Лекция 3. Информационно-логические основы эвм (окончание)

3.1. Системы счисления (окончание)

3.1.1. Двоичная система счисления

В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи широко используется двоичная система счисления. Это система счисления с наименьшим возможным основанием. В ней для изображения чисел используются только две цифры: 0 и 1.

Произвольное число X в двоичной системе счисления представляется в виде полинома:

X=an2n+an-12n-1+...+a121+a020+a-12-1+...+a-m2-m+...,

(3.1)

где каждый коэффициент a_i может быть либо 0, либо 1.

Примеры изображение чисел в двоичной системе счисления:

1=12 2=102 3=112 4=1002 5-1012 6=1102

7=1112 8=10002 9=10012 10=10102 0.5=0.12 0.25=0.012

Таблица сложений чисел в двоичной системе имеет вид

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1

1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

Таблица умножений в двоичной системе счисления имеет вид

0 х 0 = 0 0 х 1 = 0

1 х 0 = 0 1 х 1 = 1

Так как в двоичной системе счисления для изображения любых чисел используются только две различные цифры, то при построении ЭВМ можно применить элементы, которые могут находиться только в двух состояниях (например, высокое или низкое напряжение в цепи, наличие или отсутствие электрического импульса и т. п.). Это обстоятельство, а также простота выполнения арифметических операций являются причиной того, что большинство современных ЭВМ используют двоичную систему счисления.

3.1.2. Другие позиционные системы счисления

Неудобство использования двоичной системы счисления заключается в громоздкости записи чисел. Это неудобство не имеет существенного значения для ЭВМ. Однако если возникает необходимость кодировать информацию "вручную", например, при составлении программы на машинном языке, то предпочтительно пользоваться восьмеричной или шестнадцатеричной системой счисления (в силу их свойств, которые будут отмечены позднее).

В восьмеричной системе счисления базисными числами являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Запись любого числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа восемь с коэффициентами, являющимися указанными выше базисными числами.

Например, десятичное число 83.5 в восьмеричной системе будет изображаться в виде 123.4. Действительно, эта запись по определению означает представление числа в виде полинома:

18²+28¹+38⁰+48^-1 = 64 + 16 + 3 + 4/8 = 83.5.

В шестнадцатеричной системе счисления базисными являются числа от нуля до пятнадцати. Эта система отличается от рассмотренных ранее тем, что в ней общепринятых (арабских) цифр не хватает для обозначения всех базисных чисел, поэтому приходится вводить в употребление новые символы. Обычно для обозначения первых десяти целых чисел от нуля до девяти используются арабские цифры, а для следующих целых чисел от десяти до пятнадцати используются буквенные обозначения a, b, c, d, e, f.

Например, десятичное число 175.5 в шестнадцатеричной системе будет записываться в виде af.8. Действительно:

1016¹+1516⁰+816^-1 = 160 + 15 + 8/16 = 175.5.

3.1.3. Смешанные системы счисления

В ряде случаев числа, заданные в системе счисления с основанием P, приходится изображать с помощью цифр другой системы счисления с основанием Q, где Q<P. Такая ситуация возникает, например, когда в ЭВМ, способной непосредственно воспринимать только двоичные числа, необходимо изобразить десятичные числа, с которыми мы привыкли работать. В этих случаях используются смешанные системы счисления, в которых каждый коэффициент P-ичного разложения числа записывается в Q-ичной системе. В такой системе P называется старшим основанием, а Q – младшим основанием, а сама смешанная система называется (Q – P)-ичной. Для того чтобы запись числа в смешанной системе счисления была однозначной, для представления любой P-ичной цифры отводится одно и то же количество Q-ичный разрядов, достаточное для представления любого базисного числа P-ичной системы. Так, в смешанной двоично-десятичной системе для изображения каждой десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда. Например, десятичное число x = 925 в двоично-десятичной системе запишется в виде 1001 0010 0101. Здесь последовательные четверки (тетрады) двоичных разрядов изображают цифры 9, 2, 5 записи числа в десятичной системе счисления. Следует обратить внимание, что хотя в двоично-десятичной системе и используются только цифры 0 и 1, эта запись отличается от двоичного изображения данного числа. Например, приведенный выше двоичный код в двоичной системе изображает число 2341, а не число 925.

Однако если P = Q^l, где l – целое положительное число, то запись какого-либо числа в смешанной системе тождественно совпадает с изображением этого числа в системе счисления с основанием Q (что не имеет место в общем случае).