3МатЛогикаЗадачи1
.doc1.1. Какие из следующих предложений являются Высказываниями и укажите являются высказывания истинными или ложными:
Решение, б) Это предложение не является высказыванием, потому что оно ничего не утверждает о студенте.
п) Предложение — высказывание, но для выяснения его значения истинности нужно затратить немало времени.
|
Пример |
б) Студент механико-математического факультета университета; п) В романе А. С. Пушкина «Евгений Онегин» 136 245 букв; |
|
Вариант |
Исходные данные |
|
1 |
а) Москва — столица России; |
|
2 |
г) Луна есть спутник Марса; |
|
3 |
д) 2 + 2-5; |
|
4 |
е) Кислород — газ; |
|
5 |
ж) Каша — вкусное блюдо; |
|
6 |
з) Математика — интересный предмет; |
|
7 |
и) Картины Пикассо слишком абстрактны; |
|
8 |
к) Железо тяжелее свинца; |
|
9 |
л) «Да здравствуют музы!»; |
|
10 |
р) Река Ангара впадает в озеро Байкал. |
1.2. Сформулируйте отрицания следующих высказываний;
укажите значения истинности данных высказываний и их отрицаний:
|
Вариант |
Исходные данные |
|
1 |
а) Волга впадает в Каспийское море; |
|
2 |
б) Число 28 не делится на число 7; |
|
3 |
в) 6 > 3; |
|
4 |
г) 4<5; |
|
5 |
д) Все простые числа нечетны; |
|
6 |
е) лД — рациональное число; |
|
7 |
ж)5 + 3 = 8; |
|
8 |
з) Африка — остров; |
|
9 |
и) Все слова можно разделить на слоги; |
|
10 |
к) Некоторые грибы несъедобны.. |
1.3. Установите, какие из высказываний в следующих парах
являются отрицаниями друг друга и какие нет (объясните почему):
.
Решение, л) Высказывание «2 > 0» не является отрицанием высказывания «2 < 0», потому что требование не быть меньше О оставляет две возможности: быть равным 0 и быть больше 0. Таким образом, отрицанием высказывания «2 < 0» является
высказывание «2 > 0».
|
Пример |
л) «2 < 0», «2 > О» |
|
Вариант |
Исходные данные |
|
1 |
а) «4 < 5», «5 < 4»; |
|
2 |
б) «6 < 9», «6 > 9»; |
|
3 |
в) «Треугольник ABC прямоугольный», «Треугольник ABC тупоугольный» |
|
4 |
г) «Натуральное число п четно», «Натуральное число п нечетно»; |
|
5 |
д) «Функция / нечетна», «Функция / четна»; |
|
6 |
е) «Все простые числа нечетны», «Все простые числа четны»; |
|
7 |
ж) «Все простые числа нечетны», «Существует простое четное число»; |
|
8 |
з) «Человеку известны все виды животных, обитающих на Земле», «На Земле существует вид животных, неизвестный человеку»; |
|
9 |
и) «Существуют иррациональные числа», «Все числа — рациональные»; |
|
10 |
к) «Если n делится на 3, то n делится на 9», «Если n не делится на 3, то n не делится на 9»; |
1.4. Определите значения истинности следующих высказываний:
Р е ш е н и е. л) Оба простых высказывания, к которым
применяется операция конъюнкции, истинны, поэтому на основании
определения этой операции и их конъюнкция есть истинное высказывание.
|
Пример |
л) 3-3 = 9и4 + 7=11.
|
|
Вариант |
Исходные данные |
|
1 |
а) Санкт-Петербург расположен на Неве и 2 + 3 = 5; |
|
2 |
б) 7 — простое число и 9 — простое число; |
|
3 |
в) 7 — простое число или 9 —- простое число; |
|
4 |
г) Число 2 четное или это число простое; |
|
5 |
д) 2 < 3, 2 > 3, 2 • 2 < 4, 2 . 2 > 4; |
|
6 |
е) 2-2 = 4 или белые медведи живут б Африке; |
|
7 |
ж) 2-2 = 4, и 2-2<5, и 2-2>4; |
|
8 |
з) 2 — рациональное число или -5 — иррациональное число; |
|
9 |
и) Фобос и Луна — спутники Марса; |
|
10 |
к) У равнобедренного треугольника либо два, либо три угла |
1.5. Определите значения истинности высказываний А, В, С,
Д Е, F, G, Н, I, J, К, если высказывания а)—д) истинны, а высказывания е)—л) ложны:
Р е ш е н и е. л) Конъюнкция высказываний есть ложное высказывание в случае, когда по меньшей мере одно из входящих в конъюнкцию составляющих высказываний (членов конъюнкции) ложно. В нашем случае второе составляющее высказывание «2 • 2 = 4»
истинно, а конъюнкция двух высказываний ложна. Поэтому первое составляющее высказывание С ложно.
|
Пример |
|
|
Вариант |
Исходные данные |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
1.6. Сформулируйте и запишите в виде конъюнкции или
дизъюнкции условие истинности каждого предложения (a, b — действительные числа):
Р е ш е н и е. л) Дробь равна нулю лишь в том случае, когда
числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, т. е. (а = 0) ^ (b≠ 0).
числа):
|
Пример |
|
|
Вариант |
Исходные данные |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
1.7. Определите значения истинности следующих высказываний:
Р е ш е н и е. к) Так как высказывание-посылка «12 делится на 6»
истинно и высказывание-следствие «12 делится на 3» истинно, то
и составное высказывание по определению импликации истинно.
|
Пример |
Если 12 делится на 6, то 12 делится на 3; |
|
Вариант |
Исходные данные |
|
1 |
Если 9 делится на 3, то 4 делится на 2; |
|
2 |
Если 11 делится на 6, то 11 делится на 3; |
|
3 |
Если 15 делится на 6, то 15 делится на 3; |
|
4 |
Если 15 делится на 3, то 15 делится на 6; |
|
5 |
Если Саратов расположен на Неве, то слоны — насекомые; |
|
6 |
12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на 3; |
|
7 |
4 > 5 тогда и только тогда, когда -4 > -5; |
|
8 |
15 делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на 3; |
|
9 |
15 делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4; |
|
10 |
11 делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на 3. |
1.8. Пусть через А обозначено высказывание «9 делится на 3», а через В — высказывание «8 делится на 3». Определите значение истинности следующих высказываний:
|
Пример |
|
|
Вариант |
Исходные данные |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
1.9. Пусть через А обозначено высказывание «Этот
треугольник равнобедренный», а через В — высказывание «Этот
треугольник равносторонний
Р е ш е н и е. Если треугольник равнобедренный и
неравносторонний, то неверно, что он неравнобедренный.
|
Пример |
|
|
Вариант |
Исходные данные |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
1.10. Пусть через А обозначено высказывание «Это число — целое», через В — высказывание «Это число положительное», через С — высказывание «Это число простое», через D — «Это число делится на 3». Прочитайте следующие высказывания:
Р е ш е н и е. Это число либо целое и простое, либо положительное и делящееся на 3.
|
Пример |
|
|
Вариант |
Исходное выражение |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
