ИнМu_sam

1. Общие сведения

Согласно учебной программе дисциплины, самостоятельная работа студента в рамках изучение дисциплины "Кратное интегрирование. Когомологии" составляет 1,6 зачетных единицы (56 часов) из общего числа 3.3 зачетных единиц (120 часов), выделенных на дисциплину в учебном плане.

Самостоятельное изучение теоретического курса составляет 0,6 зачетных единицы (26 часов) по 0,3 зачетных единицы (13 часов) в 9 и 10 семестрах.

Трудоемкость самостоятельного решения задач составляет 1 зачетную единицу (30 часов) по 0,5 зачетных единицы (15 часов) в 9 и 10 семестрах.

2. Темы для самостоятельного изучения теоретического материала курса

2.1. Место в самостоятельной работе студента

Для самостоятельного изучения отдельных тем теоретического курса, помимо изучения курса лекций, созданного для данной дисциплины, рекомендуется работа с основной и дополнительной литературой, приведенной в п.3.

Темы для самостоятельного изучения выдаются лектором на 1-й неделе 9-го и 10-го семестров. Результаты самостоятельной работы защищаются на промежуточных контролях (9-я и 19-я недели обучения соответствующих семестров) в форме устных сообщений по самостоятельно изученному материалу. Студент должен выбрать для самостоятельного изучения не менее двух тем по каждому разделу.

2.2. Темы для самостоятельного изучения

Раздел 1: "Когомологии де Рама и интегрирование

дифференциальных форм на многообразиях" (модуль 1)

1.1Многообразия механики (конфигурационное и фазовое пространства).

1.2Грассмановы многообразия.

1.3Торические многообразия.

1.4Триангулируемость компактных многообразий. Доказательство.

1.5Теорема Уитни о вложении некомпактных многообразий в вещественное евклидово пространство. Доказательство.

1.6Когомологии де Рама с компактным носителем.

Раздел 2: "Другие типы когомологий. Некоторые методы вычисления

кратных интегралов" (модуль 2)

2.1Теорема Лере. Доказательство.

2.2Вычисление объема торических многообразий.

2.3Вычисление топологических зарядов инстантонных полей.

2.4Формулы обращения для многомерного преобразования Меллина и решения алгебраических уравнений. Применение.

2.5Применение метода разделяющих циклов для изучения штейновости квазиторических многообразий.

3. Информационное сопровождение дисциплины

3.1. Основная литература

1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть 2./ Б.В. Шабат

– Издательство: Лань, 2004. – 336 с.

2.Ботт Р. Дифференциальные формы в алгебраической топологии / Р. Ботт, Л.В. Ту – М.: Наука, 1989, – 336 С.

3.де Рам. Ж. Дифференцируемые многообразия/ Жорж де Рам – M.: URSS, 2006. – 249 с.

4.Дубровин Б.А. Современная геометрия. Методы теории гомологий / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко – M.: URSS, 2001, 288 С.

5.Нарасимхан Р. Анализ на вещественных и комплексных многообразиях / Р. Нарасимхан – Издательство: Платон, 1997, 232 С.

3.2. Дополнительная литература

1.Цих А.К. Многомерные вычеты и их применение / А.К. Цих – Новосибирск: Наука, 1988 – 241 С.

2.Южаков А.П. Элементы теории многомерных вычетов/ А.П. Южаков

– Красноярск: РИО КрасГУ, 1975. – 182 С.

3.Бухштабер В.М. Торические действия в топологии и комбинаторике / В.М. Бухштабер, Т.Е. Панов – М.: МЦНМО, 2004. – 271 С.

4.Мищенко А.С. Курс дифференциальной геометрии и топологии / А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко – М.: Факториал Пресс, 2000, 448 С.

5.Федерер Г. Геометрическая теория меры /Г. Федерер – М.: Наука, 1987.–760 С.

¨

6. Mellin H. Uber die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy fur¨ die Theorien der Gamma und der hypergeometrischen Funktionen / H. Mellin // Acta Soc. Sci. Fennica. 1896. V. 21. №1. P. 1–115.

7. Mellin H. Resolution´ de l’equation´ algebrique´ gen´erale´ a` l’aide de la fonction gamma / H. Mellin // C.R. Acad. Sci., Paris Ser´. I Math. 1921. V. 172. P. 658–661.

8. Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных / В.С. Владимиров – М.: Наука, 1964.

9. Passare M. A multidimensional Jordan residue lemma with an application to Mellin–Barnes integrals / М. Passare, А. Tsikh,

О. Zhdanov // Aspects Math. 1994. V. E 26, P. 233-241.

10.Passare M., Tsikh A. Algebraic equations and hypergeometric series // In the book "The legacy of N.H. Abel". Berlin–Heidelberg: Springer Verlag, 2004, P. 653–672.

11.Пассаре М. Кратные интегралы Меллина-Барнса как периоды многообразий Калаби-Яу с несколькими модулями / М. Пассаре, А.К. Цих, A.A. Чешель // Теор. и матем. физика. 1996. Т. 109, №3. С. 381-394.

12.Антипова И.А. Формулы обращения для многомерного преобразования Меллина и решения алгебраических уравнений / И.А. Антипова // Матем. Сб. 2007. - Т. 198. - № 4. - С. 3-20.

13.Грауэрт Г. Теория пространств Штейна /Г. Грауэрт, Р. Реммерт. – М.:Наука, 1989.

14.Знаменская О.В. Гомологический метод в вопросе штейновости квазиторических многообразий / О.В. Знаменская, А.К. Цих // Многомерн. комплексн. анализ: Межвузов. сб. – Красноярск: КрасГУ. 2002.

– С.48-57.

4. Комплекты задач по разделам курса

4.1. Описание комплектов и их использования в учебном процессе

Поскольку семинарские и практические занятия для этой дисциплины учебным планом не предусмотрены, вся практическая работа, требующая применения полученных знаний при решении задач, осуществляется в рамках самостоятельной работы студентов. При этом промежуточный контроль в рамках модуля выполняет как контрольно-диагностическую, так и коррекционно-консультационную функции.

Настоящий специальный курс содержит два раздела, соответствующие первому (9 семестр) и второму (10 семестр) учебным модулям:

Раздел 1: "Когомологии де Рама и интегрирование дифференциальных форм на многообразиях".

Раздел 2: "Другие типы когомологий. Некоторые методы вычисления кратных интегралов".

Одним из видов самостоятельной работы в рамках данной дисциплины является решение комплектов задач по каждому разделу дисциплины. Трудоемкость каждого из двух комплектов заданий составляет 15 часов (0.5 зачетных единицы).

Каждый комплект состоит из заданий по темам раздела разной степени трудности. Наиболее трудные задания комплекта снабжены указаниями на способ решения или полными решениями (в том случае, если решение требует исскуственного приема или привлекает материал, выходящий за рамки лекционного курса).

Задания выдаются лектором на 1-й неделе 9-го и 10-го семестров. Указания и решения выдаются студентам по их требованию и только после демонстрации ими собственных (пусть неудачных) попыток решения.

Собственные решения задач сдаются в письменном виде за неделю до промежуточного контроля и защищаются устно во время промежуточного

1.6.На сфере Sn−1 = {x Rn : x21 + · · · + x2n = 1} двумя способами ввести структуру многообразия.

1.7.Доказать, что двумерный тор является многообразием. Построить атлас карт для этого многообразия.

1.8.Доказать, что следующие подмножества евклидовых пространств не являются многообразиями (ни гладкими, ни топологическими):

a)объединение двух координатных осей в R2,

b)конус x2 + y2 − z2 = 0 в R3.

1.9.Доказать, что проективная плоскость гомеоморфна листу Мебиуса, к граничной окружности которого приклеен круг.

1.10.Какому многообразию гомеоморфно множество всех прямых на плоскости?

1.11.Доказать, что n-мерное вещественное проективное пространство RPn

и комплексное проективное пространство CPn являются, соответственно, вещественно–аналитическим и комплексно–аналитическим многообразиями.

1.12.Доказать, что множество всех k-мерных плоскостей в Евклидовом пространстве Rn+1 является аналитическим многообразием (Грассманово многообразие G(k, n + 1)).

1.13 . Доказать, что многообразия S1 ×S2n−1, S2n−1 ×S2n−1 имеют комплекс-

ную структуру.

Дифференциальные формы на многообразиях

2.1.Доказать свойства внешнего произведения дифференциальных форм:

a)ω ϕ = (−1)degω·degϕϕ ω,

b)(ω1 + ω2) ϕ = ω1 ϕ + ω2 ϕ,

c)(ω ϕ) ψ = ω (ϕ ψ),

d)Пусть x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) — локальные координаты на многообразии X, x = x(y). Доказать, что при переходе к координатам

y символ dxI преобразуется по правилу dxI (y) = dxI1 (y) · · · dxIp (y).

e) Пусть ai(x), i = 1, . . . , p — гладкие функции, dai — обычный дифференциал. Доказать, что

2.2.Доказать свойства дифференциала от дифференциальной формы:

a)d(ω ϕ) = dω ϕ + (−1)degωω dϕ,

b)d(dω) = d2ω = 0 (доказать для форм степени 0 и форм произвольной степени).

2.3.Вычислить дифференциал следующих дифференциальных форм:

2.4. Пусть p и q — произвольные многочлены от переменных z1, . . . , zn, а числа a и k вещественные. Пусть существует такая дифференциальная форма ω, что dp ω = pdz, dω = adz, dq ω = qkdz, где dz = dz1 · · · dzn. Доказать, что d(p−k−aqω) = 0.