Основные показатели качества регулирования системы. Их связь с запасами устойчивости.

Показатели качества:

1) tр – время регулирования — время, за которое выходной сигнал перестанет отклоняться более чем на 5% от установившегося.

2) перерегулирование:

3) N- число колебаний за время регулирования

4) -собственная частота колебаний

5) логарифмический декремент затухания

6) максимальная скорость

Связь показателей качества с запасами устойчивости:

Большие запасы устойчивости:

Переходный процесс близкий к апериодическому с уменьшением запасов устойчивости. Переходный процесс монотонный при дальнейшем уменьшении колебаний.

Апериодический :

Монотонный:

Колебательный:

41. (1/3) Определение свободного движения в сист. с пом. обр. преобр. Лапласа выр-я от ненулевых начальных условий.

Можем исп. Для любого входного сигнала.

- нулевые н.у.

Снимаем ограничения о нулевых н.у.

, ,

,…,

Преобразования Лапласа

41. (2/3) Определение свободного движения в сист. с пом. обр. преобр. Лапласа выр-я от ненулевых начальных условий.

…

Применяем преобразования Лапласа к ур-ю (*) при ненулевых н.у.

-вынужденная составляющая;

- своб. составляющая .

полином поряд. (n-1), а коэф. при нем

Рассмотрим свободное движение системы (на вход ничего не подается g(t)=0). D(s) – корни х.у. сис-мы. Пусть l штук корней простых сод-ся в этом ур-и:

1)

41. (3/3) Определение свободного движения в сист. с пом. обр. преобр. Лапласа выр-я от ненулевых начальных условий.

2) Пусть среди корней имеется r пар компл.-сопряж. корней

.

3) Пусть имеется k кратных корней кратности

42. Определение вынужденной составляющей движения в системе в системе с помощью обратного преобразования Лапласа от выражения выходного сигнала Y(s).

43. Приближенная оценка показателей качества по доминирующим полюсам передаточной функции системы.

Наибольшее влияние на переходный процесс оказывают полюса, находящиеся ближе к мнимой оси. Удаленные полюса мало влияют на переходный процесс, а на качество вообще не влияют  можно пренебрегать этими составляющими движения.

Вычеты в ближних полюсах больше - полюса доминируют (доминировать могут как действительные, так и комплексные полюса).

Оценка времени регулирования:

1)

, где А1 – вычет, (0,05 от установившегося значения). Эта формула дает грубый результат.

Если доминирующий полюс явл. действительным:

Формула для перерегулирования:

2)

44. (1/2) Метод корневого годографа (КГ).

Метод корневого годографа позволяет найти траекторию корней характер-го уравнения замкнутой сист., в зависимости от коэф. усиления разомкн. системы при .

Команда: rltool(w)

Рассм. Систему

При таком представлении К – истинный коэф. усил

где .

Метод КГ позволяет узнать какие корни будут у х.у. замкнутой ситст.. Выражение для замкн. сист.: 1-е представление:

44. (2/2) Метод корневого годографа (КГ).

где: а) - корни хар. ур-я

б)

Для устойчивости системы достаточно, чтобы корни располагались слева. Из а) можно получить 2 ур-я, кот. буд. соответствовать геом. картина: 1-е ур-е – для модулей (длин векторов), 2-е ур-е – для аргументов

(3 полюса, 1 нуль). Через какую точку пройдет хоть одна ветвь КГ-фа?

Пусть * - эта точка, через кот. проходит ветвь КГ, тогда должно выполняться:

1. Первое ур-е получаем из а).

2. 

- у-е аргументов. - целое число периодов

45. (1/2) Правила построения траекторий корней в методе КГ.

1. 1)Кол-во Г-фов =порядку разомкн. сист.

2)Каждая траектория КГ-фа явл-ся непрер. кривой, зависящей от К.

Искл.:есть разрывы (в бесконечности)

3)Комплексные части Г-фа всегда сопряжены(можно строить только верх)

2. Поведение КГ при

- начальные ветви КГ вых. из полюсов передат. ф-и разомкн. сист.

3.Поведение КГ при

А)когда порядок числит.=порядку знамен. m=n

- конечное). траектории корней заканчиваются в нулях.

Б) m<n. Рассм-м поведение КГ на удаленных областях пл.S ()

-ур-е прямых.

. m штук ветвей КГ заканчиваются в нулях перед.ф-и разомкн. сист., а остальные n-m уходят на бесконечность вдоль асимптот в виде прямых, расположенных под углами (у кажд.ас. свой угол).

45. (2/2) Правила построения траекторий корней в методе КГ.

4.КГ-ф на вещественной оси опр-ся с помощью ур-я для аргумента .

-испытуемая точка.

5.Углы выхода ветвей КГ из компл-сопряж полюсов.

Из действит. Может двигаться либо к 0, либо к 180, т.е. движ. по действит. оси.

Если кратные двум, то движ вверх или вниз. Если 3, то под углом 120.

6.Точки пересеч ветвей КГ с действительной осью. Либо приходят, либо уходят.

7.Точки пересеч.ветвей КГ с мнимой осью.

Записываем х.у. замкн.сист. в след.виде.

2 неизвестных: -частота, , то место, в кот. будет пер.с мн.оси; К –коэф.усил., при кот. будет перемещ. .

8.Когда рас. х.у.замкн.сист. полин. коэф. s при (n-m) степени. Если все звенья в разомкн.сист. с + и не выше 2-го пор., в рез-те замыкания единич. ООС сист. Никогда не станет неуст..

46. (1/2) Анализ и проектирование систем с помощью метода КГ.

K=K’/2,

S1=0,

1) Имеем 3 ветви траектории, 2 ветви сопряжены;

2) Из полюсов начинается;

3) Все нули на ∞, все КГ закан. на ∞;

l=0 ,

l=1 . Точка пересеч. асимптот

4) КГ пройдет по тем участкам Re оси, где справа нах-ся нечетное число нулей и полюсов;

5) углы выхода нет;

46. (2/2) Анализ и проектирование систем с помощью метода КГ.

6) Нет пересеч. с Re осью;

7) Нет пересеч. с Im осью.

Строим КГ с ООС. Если ПОС, то: все правила, касающиеся модулей не измен., всё, что связанно с арг., измен. на противоположное.

1) углы асимптот

_{2) принадлежит Re оси - - где четное число.}

47. (1/2) Исследование точности регулирования с помощью разложения в степенной ряд передаточной функции ошибки.

Для того, чт. Оценить ошибку, нужно получить выражение перед.ф-и ошибки.

Передат. ф-я ошибки

Разложим перед.ф-ю ошибки в ряд

ряд сходится, а коэф..

t>tраз (при переходе от Лапл. к времен. преобр.) Малая S означает большие времена (зависит от системы), оценка системы провод. по врем. регулирования).

Ошибка

47. (2/2) Исследование точности регулирования с помощью разложения в степенной ряд передаточной функции ошибки.

Применяем преобр. Лапласа

Наибольший вклад дают первые три слагаемых. Ошибки(по слагаемому): 1-по управлению, 2-по скорости, 3-по ускорению.

Приближенное выражение:

- добротность системы по скорости;

- добротность по ускорению;

- коэф.статизма

48. Исследование точности регулирования при наличии возмущающего воздействия.

f-помехи; g-полезный управляющий сигнал.

;

Условие отсутствия статич. ошибки по отношению к постоянному возмущению заключ. В наличии интегратора в W1, а не в W2; хотя, в W2 интегратор мог и находиться. Если интегратор содержится в W2, это означает, что имеем астатизм по отношению к управляющему сигналу.

49. Анализ точности регулирования в

статической системе.

(*)

Разлагаем в ряд (внизу сумма полиномов):

После деления многочленов столбиком получаем:

На вход статической системы подаем ступеньку g(t)=1(t)

Если на вход стат. сист. Подаем линейный сигнал (то первая производная есть, а все остальные равны нулю).

. Эта система не может решать проблемы регулировки, т.к. ошибка нарастает и стремиться к ∞.

50. Анализ точности регулирования в системах с астатизмом 1-го и 2-го порядка.

Астатизм 1-го порядка

Ф(s)

- добротность по скорости, K-коэф.усил. разомкнутой системы.

— подаем на вход ступеньку - ошибка - ступенька отобразится точно.

— подаем линейный сигнал -ошибка

Если нужно иссл. систему с пост. скор., то нужен астатизм 1-го порядка.

Астатизм 2-го порядка

Ф(s)

— ступенька отрабатывается ε(t)=0

— линейка отрабатывается ε(t)=0

— а с постоянным ускорением

Пусть на вход 3-х систем подается

G(t)=A1t+A2t²

1 система (по параболе)

2 система(линейно)

3 система (установл.)

51. (1/3) Повышение точности методом комбинированного управления.

При увеличении количества интеграторов: астатизм 1-го порядка получаем ограничение для коэффициентов усиления.

Чтобы система была устойчива, годограф не должен охватывать -1.

Астатизм 2-го порядка. Динамические звенья охватывают –1=> система неустойчивая => нужны корректирующие устройства (фазоопережающие цепочки) => обеспечим устойчивость и точность.

Астатизм 3-го порядка. Охватывает -1 => нужна сложная коррекция, при изменении параметров система может стать неустойчивой.

51. (2/3) Повышение точности методом комбинированного управления.

Метод комбинированного управления повышает точность без ув-я астатизма системы:

Структурная схема:

W₂ – объект управления и исполнительное устройство. ε(s)= g(s)*((1-W_к W₂)/(1+W₁ W₂)

ε= 0 при W_к =W₂^(-1) С помощью W_к в системе без астатизма делаем G = 0, с астатизмом 1-го порядка G = 1 и т.д. Нельзя получить инвариантную систему, т.е. чтобы ε не зависила от вида входного сигнала. Нельзя получить систему без ε ,т. К W₂ функция реальная, а обратная ей функция может быть физически нереализуема, но повысить точность можно.

Оценка точности при наличии возмущающего воздействия.

Структурная схема:

51. (3/3) Повышение точности методом комбинированного управления.

ε(s)= g(s)*(1/(1+W₁ W₂)) – ((W₂ / (1+W₁ W₂))* f(s). пусть f(t) = 1(t), чтобы ε(t)= 0 надо : 1/s ввести в W₁ , если в W₂ есть 1/s , то

((1/s)/(1+W₁/s)) => s – сократиться и смысла в ней нет.

Условие отсутствия статической ошибки по отношению к возмущению заключается в наличии 1/s в W₁ , хотя в W₂ может быть 1/s (система обладает астатизмом по отношению к управляющему воздействию, но не по отношению к возмущению.)

52. (1/2) Построение желаемой ЛАЧХ следящей системы.

Метод синтеза основан на построении желаемой ЛАФЧХ разомкнутой системы.

Система слежения ПВО движущимися целями:

g(t) – угол на который должна поварач-ся система, чтобы быть направленной на цель.

Системы должна быть рассчитана на g’_max и g’’_max, чтобы ошибка не превышала ε _зад., а также t_p<=t _{p зад}.и σ _max<= σ _max.зад.

Следящая система должна иметь астатизм хотя бы 1-го порядка => С₀ = 0 ε(t) = ε _k(t) + ε_e(t), где ε _k(t)- ошибка по скорости, ε_e(t)- ошибка по ускорению.

Большую часть ε _зад., отводят на ε_e(t), а ε _k(t) = (30-40)% ε _зад., ε_e(t) = (60-70)% ε _зад ε _{к зад} >= g’_max/D_{ω =>} D_ω>= g’_max/ ε _{к зад.}

ε _{е зад} >= g’’_max/D_е => D_е>= g’’_max/ ε _{е зад}

Хар-ки системы для удовл-я требований точности. ω_{е =}

52. (2/2) Построение желаемой ЛАЧХ следящей системы.

Н

απ/ω_c = t _{p зад}

σ_max%

Рmax – макс значение вещественной частотной характеристики замкнутой системы. Ф(jω) = P(ω) + jQ(ω) απ/ω_c =

= t _p.зад => найдём ω_c ω_c >= απ/ t _p.зад .

Через ω_c проводим линию с наклоном

-20дБ/дек, наклон -20дБ/дек должен сохраняться хотя бы в промежутке -17-17 дБ/дек. => обеспечим запасы устойчивости. Чем дольше сохранится -20дБ/дек, тем меньше перерегулирование ω_c увеличивается => увеличивается быстродействие. Область ВЧ на ЛАФЧХ зависит от Wн . Пусть ЛАФЧХ для Wн имеет вид - Чтобы получить Wк надо из Wж-Wн.

53. Синтез посл коррек уст-ва след системы

- Wк Wн

Wк – сложно изменить, Wн – не меняется

Состав Wн: Объект упр-я, измерит уст-во(датчичк), исполнит уст-во, согласующее уст-во(усилитель мощности).

Требования к системе:

1) по точности

2) по обеспечению качества регул-я t_р ,

3) какие возмущения влияют на сист и на компенсацию

4) стоимость и надежн сист

5) вес и габаритн размеры уст-в

6) режимы вибрации, температура окр среды, влияние агрессивных сред

Для ИУ важны передаваемая и мах момент вращения

Метод синтеза основан на построении желаемой ЛАФЧХ разомкнутой системы.

54. (1/2) Назн корр уст-в в САР. Жесткая и гибкая ОС

Wк(S)=(Кк(Т₂S+1)(T₃S+1))/(S(T₁S+1)) Реализуем коррекцию на ОУ:Wк(S)= Wк’(S) * Wк”(S)

Wк’(S)=Kк(T₂S+1)/S = Кк(T₂ + 1/S) :

T2

Кк

1/S

Wк”(S) = (T₃S+1)/( T₁S+1) :

T₃

/T₁ 1/S

-

Необходимо взять 2 интегратора.огр-я:

1) Огр-е на К в разомкн сист, К растет, растет напряжение входа. При больших К велика вер-ть, что сигналы войдут в насыщ-е, => сист станет нелин => не получим нужн быстродейств.

2) При больших К система начинает усиливать возмущающее действие => система чувствительна к шумам

3) В Wн часто содержатся слабодемпфирующие звенья(колеб звено с малым )

В тех случаях, когда есть слабодемпф, неуст, консерват. Звенья, надо строить доп. внутренний контур :

- Wк W₁ W₂

Woc

54. (2/2) Назн корр уст-в в САР. Жесткая и гибкая ОС

W₁ – слабодемпфирующее звено

После исп-я ОС:

Wос = K/(TS+1), Woc = K – жесткие ОС, т.к. так как в установившемся режиме ос действует.

S->0, Woc->K.

Гибкая ОС – ОС, кот. Действует только в переходном процессе, а в установивш режиме ее нет, то есть дифф. Звено. При S->0 Woc=0

Woc=KS/(TS+1) – осуществляет демпфирование колебаний.

Если в ОС будет 1/S, то не будет передаваться сигнал на выход(плохо, так как нулевая передача).