Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_zubova_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

303.94 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Набрал Бабичев Дмитрий©

Огромная просьба, о замеченных опечатках сообщать. По возможности формулировать в стиле - какая-то страница, какая-

то строчка, вместо того-то нужно писать что-то. Более того некоторые места написаны не совсем понятно, так что если

у вас есть что добавить, то пишите тоже. Вместе у нас полу-

чатся действительно качественно проверенные лекции. Также есть хорошая программа, в которой можно рисовать отлич-

ные рисунки. Она тут же в архиве должна лежать. Если будет время и желание, просьба нарисовать эскизы. Это совсем

не сложно, и лекции станут более понятными. Так как это распространится довольно широко, оставляю свою аську для

обратной связи: 494103934.

Уравнения математической физики.

Теория некоторых задач с частными производными. Типы уравнений:

1. Гиперболические уравнения (уравнения колебаний)

utt = a2uxx + f (t, x), x R1 - малые колебания струны, стержня.

utt = a2(uxx + uyy) + f (t, x, y) (x, y) R2 - двумерное уравнение колебаний мембраны.

utt = a2(uxx + uyy + uzz) + f (t, x, y, z) (x, y, z) R3

2. Параболические уравнения

ut = a2∆u + f (t, x), x = (x1, . . . , xn) Rn - уравнение теплопроводности.

3. Эллиптические уравнения (описывают стационарные процессы)

∆u = f (x) - уравнение Пуассона.

Обозначения : α1, . . . , αn - целые, неотрицательные числа:

αk > 0, k =

1, n

мультииндекс α = (α1, . . . , αn)

|α| = α1 + . . . + αn - модуль мультииндекса.

Dj =

∂

;

Dαj =

∂αj

; Dαu =

∂α1

. . .

∂αn

∂|α|

∂xαj

∂xnαn

∂xα1

. . . ∂xnαn

∂xj

∂xα1

Ck(Ω) - множество функций, k раз непрерывно дифференцируемых на множестве Ω :

Dαu C(Ω), |α| 6 k

Ω - çàìûкание области Ω

ïîä Ck(Ω) - понимаем подмножество таких, допускающих непрерывное продолжение себя и производных на границу области.

I Классификация уравнений Приведение к каноническому виду в точке.

Пусть Ω Rn - область.

n		∂2u
	aij(x)	∂2u		+ F(x, u, u) = 0, x Rn	(1)
	aij(x)	∂xi∂xj		+ F(x, u, u) = 0, x Rn	(1)
старшая				\| {z }
i∑,j
=1				младшая
\|	{z		}	младшая
\|	{z		}

Дифференциальное уравнение с частными производными 2 порядка, с линейной старшей частью, где aij(x) не зависит от u

aij C(Ω) u(x) C2(Ω)

Пусть u − решение (1), тогда

∂2u	=	∂2u
∂xi∂xj	=	∂xj∂xj

Можно сделать матрицу симметричной, то есть aij(x) = aji(x)

Надо постараться найти замену переменных, чтобы исключить смешанные производные.

Пусть x0 = (x01, . . . , x0n) Ω Пусть y = y(x):

	.y.1. = y1(x1, . . . , xn)
	yn = yn(x1, . . . , xn)

Ищем замену C2(u(x0)) Должно быть невырожденным.

		.x.1.= x1(y1, . . . , yn)				2	0


		xn = xn(y1, . . . , yn)
		xn = xn(y1, . . . , yn)

Это так называемый					в окрестности				íà
Это так называемый					в окрестности				íà
						C	(v(y ))


				2				0		0
	диффеоморфизм класса		C					U(x )		V(y )
			C					U(x )		V(y )

Построим uˆ(y) , u[x(y)] = u[x1(y1, ..., yn), ..., xn(y1, ..., yn)]

uˆ(y) C2(v(y0

u(x) = uˆ[y(x)] = uˆ[y1(x1, . . . , xn), . . . , yn(x1, . . . , xn)]

∂u

∑

∂yk

∂uˆ

∂xi

k=1

∂yk

∂xi

k∑l

∑

∂2u

∂2uˆ

∂yk ∂yl

∂uˆ

∂2 yk

∂xi∂xj

∂yk∂yl

∂xi

∂xj

∂yk

∂xi∂xj

, =1

k=1

Отсюда, подставляя в (1), имеем:

∑ ∑

n n

∂yk ∂yl

∂2uˆ

k,l=1 [i,j=1 aij(x(y))

∂xi

∂xj

]

∂yk∂yl

+ Fˆ(y, uˆ, uˆ) = 0

}

))

( )

aˆkl(y)

Попытаемся привести к диагональному виду.

	a11(x0) . . . a1n(x0)
A(x0) =	.	..			.
	.		.		.
	.				.
	an1(x0) . . . ann(x0)
		∂y1		(x0) . . .

		∂x1
	J(x0) =		.		..
			.			.
			.

∂yn (x0) . . .

∂x1

				aˆ11(y0) . . . aˆ1n(y0)
	ˆ			.	..		.
	ˆ			.	..	.	.
	A(y0) =			.		.	.
				aˆn1(y0) . . .			aˆnn(y0)
∂y1	(x0)
	(x0)
∂xn
.		−	Матрица Якоби
.			Матрица Якоби
.

∂yn (x0)

∂xn

Åñëè det J(x0) , 0, то преобразование не вырождено. В малой окрестности

dy1

dx1

)dx;

dy =

;

dy = J(x

dx = .

dyn

dxn

ˆ 0

)

A(y

) = J(x

)A(x

)

тоже симметричная.

A(x

) = A

(x0) A(y

[JT(x0)]T A(x0) [JT(x0)] = STA(x0)S

| {z }

Некоторые сведения из аналитической геометрии: Пусть есть квадратичная форма Φ(h), и два базиса в Rn.

	ξ1		c11 . . .			c1n
	.		.			.
ξ	.		. ..	.	.		η =
ξ	= .		C = .	.		.	η =
\|	ξn		cn1 . . .			cnn	\|
\|		â	{z			}	\|
			первом базисе

η1		cˆ11 . . .		cˆ1n
.	ˆ	.		.
.	ˆ	. ..	.	.	ξ = Sη
.	C =	.	.	.	ξ = Sη

ηn	cˆn1 . . .	cˆnn
âî	{z	}
	втором базисе

T	T ˆ	T			T	T	T ˆ	T	ˆ
Φ(h) = ξ	Cξ = η Cη = (Sη)		C(Sη) = η			S	CSη = η Cη S		CS = C
Существует такой базис, что				ˆ	будет диагональной, и болле того:
				C

+1
\|{z}	+1
1	\|{z}
ˆ	\|{z}	1		2	2 2	2
	p	−
C =		−	1	Φ(h) = η1
C =		\|{z}	1	Φ(h) = η1	+ . . . + ηp − ηp+1	− . . . − ηp+q
		p+1	−
			\|{z}	0
			p+q

Алгоритм:

∑n

1)Φ(h) = ξTA(x0)ξ = aij(x0)ξiξj

i,j=1

2)Находим S.

3)JT(x0) = S, находим J(x0)

4)y = y0 + ST(x − x0) - линейное преобразование

∂2uˆ	+ . . . +	∂2uˆ	−	∂2uˆ
∂y12	+ . . . +	∂yp2	−	∂yp2+1

−	∂2uˆ	ˆ	, uˆ) = 0
	∂yp2+q	+ F(y, uˆ

- канонический вид уравнения в точке. В окрестности в общем случае привести к каноническому виду

n(n−1)

не удастся. Например, так как функций n, а переменных 2 (Это не доказательство, а всего лишь идея к нему.)

Классификация

1)p = n, ëèáî q = n - эллиптический тип, квадратичная форма положительно знакоопределена.

2)p > 1 è q > 1 è p + q = n - гиперболический тип.

3)иначе - параболический.( 1 < p + q < n)

Более того выделяют отдельно ультрапараболический тип( q = n − 1 è p = 0, ëèáî p = n − 1 è q = 0) и ультрагиперболический тип (q = n − 1 è p = 1, ëèáî p = n − 1 è q = 1)

ˆ 0	0	0	0	)
A(y	) = J(x	)A(x	)J(x	)
det Aˆ(y0) = det J(x0) det A(x0) det JT(x0) = det A(x0)[det I(x0)]2					sign det Aˆ(y0) = sign det A(x0)

Далее рассмотрим 2-х мерный случай. 1) Эллиптический случай

	ˆ	0	) = ±	1		0	ˆ 0	) = 1 > 0	0	)	> 0
	A(y		) = ±	0		1	det A(y	) = 1 > 0	det A(x	)	> 0
2)	Гиперболический случай
	ˆ 0	)	= ±	1	0		ˆ 0	) = −1 <		0	) < 0
	A(y	)	= ±	0	−	1	det A(y	) = −1 <	0 det A(x		) < 0
					−
3)	Параболический случай

ˆ 0	) = ±	1	0	ˆ 0	0	) = 0
A(y	) = ±	0	0	det A(y	) = 0 det A(x	) = 0

Задача Коши и характерестическая поверхность Вспомним сведения из курса дифференциальных уравнений:

	u(x0) = u0		− обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
		u′′(x) + F(x, u, u′) = 0



Ýòà	задача корректна , так как выполняется 3 условия:
Ýòà

	u′(x0) = u1

1)решение существует для любого набора допустимых задач.

2)решение единственно

3)решение непрерывно зависит от входных данных

Перейд¼м к рассмотрению задачи Коши, для уравнений второго порядка с частными производными.

à) Äëÿ Ω Rn :	n	∂2u
	aij(x)	∂2u	+ F(x, u, u)	( )
	aij(x)	∂xi∂xj	+ F(x, u, u)	( )
	i∑,j
	=1
б) В Ω задана поверхность S: ω(x) = ω(x1, . . . , xn) = 0;				ω(x) C2(Ω);		ω(x) , 0 x S
				→−	→−	→−	,	0
в) Пусть на S задано гладкое некасательное векторное поле ν					(x) : ( ν	(x), n (x))		0

Задача Коши : В некоторой окрестости U(x0) Ω , x0 S найти решение (*), удовлетворяющее на

поверхности S следующим условиям:

u(x)

S u(x0) = u0(x);

∂u

(x)

u(x0)= u1(x), x S, ãäå

∩

→−

∩

∑

∂ v

∂u

(x) =

νk(x)

(x)

∂→−

∂x

k=1

Тут может не быть непрерывной зависимости от начальных данных.

∂2u

−

∂2u

= 0

u(x, y) − решение уравнения

y = x

∂x2

∂y2

Решениями будут u(x, y) = C, u(x, y) = αx + βy, u(x, y) = x2 + y2

Пусть τ = (

;

); вектор нормали

= (

−

;

)

√2

∂u

= ( n ,

u) =

1 ∂u

∂ n

→−

−

√

∂x

√

∂y

→−

(

))

(

)

(

)

∂ ∂u

τ ,

∂u

∂

∂u

∂

∂u

∂τ

∂ n

→− −

√

∂x

√

∂y

√

∂x

−

√

∂x

√

∂y

√

∂y

−

√

∂x

√

∂y

2 (−

∂x2

∂x∂y −

∂y∂x +

∂y2 )=

(− ∂x2 +

∂y2 )= 0

∂2u

То есть функцию u1 задавать можно не произвольно.

Пусть теперь:

uˆ(x, y) = sin(

x + y

) + e

−

x−y

+ 1 +

;

Тогда

1)uˆ(x, y = x) = sin x è

uˆ(x, y = x) = sin x

∂uˆ

(x, y = x) = − √

∂uˆ

(x, y = x) = − √

∂ n

→−

3) Обе эти функции удовлетворяют uxx − uyy = 0

uˆ = sin(	x + y	) + (	x − y	)	2
	2		2		+(x − y)

То есть решение не единственно!!

Это были два примера существенных отличий от обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть теперь S - поверхность, а точнее гиперплоскость x

= 0;

→− x

→−

= (0, 0, . . . , 1)

(

) = n (x)

x′ = (x1, . . . xn−1) Σ, Ãäå Σ = S ∩ Ω.

Пусть ann(x) ≡ xn, x Σ

u(x , . . . , x , 0) = u (x′)

∂u

(x , . . . , x , 0) = u (x′)

∂→−

n−1

∂xn 1

n−1

∂u

∂u0

в силу непрерывности

∂x1

(x1, . . . , xn−1, 0) = ∂x1 (x′)

−

∂

Òî

, мы знаем градиент на поверхности .

, 0) =

(x′)

(x1

, . . . , xn 1

xn-1

∂xn

−

∂xn 1

−

u (x)

−

åñòü çíàÿ

∂2u

∂2u0

(x′),

(x1, . . . , xn−1, 0) =

i, j = 1, n − 1

∂xi∂xj

∂2u

∂u1

(x′),

(x1, . . . , xn−1, 0) =

j = 1, n − 1

∑

∂xn∂xj

∂xj

∂2u

∑

∂2u

n−1

aij(x)

anj(x)

+ ajn(x)

+ann(x)

+ F(x, u,

u) = 0

i,j=1

∂xi∂xj

i=1 [

∂xn∂xj

∂xj∂xn ]

∂xn

Это уравнение в точках поверхности, член ann(x)

∂2u

отсутствует, поэтому в этом случае u0(x) è u1(x)

должны быть функционально связаны.

∂xn

Теперь рассмотрим более общий случай, и будем искать преобразование

...y1 = y1(x1, . . . , xn)

в окрестности точки, спрямляющее в гиперплоскость.

−

yn = ω(x1, . . . , xn)

yn 1 = yn 1(x1, . . . , xn)

1)Пусть

= ( e

, . . . , e

k = 1, n

1 -

базис

→−

→−n

−

→−ˆk )

2) ортогонализируем: (новый базис e

.y1 = y1(x1, . . . , xn) = (→−e , x − x ) = eˆj (xj − xj )

ˆ1

∑

y = ω(x , . . . , x )

−

y = y (x , . . . , x ) = (e−−→− , x x )

Åñëè x S, òî yn = 0
			∂y1	(x0) . . .
			∂x1	(x0) . . .
		.					.	..
0		..						..
0	) =
det J(x	) =	∂yn		1		0
		∂yn		1		0
			−
					(x ) . . .
			∂x1		(x ) . . .
			∂x1

		∂yn			0
					0	) . . .
			∂x1	(x		) . . .
			∂x1

∂y1 (x0)

∂xn

...

∂yn−1 (x0)

∂xn

∂yn (x0)

∂xn

	eˆ11			. . .		eˆn1
	.			.	..	.
	..				..	..

=	n	1		. . .		n		1
	eˆ1	−		. . .		eˆn−

	∂ω		0			∂ω			0
			0						0
		(x		) . . .			(x			)
	∂x1	(x		) . . .			(x			)
	∂x1					∂xn

− число

det |J(x

= |ω(x

, 0

по теореме о неявной

0, имеем

функции это диффеоморфизм класса

Воспользуемся этим преобразованием в окрестности

∂2uˆ

отсюда надо отследить только

aˆkl(y) ∂yk∂yl

= 0

aˆnn(y)

+ F(y, uˆ, uˆ)

k∑,l

∂yn ∂yn

∂ω ∂ω

aˆnn(y) = aij[x(y)]

aij[x(y)]

∂xi

i∑,j

∂ω ∂ω

i∑,j

aij(x)

= 0 −

характеристическая поверхность

( )

∂xi

Определение: Поверхность S, задаваемая уравнением ω(x) = ω(x1, . . . , ωn) = 0; ω(x) C2(Ω);

grad

ω(x) , 0, x S называется характеристической, если в каждой е¼ точке выполнено (**).

Примеры характеристических поверхностей для различных уравнений.

1)Волновое уравнение в R3 :

utt − a2∆xu = f (t, x), x R3

( ∂t )

−(a2(∂x1 )

+a2(∂x2 )

+a2(∂x3 ) ) = 0 − уравнение характеристики

∂ω

∂ω 2

Е¼ решениями будут:

ω(t, x) = a2t2 − (x21 + x22 + x23) = 0

ω(t, x) = a2t2 − (x21 + x22) = 0 ω(t, x) = at±x1 = const

2)Уравнение теплопроводности ut − a2∆xu = f (t, x), x Rn

S : ω(t, x1, . . . , xn) = 0 t,xω , 0; ω(t, x) C2(Rn+1)

−a2(ω2x1 +. . .+ω2xn ) = 0 если характеристическая поверхность существует, то ωx1 , . . . , ωxn = 0; ωt , 0, например ω(t, x) = t − C

3) Уравнение Пуассона ∆u(x) = f (x), x Rn

a2(ω2x1 + . . . + ω2xn ) = 0 ωx1 , . . . , ωxn = 0 ω(x) = 0, значит не существует действительных характеристик.

Определение: Точка x0 поверхности S : ω(x) = ω(x1, . . . , xn) = 0 ω(x) C2(Ω); gradω(x) , 0, x S

называется характеристической, если в этой точке выполнено:

n	∂ω		∂ω
aij(x0)		(x0)		(x0) = 0

i∑,j	∂xi		∂xi
=1

Определение: Функция u(x) = u(x1, . . . , xn) называется вещественно-аналитической(В-А) в точке x0,

если в некоторой окрестности U(x0) u(x) представима в виде

u(x) =	uα(x − x0)α, α = (α1, . . . , αn) − мультииндекс, где(x − x0)α = (x1 − x10)α1 · . . . · (xn − xn0 )αn
	α: α >0
	∑\| \|

Теорема Коши-Ковалевской : Пусть в уравнении

∑

∂2u

∂u

aij(x)

+ F(x, u(x), xu) = 0, x Rn

= u0(x);

= u1(x)

- ВА в окрестности точки 0

i,j=1

i j

→−

∂ n

aij(x)

∂xn )

2)F(x, u, u) - ВА функция (x1

, . . . , xn, u, ∂x1

, . . . ,

в окрестности x0

∂u

3)ω(x) - ВА в окрестности x0

(S : ω(x) = 0)

4)u0(x), u1(x) - ВА функции в окрестности x0

5)x0 S не является характеристической точкой. Тогда:

а) окрестность точки x0 U1(x0), в которой ВА решение задачи Коши. б) это решение единственно в классе ВА функций.

Доказывать эту теорему мы тут не будем.

Двумерный случай.

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F(x, u, u) = 0

	A(x,	y) =	a(x, y)	b(x, y)	; d , det A(x, y) = a(x, y)c(x, y) − b2(x, y)
	A(x,	y) =	b(x, y)	c(x, y)	; d , det A(x, y) = a(x, y)c(x, y) − b2(x, y)
{ ξ = ξ(x, y)
	η = η(x, y)
aˆ(ξ, η)uˆ	ˆ			ˆ	, ξ,ηuˆ) = 0
aˆ(ξ, η)uˆ	ξξ + 2b(ξ, η)uˆ	ξη + cˆ(ξ, η)uˆηη + F(ξ, η, uˆ			, ξ,ηuˆ) = 0

ˆ	aˆ(ξ, η)
A(ξ, η) =	ˆ
	b(ξ, η)

ˆ			T			ξx	ξy
bξ, η)	= J · A[x(ξ, η), y(ξ, η)] ·	J		;	J =
cˆ(ξ, η)						ηx	ηy

aˆ(ξ, η) = a[x(ξ, η), y(ξ, η)]ξ2x + 2b[. . .]ξxξy + c[. . .]ξ2y cˆ(ξ, η) = a[. . .]η2x + 2b[. . .]ηxηy + c[. . .]η2y

ˆ ξ, η . . . ξ η . . . η ξ η ξ . . . ξ η b( ) = a[ ] x x + b[ ]( x y + y x) + c[ ] y y

a(x, y); b(x, y); c(x, y) C2(Ω)

			I случай. Гиперболический случай (d < 0) в окрестности (x0, y0)
ˆ		, uˆ)		- вторая каноническая форма
uˆξη + F(ξ, η, uˆ		, uˆ)
aˆ(ξ, η) ≡ 0
cˆ(ξ, η) ≡2	0			2
a(x, y)ωx	+ 2b(x, y)ωxωy + c(x, y)ωy = 0 - характеристическое уравнение.

ω(x, y) C2(u(x0, y0)) ω(x, y) , 0

ξx(x, y)

ξy(x, y)

тоже характеристика.

åñëè ω(x, y) = 0 - характеристика, то ω˜ (x, y) = ω(x, y)

C = 0 -

det J(x, y) =

ηx(x, y)

ηy(x, y)

, 0

−

Ia a(x0, y0) , 0 ( ëèáî c(x0, y0) , 0), тогда U(x0, y0), в которой a( ëèáî c) , 0

ω2

= ω2+2ω

ω2

ca − b2

ω2

= ω

− ac

ω2

= [ω

+λ (x, y)ω

][ω

+λ

(x, y)ω

]

−

a x

a y

x a y

( x

ãäå λ±(x, y) =	b±√
		b2 − ac	- функции действительного переменного. Более того:
		a

1)λ+(x, y) , λ−(x, y), x, y U(x0, y0)

2)λ±(x, y) C2(U(x0, y0)) (òàê êàê a, b, c C2)

{

ωx + λ+(x, y)ωy = 0

ωx + λ−(x, y)ωy = 0 решения характеристического уравнения.

Вспомним некоторые факты из курса дифференциальных уравнений.

a1(x, y)ωx + a2(x, y)ωy = 0

1)ω(x, y) C2; ω , 0, ω

a2dx − a1dy = 0

a1(x, y)

a2(x, y)

То есть в нашем случае

dy = λ±dx

λ±

Утверждение окрестность U(x0, y0) такая, что отображение

{ ξ = ξ(x, y) = ω−	диффеоморфизм класса C2
η = η(x, y) = ω+

Надо посмотреть на Якобиан этого отображения. Имеем:

{ ηx + λ+ηy = 0

в силу выбора ξ è

ξx + λ+ξy = 0

ηx(x0

, y0)

ηy(x0, y0)

−λ−ξy

ηy

−

det J(x0, y0) =

ξx(x0

, y0)

ξy(x0, y0)

−λ+ξy

ξy

= [λ

(x0, y0) λ+(x0, y0)]ξy(x0, y0)ηy(x0, y0) , 0

Åñëè

, y

) = 0

ω = 0

- противоречие

ηy(x

) = 0

ξx(x

, y

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F(x, y, u, ux, uy) = 0

a(x, y)· dy· dy − 2b(x, y)· dy· dx + c(x, y)· dx· dx = 0 − уравнение характеристик

dy = λ±dx

dy − λ+dx = 0; dy − λ−dx = 0 (dy − λ+dx = 0)(dy − λ−dx = 0) = dy2 − (λ+ + λ−)· dx· dy + λ+λ−dx2 = 0

	=	2b
	=
λ+ + λ− c		a	получаем, что это действительно уравнение характеристик
λ+λ =
−	a
	a

Уравниния для aˆ è cˆ совпадают с уравнениями характеристик, поэтому при указанном отображении aˆ = cˆ ≡ 0. То есть данное отображение действительно приводит к желаемой форме.

Заменой α = ξ + η и β = ξ − η можно привести к I канонической форме.

Iá a(x, y) = c(x, y) ≡ 0 в некоторой окрестности (x0, y0), тогда желаемое уже достигнуто.

Iâ a(x0, y0) = c(x0, y0) = 0, но в окрестности (x0, y0) (x , y ), такая что a2(x , y ) + c2(x , y ) , 0

{ η = x − y	- поворот, тогда aˆ(x0, y0) = 2b(x0, y0) , 0 свели к случаю Ia
ξ = x + y
	II Параболический случай

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F(x, y, u, ux, uy) = 0

d = ac − b2 = a(x, y)c(x, y) − b2(x, y) ≡ 0 в некоторой окрестности (x0, y0)

a(x0, y0) , 0, ëèáî c(x0, y0) , 0

|{z }

не умаляя общности

a(x, y)ω2x + 2b(x, y)ωxωy + c(x, y)ω2y = 0 - уравнение для характеристик.

(ωx + λ+ωy)(ωx + λ−ωy) = 0, ãäå

λ± =	b±√
	b±√	b2 − ac	, и мы имеем только
		a	, и мы имеем только
		a		b
ωx + λωy = 0; λ			=	b	( )
ωx + λωy = 0; λ			=	a	( )
η(x, y) = ω(x, y) C2(U(x0, y0))					η , 0 (x, y) U(x0, y0)	0 y0
						x,

{

ξ = ξ(x, y) − произвольным образом, чтобы был диффеоморфизм в C2

η= η(x, y) − решение ( )

Àможно ли так выбрать? Можно, но здесь мы опустим доказательство этого факта.

1)cˆ(ξ, η) ≡ 0 при этом преобразовании.( так брали
	ˆ			, докажем это:
2)b(ξ, η) ≡			0	ˆ
ˆ	= J· A· J	T		ˆ			2	2	)(det J)	2
A	= J· A· J		det A = det A(det J)					= (ac − b	)(det J)
				ˆ	= 0	,
aˆ(ξ, η)uˆξ,η + F(ξ, η, uˆ, ξ,ηuˆ)					= 0

η)

	ˆ	ˆ2	ˆ
	det A ≡ 0	= aˆcˆ − b	b(ξ, η) ≡ 0

ïðè÷¼ì aˆ(ξ, η) . 0, так как иначе уравнение будет 1-ого порядка, а понижение порядка при диффеоморфизме невозможно. Упрощая, имеем:

ˆ ξ, η, ,

uˆξξ + F( uˆ ξ,ηuˆ) = 0

III Эллиптический случай a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F(x, y, u, ux, uy) = 0

d = ac − b2 = a(x, y)c(x, y) − b2(x, y) > 0 в некоторой окрестности (x0, y0)

Тогда a(x, y) , 0 è c(x, y) , 0 в окрестности (x0, y0) .

Действительно, если a(x , y ) = 0, òî d = a(x, y)c(x, y) − b2(x, y) > 0, íî d = −b2(x , y ) 6 0.

√

λ± = b ± b2 − ac = µ(x, y) ± i ν(x, y) a

ωx + λ±(x, y) = 0, решениями будут:

{ ξ(x, y) , 0,

η(x, y) , 0

−

из теоремы Коши-Ковалевской

ω(x, y) = ξ(x, y) + i η(x, y)

ξx + µξy − νηy = 0

−

несложно проверить

{ ηx + νξy + µηy = 0

сделаем замену переменных

{

ξ = ξ(x, y)

det J(x, y) =

ξx

ξy

(−µξy + νηy)

ξy

= ν[ξ2

+ η2 ] , 0, òàê êàê

η = η(x, y)

ηx

ηy

(−νξy + µηy)

ηy

1)ν , 0

2)Åñëè ξy = ηy = 0 ξx = ηx = 0 ξ = 0

(aξ2x + 2bξxξy + cξ2y) − (aη2x + 2bηxηy + cη2y) = 0 aˆ = cˆ

( ξxηx + (ξxηy + ξyηx) + ξxηy) = 0 ˆ = 0 a b c b

Эти равенства мы получили, подставив ω в уравнение характеристик.


òî åñòü			aˆ(ξ, η)uˆξξ + aˆ(ξ, η)uˆ		ˆ	, ξ,ηuˆ) = 0	, и окончательно имеем:
			aˆ(ξ, η)uˆξξ + aˆ(ξ, η)uˆ		ηη + F(ξ, η, uˆ	, ξ,ηuˆ) = 0
uˆ	ξξ + uˆ		ˆ	, ξ,ηuˆ) = 0
uˆ	ξξ + uˆ	ηη + F(ξ, η, uˆ		, ξ,ηuˆ) = 0

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.20155.2 Mб29lecture_7.pdf
#
03.06.20151.41 Mб36Lecture_8.pdf
#
27.03.2016170.33 Кб9Lecture_HJ_7.pdf
#
03.06.201523.24 Кб13Lektsia_5_Eumetazoa.docx
#
03.06.20151.11 Mб9Lektsii_Vesna.pdf
#
03.06.2015303.94 Кб5Lektsii_zubova_1.pdf
#
03.06.2015319.88 Кб4Lektsii_zubova_2.pdf
#
03.06.2015450.28 Кб5Leonidov.pdf
#
03.06.2015550.54 Кб3LM1117.pdf
#
03.06.201520.96 Mб96M.A.Leontovich-термодинамика и стат физика.pdf
#
03.06.2015688.23 Кб76M1_10_14.pdf