Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

33_all

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

477.98 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Особые точки однозначного характера

2003/2004

z sin

z cos

− z

Найти все особые точки функции

f (z)=

esin

z z 2 , определить их тип. Ответ обосновать.

(cos z −1)2

Шабунин, Сидоров стр. 64 – 70 (примеры 9 - 13 стр. 68 – 72), Половинкин стр. 85 – 95 (примеры 1 - 4 стр. 91 – 93)

c f (z)=

ϕ(z)

где функция ψ(z)

регулярна при всех

z . Поэтому особые точки функции f (z) определяютя особыми

ψ(z)

точками функции ϕ(z) и нулями знаменателя ψ(z).

Кандидаты в особые точки:

z = 0 - нуль знаменателя аргумента экспоненты,

z =1 - нуль знаменателя аргумента косинуса в числителе,

z = 2πk, k =±1, ± 2,K - нули знаменателя,

z = ∞ .

2Покажем, что точка z = 0 является устранимой особой точкой1 для функции f (z):

f (z)=

z(z + o(z 2 ))3 cos(1 + z + o(z))

e(z+o(z2 ))2

(z 4 + o(z5 )) cos(1 + o(1))

e1+o(1) → 4e cos1.

z 2

+ o(z

z 4

+ o(z5 )

z→0

1 −

)−1

Следовательно,

для

f (z).

z = 0 - УОТ

3Покажем, что точка

z =1 является

существенно особой2 для функции ϕ(z):

)

пусть z

=1 +

, тогда lim z

, а lim cos

= cos

+ 2πl =0, т.е.

lim f

= 0 ;

− z

+ 2πl

→∞

l→∞

−

+ 2πl

= cos(1 + 2πm)=1,

пусть теперь

=1 +

тогда

lim zm =1 ,

cos

т.е.

2πm

lim cos

1 − zm

m→∞

−

2πm

cos(1 + 2πm)

1 sin

1 2

lim f (z

sin

≠ 0.

(cos1 −1)

m→∞

Следовательно,

для f (z).

z =1 - СОТ

f (z).

e Рассмотрим точки

z = 2πk, k =±1, ± 2,K ,

в которых

нули знаменателя совпадают с нулями числителя функции

2πkt

cos

+ o(1) + o(t

)

t +o(t

)

f (t)=

1 − 2πk

Произведем

замену:

t = z −2πk .

Тогда

2πk +o(1) =

t 2

+ o(t

−

)

					o
1	Определение. Изолированная особая точка a			функции	f : B ρ (a)→ C называется устранимой особой точкой, если
		C
существует конечный предел lim f (z) C .
	z→a
					o
2	Определение. Изолированная особая точка a			функции	f : B ρ (a)→ C называется существенно особой точкой, если
			C

не существует конечного или бесконечного предела lim f (z).

z→a

Особые точки однозначного характера

2πkt

cos

+ o(1) + o(t

)

2πk cos

+ o(1)

+ o(t)

1 − 2πk

e(o(1))2 =

eo(1) →∞ -

полюсы3

1-го

порядка

t 4

+ o(1)

t→0

(простые полюсы – ПП).

для функции f (z).

Точки

z = 2πk, k = ±1, ± 2,... - полюсы 1-го порядка

(НОТ)4,

т.к. в

любой

ее окрестности есть

полюсы

1-го

порядка

z = ∞

неизолированная

особая

точка

z = 2πk, k =±1, ± 2,K (точка накопления полюсов).

3 Определение. Изолированная особая точка a C функции f : B ρ (a)→ C называется полюсом, если существует предел

lim f (z)= ∞.

z→a

4 Определение. Пусть функция f определена и регулярна в проколотой окрестности точки a C , т.е. на множестве B ρ (a),

ρ > 0 . Тогда точку a называют изолированной особой точкой (однозначного характера) функции f .

Разложение в ряд Лорана						1
2003/2004		33

2			f z	z 2	4
	Разложить в ряд Лорана по степеням z 1	3i функцию				в кольце, которому принадлежит точка
	Разложить в ряд Лорана по степеням z 1	3i функцию		z z 2i 2		в кольце, которому принадлежит точка
				z z 2i 2

z1. Указать границы кольца сходимости.

 Шабунин, Сидоров стр. 70 – 75 (примеры 1, 2 стр. 73 – 75), Половинкин стр. 78 – 85 (пример 1 стр. 83 – 84)  Дробь правильная.

Находим корни уравнения z 0 . Получаем простой корень: z1 0 .

Находим корни уравнения z 2i 2 0 :

z2,3

2i . Получаем кратные корни: z2 2i и z3 2i .

Точки z1 0 и z2,3 2i являются особыми точками функции

f z (в них

f z не регулярна).

Разлагаем

f z на элементарные дроби:

A z 2 4zi 4 B z 2 2zi Cz

z 2 4

A B

A z 2i 2 Bz z 2i Cz

z z 2i 2

z 2i

z 2i 2

z z 2i 2

z 0 : 4A 4

A 1



z1 : 4iA 2iB C 0



2iB C 4i



z 2 : A B 1



B 0

 C 4i

f z

2i 2

Для удобства дальнейших выкладок произведем замену z 1 3i w или z w 1 3i :

f w

w 1 3i

w 1 i 2

f w :

12 12

Кольца аналитичности

1 i

2 ,

2 w 1 3i 12 32 10 ,

w10 .

При z 1 получаем w 3i , w 02 32 9 .

Т.о., раскладывать дроби в ряд Лорана по степеням w будем в кольце

Тейлора.

При этом

1 i

1 3i

w n

1 n wn



w 1

1 3i n 1

1 3i

n 0

1 3i

1 i



2 1

w 1 i

1 i

n 1

4in 1 i .

n 1

wn 1

, используя разложения в ряд

	4i			n		1 i n 1
=	w	2	1		n		=

			n 1			w

Ответ:

кольце,

которму

принадлежит

точка

z 1

z 1 3i

f z

1 z 1 3i

4in 1 i

n 1

n 0

1 3i n 1

n 1

z 1 3i n 1

Разложение в ряд Лорана

2003/2004

Разложить в ряд Лорана по степеням (z −1 −3i) функцию

f (z)=

z 2

− 4

в кольце, которому принадлежит точка

z(z − 2i)2

z =1 . Указать границы кольца сходимости.

Шабунин, Сидоров стр. 70 – 75 (примеры 1, 2 стр. 73 – 75), Половинкин стр. 78 – 85 (пример 1 стр. 83 –

84)

c Дробь правильная.

Находим корни уравнения z = 0 . Получаем простой корень: z1 = 0 .

Находим корни уравнения (z − 2i)2

= 0 :

z2,3

= 2i . Получаем кратные корни:

z2 = 2i и z3

= 2i .

dТочки z1 = 0 и z2,3

= 2i

являются особыми точками функции

f (z) (в них

f (z) не регулярна).

eРазлагаем f (z) на элементарные дроби:

A(z − 2i)2 + Bz(z − 2i)+ Cz

A(z 2 − 4zi − 4)+ B(z 2 − 2zi)+Cz

z 2 − 4

z(z − 2i)2

z − 2i

(z − 2i)2

z(z − 2i)2

z 0 : − 4A = −4

→ A =1 Ì

z1 : −4iA −2iB +C = 0

↓

Æ −2iB +C = 4i Ì

z 2 : A + B =1

Æ B = 0

Æ C = 4i

f (z)=

− 2i)2

Для удобства дальнейших

выкладок произведем замену z −1 −3i = w или z = w +1 +3i :

f (w)=

w +1 + 3i

(w +1 +i)2

Кольца аналитичности

f (w):

w < 1 +i =

12 +12 =

2 ,

2 < w < 1 +3i = 12 +32 = 10 ,

w >

10 .

gПри z =1 получаем

w = −3i ,

w =

+32 =

9 .

w будем в кольце

2 < w <

10 , используя разложения в ряд

Т.о., раскладывать дроби в ряд Лорана по степеням

Тейлора.

При этом

1 +i

1 +3i

w n

(−1)n wn

∞

∑(−1)

= ∑

w +1 +

1 +

(1 +3i)

n+1

1 +

1 +3i n=0

1 +3i

n=0

1 +3i

′

1 + i n

′

+ i n−1

− 4i

∞

− 4i ∞

∑(−1)

+1 + i)

1 +i

1 +

n=0

1+i

n=1

1 +

1+i

∞ (−1)n+1 4in(1 +i)n−1

= ∑

n+1

n=1

Ответ:

кольце,

которму

принадлежит

точка

z =1

(

2 < z −1 −3i <

10 )

f (z)

∞

(−1)n (z −1 −3i)n

∞

(−1)n+1 4in(1 + i)n−1

= ∑

+ ∑

(1 +

3i)

n+1

(z −1 −3i)

n+1

n=0

n=1

Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов

2003/2004

∞ x cos(1 − 2x)

Применяя теорию вычетов вычислить интеграл

∫

dx .

+ 4

−∞

Шабунин, Сидоров стр. 140 – 145 (примеры 6 стр. 144), Половинкин стр. 103 – 108 (пример 3 стр. 107 – 108)

∞ x cos(1 − 2x)

∞ x cos(2x −1)

cЗамечая, что I =

∫

dx =

∫

dx ,

+ 4

−∞

∞

xei(2 x−1)

для решения задачи достаточно вычислить несобственный интеграл ∫

+ 4

и воспользоваться формулой

−∞

∞

x cos(1 − 2x)

∞

xei(2 x−1)

I =

∫

dx =

Re ∫

dx .

(1)

+ 4

−∞

−∞ x

dДля того чтобы применить теорему Коши1 о вычетах2, вводим функцию комплексной переменной

f (z)=

zei 2 z

(z 2 + 4)ei

и строим контур, состоящий из отрезка

вещественной

оси

[− R, R]

полуокружности CR

= {z :

= R, Im z ≥ 0},

выбрав R так, чтобы все особые точки zk

(k =1,2,K, n) функции

f (z), лежащие в верхней полуплоскости, оказались

внутри контура. Тогда по теореме Коши о вычетах

∫

f (z)dz =

xei 2 x

dx +

∫

f (z)dz =

2πi

res f (z).

(2)

∫

+ 4)e

∑z=zk

−R

k =1

e Переходим к пределу при

R → ∞. Так как в нашем случае

Φ(z)=

есть правильная рациональная дробь и

(z 2

+ 4)ei

α = 2 > 0 , то условия леммы Жордана3 выполнены и, следовательно,

Rlim→∞

∫ f (z)dz = 0 .

Поскольку правая часть в (2) не зависит от R , имеем

∞

xei 2 x

res f (z),

= 2πi

(3)

∫

+ 4)e

∑z=zk

−∞(x

k =1

где zk

- особые точки функции

f (z)=

zei 2 z

, лежащие в верхней полуплоскости.

(z 2 + 4)ei

1 Теорема (Коши о вычетах). Пусть дана область G C с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей Γ.

Пусть функция

f определена и регулярна на G всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек

a1 , a2 , K, an G (при этом имеется в виду, что, если ∞ G , то ∞ = an ) и пусть к тому же функция f непрерывно

продолжима на границу области G . Тогда справедлива формула ∫Γ

f (z)dz = 2πi∑res f .

k =1 ak

(a)→ C , ρ

> 0 . Пусть γr ={z :

= r}-

2 Определение. Пусть изолированная особая точка a

функции f : B ρ

z −a

положительно ориентированная окружность, причем 0 < r < ρ . Тогда вычетом функции

f в точке a называется число

res f =

∫γ

f (z)dz .

2πi

= R0 > 0}. Пусть число

3 Лемма (Жордан). Пусть Φ(z) - непрерывная функция на замкнутом множестве {z

Im z ≥ 0,

α > 0

и CR ={z

= R, Im z ≥ 0}, R > R0 - семейство

полуокружностей в

верхней полуплоскости. Обозначим

ε(R)=max{Φ(z)

z CR }при R > R0 . Если lim ε(R)= 0 ,то lim

eiαzΦ(z)dz = 0 .

R→∞

R→∞ ∫

Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов

f Находим особые точки функции f (z)=

zei2 z

как нули (1-го порядка) ее знаменателя:

(z 2 + 4)ei

(z − 2i)(z + 2i)ei

z = −2i . Таким образом, точки z = 2i

и z = −2i - полюса4 1-го порядка (ПП – простые полюса).

g Вычисляем

вычет в

простом

полюсе

z = 2i по формуле res f (z)= lim

(z − 2i)f (z).

z=2i

z→2i

res f (z)=

zei2 z

2ie−4

e−4−i

z=2i

(z + 2i)e

z=2i

(2 2i)e

z = 2i и

Получаем

hВычисляем несобственный интеграл по формуле (3):

∞

xe2ix

dx = 2πi res f (z) = 2πi

e−4−i

= πi

e−i

πi

(cos(−1)+i sin(−1)) =

∫

+ 4)e

z=2i

−∞(x

iИспользуя формулу (1), находим искомый интеграл:

∞

x cos(1 − 2x)

∞

x cos(2x −1)

∞

xei(2 x−1)

πi

(cos1 −

= ∫

dx = ∫

dx = Re ∫

dx = Re

+ 4

−∞

−∞ x

∞ x cos(1 − 2x)

π sin1

Ответ:

∫

dx =

+ 4

−∞

eπ4i (cos1 −i sin1).

i sin1) = π sin1 e4

4 Определение. Изолированная особая точка a C функции f : B ρ (a)→ C называется полюсом, если существует предел

lim f (z)= ∞.

z→a

Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов					1
2003/2004		33
5h
5h		0	x4	1
	Применяя теорию вычетов вычислить интеграл	−∫17	(x +1)4	x −1 dx .

Шабунин, Сидоров стр. 151 – 158 (пример 11 стр. 151-152, пример 12 стр. 153-154, пример 13 стр. 154-156), Половинкинн стр. 108 – 115 (пример 3 стр. 111 – 114)

c Чтобы вычислить этот интеграл J с помощью теории вычетов, продолжая подынтегральную функцию в комплексную

		z	4
плоскость, мы вынуждены иметь дело с многозначной функцией		z			1.	Эта функция допускает выделение
плоскость, мы вынуждены иметь дело с многозначной функцией	7	(z +1)4			1.	Эта функция допускает выделение
		(z +1)4

регулярных ветвей в области G=C\[-1,0], что проверяется2.
d Выберем теперь регулярную ветвь корня, которая в пределе на верхнем берегу				I +	разреза по отрезку [-1, 0] принимает
x4
значения арифметического корня 7 (x +1)4 ≥ 0 , x [−1,0], т.е.	обозначим через					g регулярную ветвь многозначной

функции 7

z	4
z
(z +1)4		в области C\[-1,0] такую, что ее предел из верхней полуплоскости в точках x (−1,0) равен
(z +1)4

	x4
g(x +i0)= 7 (x +1)4 > 0 .							(1)
	z 4		i	(4	γ arg(z )−4 γ (z+1))
	z 4			(4	γ arg(z )−4 γ (z+1))
	g(z)= 7 (z +1)4	e 7				3 -	(2)

регулярная ветвь, соответствующая вышеприведенному условию (1).

Отметим, что предельное значение функции g из нижней полуплоскости в точках x (−1,0), т.е. на нижнем берегу I − разреза по отрезку [1, 2], принимает по формуле (2) значение

z 4

γ arg(z )−4

γ (z+1))

= g(x +i0)e

(4 0−4 2π ) 4 = g(x +i0)e

−

i8π

g(x −i0)

= 7

(3)

(z +1)4

В формуле (3) контур γ начинается в точке на верхнем берегу разреза и оканчивается в той же точке на нижнем берегу разреза.

e Пусть ε

. Рассмотрим в области G контур γε , имеющий вид «гантели», т.е. составленный из окружностей C1ε и

и Iε− разреза по отрезку [−1 +ε, −ε].

C2ε радиуса ε

и центрами в точках 1 и 2 соответственно, а также двух берегов Iε+

Ориентируем полученный контур γε положительно по отношению к ограниченной им внешней части плоскости.

Рассмотрим интеграл Jε = ∫ f

(z)dz , где

f (z)=

g(z)

γ ε

z −1

z 4

(4ϕ01 +4

γ arg(z )−4ϕ02 −4 γ (z+1)+2πk )

1 7 (z +1)4 = 7 (z +1)4 e 7

f (z)≠ 0 , z G . Чтобы в области G существовали ветви

2 Теорема 2(§16П) Пусть функция f в области G регулярна, прчем

регулярной функции {n

f (z)}, необходимо и достаточно, чтобы для любого замкнутого кусочно-гладкого контура γ° G

нашлось целое число k °

такое, что

arg f (z)= (2πn)k ° .

(2 − x)

(3ϕ01 −3ϕ02 −2πk )

(2 − x)

i2πl

−3ϕ

3ϕ01

02 − 2πk

3 g(x +i0)= 5

(x −1)3

e 5

= 5

(x −1)3

= 5

(x −1)3

, т.е.

= 2πl .

( ) i (4 (−2π )−4 0)

4 или g x +i0 e 7 .

Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов

По теореме о вычетах5, с одной стороны, и из формы контура γε

с другой, получаем равенства

∫

+ ∫

Jε

= 2πi res f (z)+ res f (z) 6 = ∫

f (z)dz .

(4)

z=1

z=∞

Iε−

C1ε

C2ε

Iε+

fТочка z =1 ПП (П1) – простой полюс7 (полюс первого порядка), поэтому вычет8 в этой точке равен

res f (z)= lim(z −1)f (z) = g(1)9 = 7

(4 (−π )−4 0)

e−

i 4π

7 .

z=1

z→1

(1 +1)

Для вычисления вычета функции f(z)в точке z = ∞ (

- УОТ10) разложим11 эту функцию в ряд Лорана в кольце

R <

< ∞ (R >>1). Для этого воспользуемся разложением f(z) в точке вещественной осиR < X :

f (X )=

g(X )

X −1

X 4

(4 (−π )−4 0)

−

i4π

4 1

−

i4π

e 7

+ o

−

+ o

X −1

(X +1)

X X

7 X

X 1 −

−

i4π

−

i 4π

+ o

7 .

По теореме

единственности12

имеем:

f (z)=

+ o

7 .

Откуда получаем, что

коэффициент c−1

равен c−1 = e−

i 4π

, следовательно res f (z)= −c−1

= −e−

i 4π

при

13.

z=∞

5 Теорема (Коши о вычетах). Пусть дана область G C с кусочно-гладкой положительно ориентированной границей Γ.

Пусть функция

f определена и регулярна на G всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек

a1 , a2 , K, an G (при этом имеется в виду, что, если ∞ G , то ∞ = an ) и пусть к тому же функция f непрерывно

продолжима на границу области G . Тогда справедлива формула ∫Γ f (z)dz = 2πi∑res f .

k =1 ak

6 Особыми точками функции f являются: z = ∞, нули знаменателя: z = 0 , особые точки числителя: , особые точки

знаменателя: (в G!!!)

7 Определение. Изолированная особая точка a

функции

f : B ρ (a)→ C называется полюсом, если существует предел

lim f (z)= ∞.

z→a

> 0 . Пусть γr ={z :

= r}-

8 Определение. Пусть изолированная особая точка a

функции f : B ρ (a)→ C , ρ

z −a

положительно ориентированная окружность, причем 0 < r < ρ . Тогда вычетом функции

f в точке a называется число

res f =

∫γ

f (z)dz .

2πi

9 Для вычисления g(0) берем контур γ с началом в точке, лежащей на верхнем берегу разреза Iε+ , и концом в точке z = 0

10 Определение. Изолированная особая точка a

функции

f : B ρ (a)→ C называется устранимой особой точкой, если

существует конечный предел lim f (z) C .

z→a

11 res f

= c−1 , где c−1 - коэффициент разложения функции f

в ряд Лорана с центром в конечной точке a при

12 Теорема (единственности). Пусть функция f : G → C регулярна в области G C . Пусть существует последовательность различных точек {zn } G , сходящаяся к некоторой точке a G и такая, что f (zn )= 0 n N . Тогда f (z)≡ 0 на области G.

13 res f = −c−1 , где c−1 - коэффициент разложения функции f в ряд Лорана с центром в бесконечности.

∞

Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов

= 2πi res f (z)+ res f (z)

−

i 4π

−

i 4π

2πi

−

i 4π

Таким образом, J

= 2πi

7 −e

−1 e

z=1

z=∞

g Оценим интегралы по окружностям C−1ε = {z :

z +1

= ε}и C0ε

= {z :

= ε}:

∫C1ε

f (z)dz

2π

7 (−1 +ε)

≤

∫

εdϕ ≤

A ε

→0 ,

−1 −ε −1

ε→0

f (z)dz

2π

∫C2ε

≤

∫

εdϕ ≤ B ε

→0

(ε +1)

ε −1

ε→0

h В силу формул (1) и (3) получаем выражения:

∫ f (z)dz =

0∫−ε

dx ,

Iε+

−1+ε

(x +1)

x −1

−1+ε

g(x −i0)

−1+ε

(x +i0)

e−

i8π

dx = −e−

i8π 0−ε

(x +i0)

dx = −e−

i8π

∫ f (z)dz = ∫

dx =

∫

∫ f (z)dz .

Iε−

0−ε

x −1

0−ε

x −1

−1+ε

x −1

Iε+

iПереходя в формуле (4) к пределу при ε → 0 , получаем равенство:

2πi

−

i 4π

−

i8π

1 e

7 =

1 −e

7 J ,

i4π

−

i4π

−e

−1

, J =

т.е. π

−1

7 16

4π

sin

−1

Ответ:

∫

7 16

(x +1)

x −1

sin

4π

−1

Вычисление интеграла по вещественной оси с помощью вычетов

2003/2004

Пусть g(z) - регулярная ветвь

многозначной функции {1 − z 2 }

плоскости с

разрезом по

кривой

γ = {z :

=1, Im z ≥ 0} такая, что

g(0)= −1 . Пусть f (z)=

Найти res f

и вычислить

интеграл

(z)−3)

∫ f (z)dz .

∞

Шабунин, Сидоров стр. 81 – 119 (пример 9 стр. 110-111, пример 12 стр. 103-115), Половинкинн стр. 108 – 115 (пример 4 стр. 114 –

115)

cПрежде всего следует проверить, что в заданной области действительно существуют регулярные ветви функции { 1 − z 2 }1. Эта функция допускает выделение регулярных ветвей в области G=C\ γ , что легко проверяется2.

dВыберем теперь регулярную ветвь корня, которая удовлетворяет условию g(0)= −1 :

g(0) = 1 −02

(ϕ01

+ϕ02

+2πk )

(ϕ01 +ϕ02

+2πk )

eiπ +i2πl , т.е.

+ϕ

+ 2πk

e 2

= e 2

= -1 =

= π + 2πl .

g(z)=

1 − z

iπ +

( γ arg(1+2iz )+

γ arg(1−2iz ))

(1)

регулярная

условию g(0)= −1 .

ветвь, соответствующая вышеприведенному

e Для вычисления вычета функции f(z)в точке z = ∞ ( - УОТ3) разложим эту функцию в ряд Лорана в кольце R < z < ∞

(R >>1). Для этого воспользуемся разложением f(z) в точке вещественной осиR < X : f (X )=

(g(X )−3)2

iπ +

(0+π )

i3π

(−i)−

1 − X 2 e

−3

X 1

−

2 −3

X 2

1 −

1 2

−i 1

−

+ o

−

X −i −

+ o

2 X

X X

−

+ 2

+ o

= −

+ o

X X

=					1			=
	X (−i)	2			3i		1 2
			1	−		+ o
					X
							X

1 − z 2 = (1 + z)(1 − z)

1 + z 1 − z =

1 + z e

(ϕ01 +

γ arg(1+2iz )+2πk1 ) 1 − z e

(ϕ02 + γ arg(1−2iz )+2πk2 )

(ϕ01 +ϕ02 + γ arg(1+2iz )+

arg(1−2iz )+2πk )

1 − z 2 e 2

Теорема 2(§16П) Пусть функция f в области G регулярна, прчем f (z)≠ 0 , z G . Чтобы в области G существовали ветви

регулярной функции {n

f (z)}, необходимо и достаточно, чтобы для любого замкнутого кусочно-гладкого контура γ° G

нашлось целое число k °

такое, что ° arg f (z)= (2πn)k ° .

Определение. Изолированная особая точка a

функции

f : B ρ (a)→ C называется устранимой особой точкой, если

существует конечный предел lim f (z) C .

→a

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015602.97 Кб302_2015_Thermodynamics.pdf
#
27.03.2016307.41 Кб122_Semyonov_Yu_I_-_Istoria_filosofii_-_chast.docx
#
03.06.2015168.89 Кб73.pdf
#
03.06.2015417.4 Кб531_all.pdf
#
03.06.2015390.78 Кб732_all.pdf
#
03.06.2015477.98 Кб933_all.pdf
#
03.06.2015391.56 Кб734_all.pdf
#
27.03.2016574.54 Кб153855_kompyuternoe modelirovanie zadach mekhaniki poleta _kaile_78sem_sait_.pdf
#
27.03.2016558.8 Кб63870_tekhnika i metodika eksperimenta v giperzvukovykh ustanovkakh_kaile_7sem_sait_.pdf
#
27.03.2016364.32 Кб163_Semyonov_Yu_I_-_Filosofia.docx
#
27.03.2016585.46 Кб74010_filosofiya_kf_8sem_falt pmi.pdf