Алгебра и геометрия, 2 семестр

Содержание

1Понятие ортогональности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4Размерность ортогонального дополнения . . . . . . . . . . . 5

5Понятие изотропности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3Симметричные скалярные произведения . . . . . . . . . . . 24

4Кососимметричные и знакопеременные скалярные произ-

ведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5Изометрии и подобия пространств . . . . . . . . . . . . . . . 26

7Проблема эквивалентности скалярных произведений . . . . 31

8Положительно определенные скалярные произведения . . . 36

2Метрика и функция длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3Понятие угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Ортонормированные базисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5Расстояние между подмножествами . . . . . . . . . . . . . . 46

6Объем параллелепипеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

13Полярное и сингулярное разложения . . . . . . . . . . . . . 60

14Приложение: квадратичные функции . . . . . . . . . . . . . 61

1

Лекции 1–5. Введение в теорию ортогональности

1Понятие ортогональности

Пусть F произвольное поле и V векторное пространство размерности n над полем F .

Бинарное отношение , определенное на множестве векторов V , называется ортогональностью, если выполены два условия:

(О1) для любых x, y V

x y y x;

(О2) для любого x V

{y V | y x} подпространство размерности > n − 1.

Пару (V, ), т. е. пространство V с определенным на нем отношением ортогональности , будем называть ортопространством. Впрочем, часто мы будем убирать ¾орто¿ и говорит просто ¾пространство¿, если из контекста понятно, что речь идет о пространстве с заданным на нем отношением ортогональности.

Легко увидеть, что ограничение отношения ортогональности на любое подпространство W из V является отношением ортогональности на W , поэтому пара (W, ) также образует ортопространство.

В дальнейшем, мы будем говорить, что подмножества векторов X и Y из V ортогональны и писать X Y , если x y для любых x X и y Y .

Пример 1. (Тривиальные ортопространства)

Положив x y для любой пары векторов x, y V , мы получим бинарное отношение, удовлетворяющее условиям (О1, О2). Определенное таким образом отношение ортогональности мы будем называть тривиальным.

Пример 2.

Пусть V = F n пространство строк длины n над полем F . Для любых

строк x = (x1, . . . , xn) и y = (y1, . . . , yn) положим x y x1y1 + . . . + + xnyn = 0.

Понятно, что условия (О1, О2) выполнены, и следовательно, (V, ) ортопространство.

2

Пример 3.

Пусть V = F 2 пространство строк длины 2 над полем F . Для любых строк x = (x1, x2) и y = (y1, y2) положим

x y x1y2 − x2y1 = 0.

Снова нетрудно проверить справедливость условий (О1, О2).

2Ортогональное дополнение

Основное понятие, использующееся при изучении ортопространств, есть понятие ортогонального дополнения.

Пусть X произвольное непустое подмножество из V . Ортогональным дополнением к X в V называется множество, которое обозначается через X и определяется следующим образом:

X = {y V | y X} .

Пользуясь понятием ортогонального дополнения, мы можем переформулировать условие (О2) в следующем виде:

(O2) Для любого x V

x подпространство размерности > n − 1.

Упражнение 1. Пусть (V, ) произвольное ортопространство. Доказать следующие утверждения:

(1)для любых x, y, z V

x y & x z x y + z;

(2)для любых x, y V , α F

x y x αy;

(3)для любого непустого X V

a)X подпространство в V

b)hXi = X

c)(X ) X

3

d) привести пример подпространства W 6 V , для которого

(W ) 6= W

(4) для любых непустых подмножеств X, Y V

X Y X Y

(5)для любых подпространств U, W из V

a)(U + W ) = U ∩ W

b)(U ∩ W ) > U + W

(6)привести пример таких подпространств U и W , что

(U ∩ W ) > U + W

3Ортогональный радикал

Множество V будем называть радикалом ортопространства (V, ) и обозначать через Rad(V ). Пространство V будем называть вырожденным, если Rad(V ) 6= 0, а в противном случае невырожденным. Таким образом, ортопространство V невырождено в том и только том случае, когда

x V x = 0.

Ясно, что пространство V из примера 1 совпадает с Rad(V ), и поэтому любое ненулевое тривиальное ортопространство вырождено. Пространства из примеров 2 и 3, как это нетрудно проверить, являются невырожденными.

Упражнение 2. Доказать:

(1)пространство V невырождено x гиперплоскость для любого ненулевого x V , т. е.

dim V = dim x + 1;

(2)любое прямое дополнение к Rad(V ) в пространстве V есть невырожденное пространство.

4

4Размерность ортогонального дополнения

Далее нам будет удобно использовать новое понятие. Коразмерностью подпространства W в пространстве V называется число

codim(W ) := dim(V ) − dim(W ).

Справедлива

Лемма. Для любых подпространств A и B из пространства V выпол-

няется неравенство

codim(A ∩ B) 6 codim(A) + codim(B).

Доказательство. Из теоремы о размерности суммы подпространств вытекает неравенство

dim(A) + dim(B) − dim(A ∩ B) = dim(A + B) 6 dim(V ).

Значит,

dim(V ) − dim(A ∩ B) 6 (dim(V ) − dim(A)) + (dim(V ) − dim(B)),

что и требовалось.

Следствие. Для любых подпространств A1, . . . , Ak из пространства V

выполняется неравенство

codim(A1 ∩ . . . ∩ Ak) 6 codim(A1) + . . . + codim(Ak).

Основным результатом данного раздела лекции является

Теорема. Для любого подпространства W из невырожденного пространства V справедливо равенство

dim(W ) + dim(W ) = dim(V ).

Доказательство. В терминах коразмерности утверждение теоремы может быть переформулировано следующим образом: codim(W ) = dim(W ).

Пусть dim(W ) = m. Если m = 0, то W = 0 и W = V. В этом случае теорема справедлива.

Пусть m > 0 и {e1, . . . , em} базис W . Дополним его до базиса

{e1, . . . , em, em+1, . . . , en} всего пространства V . Согласно упражнению

1.5,

W = e1 ∩ . . . ∩ em,

5

и, в силу следствия,

codim(W ) 6 codim(e1 ) + . . . + codim(em) = m.

Заметим, что 0 = V = W ∩ em+1 ∩ . . . ∩ en . Снова применяя следствие, получаем

n = codim(V ) 6 codim(W ) + codim(e +1) + . . .

m

. . . + codim(en ) 6 codim(W ) + n − m,

или codim W > m.

Таким образом, codim(W ) = m = dim(W ), и теорема доказана.

Упражнение 3. Пусть U и W произвольные подпространства из невырожденного пространства V . Доказать:

(1)(W ) = W

(2)(W ∩ U) = W + U

(3)если W невырожденное подпространство, то W также невырождено.

Упражнение 4. Пусть V произвольное ортопространство, и W 6 V . Доказать, что W невырожденное подпространство V = W W .

5Понятие изотропности

Вектор x из ортопространства V будем называть изотропным, если x x. Очевидно, что любой вектор из Rad(V ) является изотропным, но обратное, в общем случае, неверно. Так, например, пространство V из примера 3 состоит из изотропных векторов, но Rad(V ) = 0. Также, в общем случае, неверно, что множество всех изотропных векторов образует подпространство в ортопространстве.

В дальнейшем, невырожденное пространство, все векторы которого изотропны, будем называть пространством симплектического типа. Пространство V из примера 3 представляет собой образец пространства симплектического типа.

На изотропный вектор x можно также смотреть как на вектор, который порождает тривиальное ортопространство hxi. Обобщением этой точки

6

зрения на изотропный вектор является понятие вполне изотропного пространства. Будем говорить, что подпространство W из V вполне изотропно, если W 6 W , или, что равносильно, ограничение на W есть тривиальная ортогональность.

Максимальная размерность вполне изотропных подпространств из V называется индексом Витта пространства V . Индекс Витта служит одной из наиболее важных характеристик геометрии ортогональности.

Очевидно, что индекс Витта есть неотрицательное целое число, не превосходящее dim V , причем,

индекс Витта равен dim V V тривиальное ортопространство

и

равен 0 только нулевой вектор из V является изотропным.

Упражнение 5. Доказать:

(1) x изотропный вектор λx изотропный вектор для любого

λ F

(2) индекс Витта невырожденного пространства V не превосходит DIM V

2

(3)если W вполне изотропное подпространство в невырожденном пространстве, то любое прямое дополнение к W в W является невырожденным

(4)привести пример ортопространства, в котором множество изотропных векторов не образует подпространство

6Гиперболические плоскости

Любая пара неортогональных изотропных векторов называется гиперболической парой. Подпространство, порожденное гиперболической парой, называется гиперболической плоскостью.

Теорема. Любая гиперболическая плоскость невырождена.

Доказательство. Пусть W гиперболическая плоскость, порожденная

7

Гиперболические плоскости используются в качестве невырожденных подпространств небольшой размерности, содержащих изотропный вектор. Если вектор x неизотропен, то пространство hxi невырождено, и следовательно, V = hxi x . В случае изотропного вектора x найти подобное разложение нам помогают гиперболические плоскости, содержащие x. Так, например, если мы сможем найти изотропный вектор y из V − x , то гиперболическая пара x, y порождает невырожденную гиперболическую плоскость W = hx, yi, для которой справедливо равенство

V = W W .

7Ортогональные разложения

В дальнейшем, сумму подпространств W1 +W2 +. . .+Wk будем называть ортогональной, если Wi Wj для любых i 6= j. Заметим, что ортогональная сумма не всегда является прямой, т. е. попарно ортогональные подпространства не обязательно линейно независимы, но в одном случае это действительно так.

Теорема. Попарно ортогональные невырожденные подпространства линейно независимы. В частности, ортогональная сумма невырожденных подпространств является прямой.

Доказательство. Пусть W1, . . . , Wk попарно ортогональные невырожденные подпространства, т. е. Rad(Wi) = 0 и Wi Wj для любых i 6= j.

Если x1 + . . . + xk = 0 для некоторых xi Wi, то xi W1 + . . . + Wi−1 + + Wi+1 + . . . + Wk 6 Wi , и значит, xi Wi ∩ Wi = Rad(Wi) = 0 или xi = 0 для любого i. Это и означает, что данные подпространства линей-

но независимы.

Упражнение 6. (1) Доказать, что неизотропные попарно ортогональные векторы линейно независимы.

(2)Доказать, что любое ортопространство, не содержащее ненулевых изотропных векторов, имеет ортогональный базис, т. е. базис, состоящий из попарно ортогональных векторов.

(3)Доказать, что любое ортопространство, не содержащее гиперболических плоскостей, имеет ортогональный базис.

(4)Доказать, что любое ненулевое пространство V симплектического типа представимо в виде ортогональной суммы гиперболических плоскостей. В частности, dim V четное число.

8

(5)Доказать, что индекс Витта пространства V симплектического типа равен DIM2 V .

(6)Доказать, что любое ортопространство представимо в виде ортогональной прямой суммы одномерных подпространств и гиперболических плоскостей.

8Решетка подпространств

Для дальнейшего изучения строения ортопространств нам потребуется более детальный анализ взаиморасположения подпространств в векторном пространстве. Этот анализ может быть проведен на двух разных языках: геометрическом и алгебраическом. Конечно, за каждым из языков скрывается своя система образов. Более удобен, с точки зрения доказательств, геометрический язык. Но так как основная теорема проективной геометрии будет приведена без доказательства, то мы ограничимся изложением более простых алгебраических понятий, достаточных для формулировки основной теоремы и понимания её смысла.

Определение 1. Бинарное отношение 6 на множестве M называется порядком, если для любых x, y, z M выполнены условия:

(1)x 6 x

(2)x 6 y & y 6 z x 6 z

(3)x 6 y & y 6 x x = y

Запись x < y означает, что x 6 y & x 6= y.

Непустое множество с заданным на нем порядком называется упорядоченным множеством.

Упорядоченные множества в некоторых случаях удобно представлять в виде неориентированноого графа, вершины которого есть элементы M, причем x 6 y от x можно пройти к y по ребрам снизу вверх. Например,

9

Определение 2. Пусть M и N упорядоченные множества. Биекция

f: M → N называется изоморфизмом, если x 6 y f(x) 6 f(y)

для любых x, y M, и антиизоморфизмом, если

x6 y f(x) > f(y).

Вчастном случае, когда M = N , изоморфизм называется автоморфизмом, а антиизоморфизм антиавтоморфизмом.

Определение 3. Пусть M упорядоченное множество, и X M. Элемент a M называется точной верхней гранью X и обозначается sup X, если

(1)x 6 a для любого x X;

(2)если x 6 b для любого x X, то a 6 b.

Элемент a M называется точной нижней гранью X и обозначается inf X, если

(3)a 6 x для любого x X;

(4)если b 6 x для любого x X, то b 6 a.

Определение 4. Упорядоченное множество называется решеткой, если любая пара его элементов имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань.

Упражнение 7. (1) Доказать, что композиция двух антиизоморфизмов упорядоченных множеств есть изоморфизм.

(2)Пусть f изоморфизм упорядоченного множества M на упорядоченное множество N . Доказать, что

sup(f(X)) = f(sup X) и inf(f(X)) = f(inf(X)) для любого X M.

(3)Пусть f антиизоморфизм упорядоченного множества M на упорядоченное множество N . Доказать, что

sup(f(X)) = f(inf X) и inf(f(X)) = f(sup(X)) для любого X M.

10