Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

Повышение технико-экономических показателей металлургического производства во многом определяется эффективностью используемых автоматизированных систем управления технологическими процессами, основой построения которых являются математические модели, описывающие технологические процессы и принципы функционирования автоматизированных систем управления.

Внедрение новых информационных технологий в процесс разработки автоматизированных систем способствует дальнейшему развитию математического моделирования. Увеличивается многообразие используемых моделей, самостоятельное значение приобретают математические методы решения вычислительных задач. Совершенствуется и процесс моделирования: используются не только большие ЭВМ, но и персональная техника, объединенная в информационно-вычислительные системы. Возникают новые перспективные направления в теории математического моделирования, ориентированные на анализ и синтез сложных систем. Математическое моделирование стало средством, позволяющим без капитальных затрат решать проблемы построения сложных систем и управления технологическими процессами.

Данное пособие предназначено для закрепления теоретических знаний, полученных при изучении дисциплины «Моделирование процессов и объектов в металлургии». Настоящий практикум составлен в соответствии с программой лекционного курса по этой дисциплине.

В пособие включены восемь лабораторных работ, охватывающих следующие разделы учебного курса: понятие математической модели и общие принципы и этапы ее построения, вычислительный эксперимент и адекватность моделей, применение численных методов для анализа и расчета процессов, постановка и пути решения оптимизационных задач. Все приведенные лабораторные работы имеют единую структуру и включают краткие теоретические сведения, методику выполнения работы, варианты индивидуальных заданий и контрольныевопросыизаданиядляпроверкикачестваусвоенияматериала.

Цель практикума − выработать навыки построения простейших математических моделей и их исследования с помощью различных пакетов прикладных программ (ППП). Поэтому данный практикум предполагает знание студентом стандартного курса информатики и наличие элементарных пользовательских навыков в работе с вычислительной техникой.

При создании практикума использован опыт проведения лабораторных занятий кафедрой прикладной математики и автоматизированных систем управления Сибирского федерального университета.

При выполнении лабораторной работы студент получает индивидуальное задание на работу у преподавателя, оформляет индивидуальный отчет по каждой лабораторной работе и защищает ее перед преподавателем в соответствии с контрольными вопросами, приведенными в конце каждой работы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Цельработы

Изучить методы построения математических моделей, описывающих взаимосвязи между двумя случайными величинами, с помощью регрессионных уравнений и характеристики адекватности математической модели.

Краткиетеоретическиесведения

Моделью называется записанная на определенном языке (естественном, математическом и др.) совокупность знаний, представлений и гипотез об объекте или явлении. Соответственно, моделирование – это замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели.

Математической моделью называется совокупность знаний, представлений и гипотез о процессе или явлении, записанная на языке математических символов. Разработка математической модели состоит из четырех взаимосвязанных этапов: формулировка целей моделирования, определение объекта моделирования, выбор структуры (структурный синтез) модели, идентификация модели.

Объектом называется реально существующий процесс, выбираемый для моделирования. При определении объекта моделирования осуществляется его локализация во времени, в пространственных и параметрических координатах.

Локализация объекта во времени состоит в выборе временного интервала функционирования объекта. Для агрегатов периодического действия это длительность рабочего цикла или его фазы; для агрегатов непрерывного действия это время процесса в одной технологической цепочке или зоне обработки.

Локализация объекта в пространственных координатах заключается в определении технологических границ, состава основных и вспомогательных агрегатов, направлений материальных и энергетических потоков.

Локализация объекта в параметрических координатах включает в себя выделение совокупности входных переменных Х1, Х2, …, Хn, управляющих воздействий U1, U2, …, Uk, влияющих на процесс, выходных переменных Y1, Y2, …, Ym, характеризующих протекание процесса, а также внутренних параметров модели P1, P2, …, Pl.

Управляющие воздействия U1, U2, …, Uk являются целенаправленно изменяемыми переменными и формируются на основе информации о вход-

ЛАБ. Р. 1. ОПР-Е ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕСС. МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТ-М ДАННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Краткие теоретические сведения

ных переменных, которые называются управляемыми. Остальные входные переменные относятся к возмущающим воздействиям, а выходные переменные – к неуправляемым.

Внутренние параметры модели – это внутренние характеристики объекта, не зависящие от процесса моделирования, например, конструктивные параметры агрегатов, теплофизические свойства объектов и т.п.

Возмущающие воздействия и неуправляемые переменные могут быть контролируемыми (наблюдаемыми) и неконтролируемыми (ненаблюдаемыми).

Основными требованиями к выбору объекта моделирования являются возможность получения информации о его состоянии (наблюдаемость объекта) и целенаправленного воздействия на его состояние (управляемость объекта).

Следующий этап − структурный синтез модели − включает в себя: 1) выбор математической структуры (дифференциальные, алгебраические уравнения, регрессионные уравнения и др.); 2) определение входных и выходных переменных, вектора внутренних параметров модели и вектора управления; 3) запись уравнений взаимосвязи между выходными переменными, входными воздействиями, управлениями и внутренними параметрами на основе физико-химических закономерностей процесса.

Характеристикиматематическоймодели

Эффективность математической модели определяется следующими характеристиками: адекватностью, степенью целенаправленности поведения, сложностью, целостностью, неопределенностью, поведенческой стратегией, адаптивностью, управляемостью и возможностью развития.

Адекватность модели – соответствие математической модели объекту в отношении отражения его заданных свойств.

В зависимости от степени целенаправленности поведения модели мо-

гут быть разделены на одноцелевые и многоцелевые, модели с управлением и без управления.

Сложность можно оценить по общему числу элементов в системе и связей между ними.

Целостность указывает на то, что создаваемая модель является одной общей системой, включает в себя большое количество составных частей, находящихся в сложной взаимосвязи друг с другом.

Неопределенность, которая проявляется в системе, оценивается энтропией и позволяет в ряде случаев оценить количество управляющей информации для достижения заданного состояния системы.

Поведенческая стратегия дает возможность оценить эффективность достижения системой поставленной цели. Для количественной оценки эффективности управления используются критерии качества.

Адаптивность – приспособляемость к различным внешним возмущающим факторам в широком диапазоне изменения воздействий внешней среды.

ЛАБ. Р. 1. ОПР-Е ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕСС. МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТ-М ДАННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Краткие теоретические сведения

Управляемость модели позволяет обеспечивать управление при экспериментах для получения возможности рассмотрения протекания процесса в различных условиях, имитирующих реальные. К этому можно отнести управление технологическим процессом как в нормальном, так и в предаварийном состоянии.

Возможность развития модели позволяет создавать мощные системы моделирования для исследования многих сторон функционирования реального объекта. Модель должна быть открытой: обеспечивать включение в ее состав новых подмоделей или подсистем управления.

Математическая модель процесса или явления в общем виде представляется зависимостью

Y (t) = ϕ{U (t), X (t), P},

где ϕ{U (t), X (t), P} – вектор-функция, зависящая от управляющих воздействий, входных переменных и внутренних параметров; Y = (Y1,Y2 , …,Ym ) – вектор выходных переменных; X = (X1, X2 , …, Xn ) – вектор входных переменных;

U = (U1,U2 , …,Uk ) – вектор управляющих воздействий; P = (P1, P2 , …, PL ) – вектор внутренних параметров.

Наиболее полное отображение процессов в реальных объектах дают системы алгебраических (статика процессов) и дифференциальных уравнений (динамика процессов), которые широко используются в математическом моделировании.

Моделислучайныхпроцессов

В основе методологии построения математических моделей стохастических процессов и зависимостей, отражающих взаимосвязи между данными, полученными экспериментальным путем, лежит теория случайных величин и регрессионный анализ.

Случайной называется величина, которая в результате одного и того же опыта может принять то или иное заранее неизвестное значение. Случай-

ные величины могут быть дискретными (прерывными) и непрерывными.

Дискретные случайные величины принимают изолированные числовые значения, отделенные друг от друга конечными интервалами (например, число попаданий при нескольких выстрелах, число появлений герба при нескольких подбрасываниях монеты). Значения непрерывных случайных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток (например, ошибка измерения, дальность полета снаряда).

Всякое соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями, с которыми эти значения принимаются, называется законом распределения случайной величины. Закон распределения количе-

ЛАБ. Р. 1. ОПР-Е ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕСС. МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТ-М ДАННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Краткие теоретические сведения

ственно может выражаться в следующих формах: табличной, графической и аналитической.

При количественном описании закона распределения вероятностей можно воспользоваться вероятностью события X < x, где x – текущая переменная. Вероятность этого события есть некоторая функция x, которая назы-

вается функцией распределения случайной величины X и обозначается F(x):

F(x) = P(X < x).

Одной из форм закона распределения непрерывной случайной вели-

чины является плотность распределения вероятностей f(x). Она связана с функцией распределения формулой

f(x) = F '(x).

При решении большинства практических задач закон распределения, т.е. полная характеристика случайной величины, неудобен для использования. Поэтому чаще применяют числовые характеристики случайной величины, определяющие основные показатели закона распределения. Наиболее распространенными из них являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется следующим образом:

+∞

M [X ]= ∫xf (x)dx.

−∞

Дисперсия D[X] и среднее квадратическое отклонение σ[Х] определяют рассеяние случайной величины около её математического ожидания и вычисляются по формулам

D[X ]= M[X − M[X ]2 ],

σ[X ]= D[X ] .

На практике очень часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной, а двумя и более случайными величинами, образующими комплекс или систему.

Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин, ее составляющих, они включают также взаимные связи (зависимости) между случайными величинами называемые корреляцией.

ЛАБ. Р. 1. ОПР-Е ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕСС. МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТ-М ДАННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Краткие теоретические сведения

Корреляция – это связь между двумя или несколькими величинами или исследуемыми объектами. Корреляция бывает двух видов: детерминированная (определяется строгими закономерностями и обычно описывается физи- ко-химическими формулами) и стохастическая (случайная, вероятностная – проявляется в том, что одна из величин влияет на изменение другой изменениями своего закона распределения).

Характеристикой системы двух случайных величин, описывающей связь между ними, является коэффициент корреляции

rxy = M (X − mx )(Y − my ) ,

σxσy

где mx, my – сокращенное обозначение математического ожидания величины Х и Y соответственно, mx = M[X], my = M[Y]. Если rxy = 0, то корреляционная связь между величинами отсутствует.

Построениеиисследованиерегрессионныхмоделей

Зависимость между случайными величинами называется регрессией. Она понимается как зависимость между математическими ожиданиями этих величин.

Форма связи между случайными величинами определяется линией регрессии, показывающей, как в среднем изменяется величина Y при изменении величины Х, что характеризуют условным математическим ожиданием my/x величины Y, вычисляемым при Х = х. Таким образом, кривая регрессии Y на Х есть зависимость условного математического ожидания Y от известного значения Х.

Задача регрессионного анализа ставится следующим образом: для каждого i-го опыта имеется набор значений входных параметров X1i, X2i, …, Xni и соответствующего этому набору значений выходного параметра Yi.

Необходимо определить зависимость выходного параметра Y от входных факторов X1i, X2i, …, Xni, которая в случае, например, линейной связи может иметь следующий вид:

Y = b0 + b1X1 + b2X2 + …+ bnXn.

Такая зависимость называется линейной регрессией. Любая другая зависи-

мость называется нелинейной регрессией.

Задача сводится к тому, чтобы при измеренных во время опытов значениях входных переменных X1, X2, …, Xn и выходной переменной Y найти коэффициенты уравнения регрессии b0, b1, b2, …, bn, которые с определенной степенью вероятности будут отражать влияние аргументов X1, X2,…, Xn на Y.

ЛАБ. Р. 1. ОПР-Е ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕСС. МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТ-М ДАННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Краткие теоретические сведения

Регрессионная зависимость вида Y = f(Xi) называется однофакторной или парной и описывает связь между двумя переменными: входной Х и выходной Y.

Регрессионная зависимость вида Y = f(X1, X2, …, Xn) называется многофакторной или множественной и описывает связь между несколькими входными X1, X2, …, Xn и одной выходной Y.

Построение и исследование регрессионной модели можно разбить на четыре этапа.

1. Проверка наличия стохастической связи между исследуемыми величинами. Для этого нужно определить по значению rxy, существует ли корреляционная связь между Х и Y.

2. Выбор вида уравнения регрессии. Вид уравнения регрессии выбирается исходя из особенностей изучаемой системы случайных величин. Один из возможных подходов при этом – экспериментальный подбор типа уравнения регрессии по соответствующим критериям адекватности. В случае же, когда имеется определенная априорная (доопытная) информация об объекте, более эффективным является использование для этой цели теоретических представлений о процессах и типах связей между изучаемыми параметрами.

3. Расчет параметров (коэффициентов) уравнения регрессии. Для определения параметров (коэффициентов) уравнения регрессии используется метод наименьших квадратов (МНК). Сущность метода заключается в том, что выбирается такая линия регрессии, при которой сумма квадратов разностей между экспериментальными значениями выходной переменной Yi, полученными на объекте, и значениями, рассчитанными по выбранной регрес-

где q – критерий близости модели и объекта, называемый невязкой модели; n – количество экспериментальных данных.

Задача построения линейной модели сводится к минимизации функции невязки следующего вида:

n

q = ∑[Yi − (b0 + b1x1i + b2 x2i +... + bn xni )]2 min .

i=1

Вкачестве нелинейных регрессионных моделей чаще всего используются полиномы разной степени:

Yi = b0 + b1Xi + b2Xi2 + b3Xi3 + …+ bmXmm-1.

4. Проверка адекватности структуры модели. Об адекватности структуры модели можно судить по коэффициенту корреляции r или корреляци-

ЛАБ. Р. 1. ОПР-Е ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕСС. МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТ-М ДАННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Краткие теоретические сведения

онному отношению η, гистограмме распределения остатков и содержательному анализу остатков модели [7, 9].

Коэффициент корреляции r характеризует степень тесноты линей-

ной связи между ~ и Y, приближенное значение r определяется по формуле

Y

где n – число экспериментальных данных. Коэффициент корреляции изменяется от –1 до +1.

Корреляционное отношение η характеризует степень тесноты нели-

нейной связи между переменными ~ и Y:

Y

~

где Yi – текущее значение, вычисленное по математической модели значение

параметра Y; Yi – текущее значение, полученное на объекте; Y – выборочное среднее значение,

Y= 1 ∑n Yi .

n i=1

Корреляционное отношение изменяется от 0 до +1.

Следует иметь в виду, что коэффициент корреляции является частным случаем корреляционного отношения и используется обычно только при исследовании линейных моделей. Диапазон изменения коэффициента корреляции (корреляционного отношения) указывает на корреляцию (связь)

между ~ и Y.

Y

Выводы о степени адекватности модели делаются не только на основании значения коэффициента корреляции или корреляционного отношения, но и на основании гистограммы распределения и содержательного анализа остатков модели.

ЛАБ. Р. 1. ОПР-Е ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕСС. МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТ-М ДАННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Краткие теоретические сведения

Гистограмма распределения остатков модели строится следующим образом. Весь диапазон изменения остатков (от минимального из остатков до максимального) разбивается на несколько равных интервалов, или поддиапазонов (обычно от 6 до 20), которые откладываются на оси абсцисс. Далее на оси ординат отмечается число попаданий остатка в каждый интервал, или поддиапазон (рис. 1.1). Число попаданий ошибки можно откладывать как в натуральных показателях, так и в процентном соотношении. При адекватности модели реальному объекту гистограмма распределения приобретает колоколообразный вид (рис. 1.1, а), при неадекватности модели она имеет несимметричный характер или второй горб (рис. 1.1, б).

а б

Рис. 1.1. Гистограмма распределения остатков

Содержательный анализ остатков модели состоит в построении распределения остатков модели в зависимости от входного параметра X . Попадание большинства данных в горизонтальную полосу, расположенную симметрично оси OX, свидетельствует об адекватности модели.

Порядоквыполненияработы

1.Для оформления решения составить таблицу в ППП Microsoft Office Excel (рис. 1.2) и, исходя из задания, занести экспериментальные данные в ячейки A3:B12.

2.Построить точечный график по диапазону ячеек A3:B12, выделить точки графика щелчком левой кнопки мыши в диапазоне точек на графике, а затем щелкнуть на них правой кнопкой.

В раскрывшемся контекстном меню следует выбрать команду Доба-

вить линию тренда (рис. 1.3).

В диалоговом окне Линия тренда (Trendline) (рис. 1.4) на вкладке

Тип (Type) в группе Построение линии тренда (аппроксимация и сглажи-

вание) (Trend/Regression type) выбрать параметр Линейная (Linear).

ЛАБ. Р. 1. ОПР-Е ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕСС. МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТ-М ДАННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Порядок выполнения работы

Рис. 1.2. Таблица данных объекта и модели

Рис. 1.3. Вызов через контекстное меню линии тренда

Рис. 1.4. Вкладка Тип диалогового окна Линия тренда

ЛАБ. Р. 1. ОПР-Е ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕСС. МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТ-М ДАННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Порядок выполнения работы

На вкладке Параметры (Options) (рис. 1.5) установить флажки Пока-

зывать уравнение на диаграмме (Display Equation on Chart) и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2) (Display R- squared), т.е. на диаграмму необходимо поместить значение квадрата коэффициента корреляции. В разделе Прогноз на вкладке Параметры диалогового окна Линия тренда можно задать параметры вперед и назад для составления прогноза поведения функции. Флажок Пересечение кривой с осью Y в точке (Set Intercept) устанавливается только в том случае, если эта точка известна. Например, если этот флажок установлен и в его поле введен 0, это означает, что ищется модель y = b1 X.

Рис. 1.5. Вкладка Параметры диалогового окна

Линия тренда

Результат выполнения команды Линия тренда представлен на

(рис. 1.6).

3.По приведенному выше алгоритму выполнить регрессионный анализ для нелинейных моделей, в частности построить полиномиальную модель второго порядка, последовательно увеличить порядок уравнения до шестого. Для этого выделить линию тренда с помощью щелчка левой кнопки

ивызвать контекстное меню с помощью правой кнопки мыши. Выбрать опцию Формат линии тренда, далее выбрать соответствующий параметр Полиномиальная модель, увеличить показатель степени, найти уравнение и коэффициент корреляции.

4.Проанализировать полученные данные и по наиболее высокому значению коэффициента корреляции определиться с типом модели, адекватным объекту (рис. 1.7).

ЛАБ. Р. 1. ОПР-Е ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕСС. МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТ-М ДАННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Порядок выполнения работы

Рис. 1.6. График линии тренда линейной модели

Рис. 1.7. Выбранная полиномиальная модель

Рис. 1.8. Нахождение теоретических значений

ЛАБ. Р. 1. ОПР-Е ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕСС. МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТ-М ДАННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Порядок выполнения работы

5. На основе найденных коэффициентов уравнения регрессии установить теоретическое значение наблюдаемой величины Y. Для этого нужно рассчитать теоретическое значение Y в ячейке C3, заменяя X на A3 по формуле, полученной в результате регрессионного анализа, например, у модели на рис. 1.5 формула для вычисления имеет вид

= - 0,0709*А3^3-1,0676*A3^2+4,907*A3-2,0333.

Скопировать значение ячейки C3 на весь столбец C, используя контекстное меню или панель инструментов.

6.Вычислить ошибку модели в ячейке D3 по формуле =B3-C3 и скопировать на весь столбец D (рис. 1.8).

7.Для проверки модели на адекватность построить гистограмму распределения ее остатков. Это сделать следующим образом. Составить диапазон изменения остатков, определить их минимальное и максимальное значения с помощью функций МАКС() и МИН(). Затем весь диапазон изменения остатков разбить на несколько равных поддиапазонов (от 6 до 20) и рассчитать число попаданий ошибки (остатков) в каждый поддиапазон.

Все границы интервалов записать в отдельную строку или столбец

(рис. 1.9).

Рис. 1.9. Нахождение ошибки и карманов

Далее для построения гистограммы распределения остатков выбрать команду Сервис, Анализ данных (если этой опции не будет, необходимо выбрать команду Надстройки... и в появившемся диалоговом окне отметить флажком опцию Пакет анализа). В появившемся диалоговом окне Анализ данных в разделе Инструменты анализа выбрать опцию Гистограмма.

ЛАБ. Р. 1. ОПР-Е ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕСС. МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТ-М ДАННЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Порядок выполнения работы

В диалоговом окне Гистограмма (рис. 1.10) в поле Входной интер-

вал выбрать интервал, в котором находится диапазон ошибок (D3:D12), в поле Интервал карманов – диапазон значений отрезков поддиапазонов. От-

метить флажками Интегральный процент и Вывод графика.

Результаты построения приведены на рис. 1.11.

Рис. 1.10. Построение гистограммы распределения остатков модели

Рис. 1.11. Гистограмма распределения остатков

8. Для проверки модели на адекватность построить график содержательного анализа остатков модели в зависимости от входной переменной Х. Построить точечный график по диапазону ячеек в столбцах A3:A12 и D3:D12. По полученным результатам сделать выводы об адекватности построения модели экспериментальным данным и оформить отчет.