Leonidov

ВВЕДЕНИЕ В СТАНДАРТНУЮ МОДЕЛЬ

А.В. Леонидов

Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН1

Наша школа проходит накануне важнейшего события – запуска Большого Адронного Коллайдера (Large Hadron Collider) в ЦЕРНе. Главной целью экспериментов на БАК будет экспериментальное изучение вопросов физики стандартной модели, связанных с механизмом спонтанного нарушения симметрии, снабжающим массами промежуточные бозоны и частицы материи. Особое внимание будет уделено поискам хиггсовского бозона - возбуждения скалярного поля, ответственного за генерацию масс. Большая часть настоящих лекций как раз и посвящена обзору основных положений объединенной теории электрослабых взаимодействий. Вместе с тем, будут обсуждаться инекоторые вопросы физики сильных взаимодействий.

1Частицы

Все известные в настоящее время элементарные частицы можно разбить на два больших класса: частицы материи и частицы-переносчики взаимодействий. Частицы материи - это массивные и безмассовые2 фермионы со спином 1/2: лептоны, кварки, нейтрино и соответствующие античастицы. Известные нам лептоны, нейтрино и кварки и их электрические заряды приведены в (1,2):

Частицы в (1,2) разбиты на три поколения. В первое поколение входят νe, e, u, d, и т.д. Причина, по которой частицы в (1,2) расположены именно так, как они расположены, не сводится, разумеется, просто к классификации элементарных составляющих материи по их электрическому заряду. Настоящие лекции во многом как раз и посвящены разъяснению структуры, указанной в (1,2).

Массы лептонов, перечисленных в (1,2), приведены в Таблице 1

1Также в Институте теоретической и экспериментальной физики.

2В настоящих лекциях вопрос о массе нейтрино рассматриваться не будет.

В таблицах 1,2 бросается в глаза огромный диапазон масс элементарных составляющих материи. Современная теория не может объяснить происхождение масс лептонов и кварков, поэтому за каждой из масс, приведенных в таблицах 1,2, скрывается свободный параметр теории.

Переносчики взаимодействий - это безмассовые и массивные векторные бозоны, число которых определяется размерностью векторного представления одной из калибровочных групп, представленных в стандартной модели SU (3) SU (2) U (1): восемь глюонов g, переносчиков сильного взаимодействия, связанных с группой SU (3); три промежуточных бозона W ± и Z, связанных с группой слабого изоспина SU (2) и группой слабого гиперзаряда U (1) и фотон γ, переносчик электромагнитного взаимодействия, связанный с как с группой слабого гиперзаряда U (1), так и с группой слабого изоспина SU (2). Массы калибровочных бозонов приведены в Таблице 3:

Таблица 3

Взаимодействие безмассовых калибровочных бозонов γ, g с полями материи иллюстрируют диаграммы рис. 1. Важнейшим отличием абелевых взаимодействий является сохранение заряда на линии, отвечающей частице материи. В неабелевых взаимодействиях этот заряд, вообще говоря, не сохраняется и, например, на рис. 1 справа кварк меняет свой цвет: i → j.

Взаимодействие безмассовых калибровочных бозонов W ±, Z0 с полями материи иллюстрируют диаграммы рис. 2. На рис. 2) представлены как заряженные токи с участием (электрически) заряженных калибровочных бозонов W ±, так и нейтральные токи с участием нейтрального

Fig. 1: Электромагнитные (слева) и цветные (справа) токи, взаимодей-

Fig. 2: Заряженные и нейтральные токи, взаимодействующие с промежуточными бозонами.

калибровочного бозона Z0. В дальнейшем мы подробно обсудим физический смысл линий и вершин на рис. 1,2, а сейчас ограничимся наблюдением о том, что заряженным токам отвечает переход нижней частицы дублетов в (1,2) в верхнюю (или наоборот), а нейтральный ток сохраняет исходный тип (аромат) частицы.

2Калибровочные симметрии

В предыдущем разделе мы упоминали различные калибровочные симметрии и связанные с ними переносчики соответствующих взаимодействий, калибровочные бозоны. Настало время определить эти понятия более подробно.

2.1Абелева калибровочная симметрия

Рассмотрим сначала простейшую абелеву калибровочную теорию с группой U (1), описывающую поле материи ψ, калибровочное поле Aμ и их взаимодействие. Соответствующий лагранжиан имеет вид

включает вершину взаимодействия полей ψ и Aμ. Потребуем, чтобы наша теория была инвариантна относительно произвольного локального изменения поля ψ:

Второе слагаемое в лагранжиане (3) будет инвариантным относительно преобразования поля материи (5), если калибровочное поле Aμ одновременно подвергается калибровочному (градиентному) преобразованию

Действительно, при преобразованиях (5,6) ковариантная производная Dμ преобразуется однородно:

что и обеспечивает инвариантность члена | Dμψ| 2 в лагранжиане (3). Свойства калибровочного поля Aμ полностью описываются его напря-

Очевидно, что напряженность Fμν инвариантна относительно градиентных преобразований (6), так что исходный лагранжиан (3) действительно инвариантен относительно калибровочных преобразований (5,6).

2.2Неабелева калибровочная симметрия

Рассмотрим обобщение калибровочной симметрии, рассмотренной в предыдущем параграфе, для которого поле материи Ψi является вектором в изотопическом пространстве, принадлежащим к фундаментальному представлению калибровочной группы SU (N ), а калибровочные поля Aaμ принадлежат к присоединенному (векторному) представлению той же группы. Лагранжиан модели, обобщающий выражение (3), имеет вид

в котором ковариантная производная содержит матричную вершину

где (T a) - генератор фундаментального представления SU (N ), для которого ненулевой элемент с индексами (i, j) обеспечивает переход фермиона с зарядом i в фермион с зарядом j с испусканием калибровочного бозона Aaμ.

Потребуем, чтобы теория была инвариантна относительно преобразования имеет вид

обобщающего (5), где S(x) - матричная функция точки пространствавремени. Для инвариантности члена с квадратом ковариантной производной в лагранжиане (9) необходимо, чтобы при преобразовании (11) ковариантная производная преобразовывалась однородно:

Легко видеть, что для этого необходимо, чтобы матричное поле Amu преобразовывалось следующим образом (ср. (6):

Важнейшей отличительной чертой неабелевой теории является наличие взаимодействия калибровочных бозонов, которому отвечает член gf abcAbμAcν в формуле (14) для Fμνa .

Очевидно, что преобразования (12,15) обеспечивают инвариантность лагранжиана (9) относительно неабелевых локальных преобразований (11,13).

3Путь к стандартной модели

В этом разделе мы рассмотрим некоторые ключевые аспекты физики слабых взаимодействий, анализ которых позволяет выявить основные контуры современной объединенной теории электрослабых взаимодействий.

3.1Нарушение четности и зарядового сопряжения

Одной из самых больших неожиданностей в ходе развития физики элементарных частиц было экспериментальное обнаружение максимального несохранения четности в слабых взаимодействиях, обнаруженное в ряде экспериментов в 50-х - 60-х годах XX века.

Напомним, что что четырехкомпонентный дираковский спинор ψ допускает естественное разложение на компоненты с левой и правой киральностями

ψL

ψ = (16)

ψR

Проекции на состояния с определенной киральностью строятся с помощью матрицы γ5:

Для частиц с нулевой массой компоненты ψL и ψR динамически независимы и отвечают состояниям с определенной спиральностью (проекцией спина на импульс). При этом для левокирального безмассового фермиона ψL спин направлен против импульса, а для правокирального ψR - по импульсу. При пространственном отражении P спин (аксиальный вектор) не изменяется, а импульс меняет направление на противоположное. Поэтому при преобразовании четности P киральность меняется на противоположную: L ↔ R. Отметим, что спиральность античастицы противоположна спиральности частицы.

Дадим теперь количественную формулировку упомянутого выше утверждения о максимальном несохранении четности в слабых взаимодействиях. В отличие от привычной электромагнитной вершины на левом рисун-

¯ μ

ке в рис. 1, которой отвечает ток ψγ ψ, включающий взаимодействие с фотоном как левокиральной, так и правокиральной компонент спинора ψ, вершины слабого взаимодействия, как установили эксперименты, пропорциональны комбинации γμ (1 − γ5). Из определения левокиральных и правокиральных компонент в (17) немедленно следует, что токи на рис. 2 имеют структуру

отвечающие переходу фермиона с ароматом 1 в фермион с ароматом 2 для заряженных и 1 для нейтральных токов. Таким образом, в слабых взаимодействиях участвуют только левокиральные частицы, т.е. четность действительно нарушена максимально.

Выделенная роль левых фермионов в слабых взаимодействиях мгновенно обостряет вопрос о происхождении массы. Действительно, массовый член в лагранжиане для фермионов смешивает левые и правые ком-

ма смешивания левых и правых компонент, чем явный массовый член. Ниже мы покажем, что в стандартной модели как генерация масс фермионов (или, что то же самое, организация смешивания левых и правых компонент частиц материи), так и генерация масс промежуточных бозонов связана с хиггсовским механизмом спонтанного нарушения калибровочной симметрии слабого изоспина SU (2).

Тем самым мы должны несколько уточнить информацию о частицах материи, приведенную в (1,2). Рассмотрим, например, лептоны первого поколения νe, e. Вместо полного набора киральных состояний. молчаливо предполагавшегося в (1) мы имеем, на самом деле, независимые дублет

и аналогично для других лептонов и кварков. Отметим отсутствие правого нейтрино νe R, обеспечивающее безмассовость νe и, еще раз, максимальное нарушение четности в слабых взаимодействиях.

Максимальное нарушение четности в слабых распадах имеет множество драматических экспериментальных проявлений. Рассмотрим, например, полулептонный распад распад положительно заряженного пио-

e νe. Пион, частица с нулевым спином, имеет нулевую спиральность. Такую же полную спиральность должно иметь и конечное состояние. Спиральность νe отрицательна, и для одновременного обеспечения сохранения импульса и спиральности импульс позитрона должен быть противоположен импульсу нейтрино, а его спиральность должна быть отрицательной. "Естественная"спиральность позитрона, однако, положительна (такую спиральность имеет безмассовый позитрон). Отрицательную спиральность позитрон может иметь только в меру свой малой массы, поэтому распад π+ → e+νe очень сильно подавлен.

Важно отметить, что в рассматриваемой теории с максимально нарушенной четностью имеются только левые нейтрино νL (и правые антинейтрино ν¯R), но нет левых антинейтрино или правых нейтрино, в которые νL и ν¯R переходят под действием операции зарядового сопряжения C. Это отвечает, очевидно, нарушению инвариантости относительно еще

одной дискретной симметрии, симметрии зарядового сопряжения C, которое также имеет многочисленные яркие экспериментальные проявления.

Один из самых впечатляющих примеров - разность сечений процессов рассеяния нейтрино и антинейтрино на электроне:

Причина этого различия состоит в том, что спин начального состояния в рассеянии νe¯ равен 1, что подавляет рассеяние назад, возможное для рассеяния νe, в котором полный спин начального состояния равен нулю.

Еще один часто упоминаемый пример - асимметрия угловых распределений конечных электронов и позитронов в лептонных распадах мюона и антимюона:

В самом деле, в распада мюона спин электрона направлен по спину мюона (спин системы нейтрино-антинейтрино равен нулю), а его импульс, соответственно, направлен противоположно спину мюона. Аналогичное рассуждение для распада антимюона показывает, что импульс позитрона направлен по спину антимюона.

3.2 Теория с массивными промежуточными бозонами: предыстория

В этом параграфе мы обсудим некоторые соображения, которые приводят к необходимости построения теории слабых взаимодействий, в которой переносчиками этих взаимодействий являются массивные векторные бозоны. Стартовой точкой для этих рассуждений послужит установленная в результате открытия несохранения четности вектор-аксиальная структура токов (18), описывающая слабые распады при низких энергиях, доступных экспериментаторам в середине XX века, а основным инструментом - анализ возможности построения непротиворечивой теории при асимптотически высоких энергиях. Мы увидим, что на этом пути оказывается возможной полная реконструкция неабелевой теории, описывающей свойства промежуточных бозонов.

3.2.1Массивные промежуточные бозоны в процессах рассеяния при высоких энергиях

Итак, представим себе, что мы обсуждаем свойства теории слабых взаимодействий в середине XX века, когда мы уже твердо знаем, что правильное универсальное описание наблюдаемых слабых распадов таких, например, как распад мюона μ− → e−ν˜eνμ или β-распад нейтрона n → peν¯ правильно описываются токами вида (18), а интенсивность лептонных и полулептонных определяется константой GF 1.166 × 10−5 GeV−2. Разумеется, для слабых взаимодействий можно рассматривать не только процессы распада, но и процессы рассеяния. Рассмотрим простейший пример упругого рассеяния нейтрино на электроне. С учетом имеющейся у нас информации, соответствующий эффективный лагранжиан имеет вид:

Соответствующая диаграмма рассеяния, отвечающая контактному взаимодействию (23), приведена на рис. 3 (слева). Используя лагранжиан

Fig. 3: Контактные взаимодействия (слева), взаимодействия с обменом массивным бозоном (справа).

(23), легко вычислить интересующее нас сечение:

Таким образом, для рассматриваемого контактного взаимодействия σ|s→∞ s, что противоречит следующему из требования унитарности общему ограничению Фруассара на рост сечений с энергией, согласно которому максимально возможному росту отвечает асимптотика σ|s→∞ log2 s.

Попробуем улучшить высокоэнергетическую асимптотику сечения, "делокализовав" контактное взаимодействие на рис. 3 (a) за счет обмена заряженным массивным векторным бозоном W , см. рис. 3 (b). Легко вычислить соответсвующее дифференциальное сечение

согласующийся с ограничением Фруассара. Очевидно, что в пределе mW → ∞ для дифференциального сечения (25) сечение (26) переходит в "контактное" сечение (24).

Главный вывод, который можно сделать из рассмотренного примера - это вывод о том, что описание в терминах локальных контактных взаимодействий применимо только при низких энергиях. Более того, можно дать количественную оценку масштаба энергий (т.е. в рассматриваемом контексте по существу порядок величины mW ), на котором вступает в игру новая физика, используя ограничение для парциальных амплитуд, следующее из унитарности. Как уже упоминалось, процесс рассеяния νe идет в канале с фиксированным спином J = 0. Соответ-

энергий порядка s называется, по очевидным причинам, (борновским) унитарным пределом.

3.2.2Симметрия теории промежуточных бозонов. Алгебра.

В предыдущем параграфе мы убедились в необходимости описания слабых распадов с участием заряженных токов в терминах теории с массивными заряженными промежуточными бозонами W ±. Тем самым, в нашем мире элементарных частиц появилось, вместе с фотоном, уже три векторных бозона W −, W +, γ, взаимодействующих с токами J+, J−, Jem соответственно.