Алгебра и геометрия, 2 семестр

Докажем сначала единственность. Пусть X и Y решение данной системы. Тогда

A = XY AT = Y T XT = Y X−1 AT A = Y 2.

Но, как мы показали ранее, уравнение AT A = Y 2 имеет единственное решение Y среди симметричных матриц с положительными собственными значениями. Так как X = AY −1, то данное решение X и Y матричной системы действительно определено однозначно.

Доказательство единственности решения системы указывает нам способ доказательства существования решения.

Действительно, матрица AT A является симметрической, и её собственные значения положительны. Следовательно, существует однозначно определеная симметрическая матрица Y , все собственные значения которой положительны и Y 2 = AT A. Положим X = AY −1. Тогда A = XY и

AT A = Y T XT XY = Y XT XY = Y 2.

Умножая последнее равенство слева и справа на Y −1, мы получаем требуемое равенство XT X = E.

Следствие (сингулярное разложение). Любую невырожденную квадратную матрицу A можно представить в виде A = P DQ, где P и Q ортогональные матрицы, а D диагональная матрица с поло-

жительными диагональными элементами.

Доказательство. Согласно теореме о полярном разложении матрицу A можно представить в виде A = XY , где X ортогональная матрица, а Y симметрическая матрица с положительными собственными значениями. Для симметрической матрицы Y , как нам известно, найдется такая ортогональная матрица Z, что Z−1Y Z = D диагональная матрица. Так как характеристические многочлены матриц Z−1Y Z и Y совпадают, то из положительности собственных значений матрицы Y следует положительность всех диагональных элементов матрицы D. Учитывая то, что A = XY = XZDZ−1, мы получаем искомое разложение матрицы A с ортогональными матрицами P = XZ и Q = Z−1.

14 Приложение: квадратичные функции

Вообще говоря, определение квадратичных функций зависит от поля, над которым рассматриваются эти функции. Здесь мы ограничимся случаем полей характеристики 6= 2.

61

Определение 1. Пусть F поле характеристики 6= 2. Однородный

многочлен Q(x1, . . . , xn) = Pi,j aij xixj второй степени, где aij = aji F , будем называть квадратичной функцией (формой), а симметрическую

матрицу A = (aij ) матрицей этой формы Q. Будем говорить, что Q имеет диагональный вид, если

Q(x1, . . . , xn) = λ1x21 + . . . + λnx2n.

Если все λi в диагональном виде равны ±1 или 0, то будем говорить, что

Q имеет канонический вид.

Основной задачей теории квадратичных функций является приведение их к диагональному (каноническому) виду с помощью обратимой линейной замены переменных.

Несложно заметить, что форма Q может быть записана в матричном виде:

Q(x) = xT Ax,

где x F n и A = (aij ) матрица формы Q. Понятно, что Q имеет диагональный вид её матрица A диагональна. Делая замену переменных x = Sx′, мы получаем новую квадратичную функцию Q′(x′):

Q′(x′) = (x′)T ST ASx′

с матрицей A′ = ST AS. Таким образом, на матричном языке основная задача может быть переформулирована следующим образом:

Для данной симметрической матрицы A найти такую невырожденную матрицу S, чтобы ST AS была диагональной.

Из вышесказанного становится понятно, что эта задача может быть решена с помощью теории пространств со скалярными произведениеми.

Сопоставляя квадратичной функции Q(x) = xT Ax функцию f(x, y) =

ние Q к диагональному виду равносильно отысканию ортогонального базиса в F n со скалярным произведением f(x, y), а задача отыскания ортогонального базиса в пространствах с симметричным скалярным произведением, как мы знаем, имеет положительное решение. Таким образом, справедлива

Теорема 1. Любая квадратичная функция над полем характеристики 6= 2 приводится к диагональному виду с помощью обратимой линей-

ной замены переменных.

62

Возможен и некоординатный подход к построению теории квадратичных функций.

Определение 2. Пусть V векторное пространство над полем F характеристики 6= 2. Квадратичной функцией на пространстве V называется функция Q: V → F , значения которой определены следующим образом:

Q(x) = f(x, x),

где f(x, y) симметрическая билинейная функция.

При таком подходе Q в любом базисе пространства V представима в виде однородного многочлена второй степени от координат вектора x.

По заданной квадратичной функции Q однозначно определяется симметричная билинейная функция f(x, y). Действительно,

Q(x + y) = f(x + y, x + y) = f(x, x) + 2f(x, y) + f(y, y) =

= Q(x) + 2f(x, y) + Q(y).

Отсюда f(x, y) = 12 (Q(x + y) − Q(x) − Q(y)). Полученная билинейная функция называется поляризацией квадратичной функции Q.

Таким образом, имеется взаимно-однозначное соответствие между симметричными скалярными произведениями на V и квадратичными функциями на V . Имея в виду это соответствие, все понятия, относящиеся к симметричным скалярным произведениям (матрица, ранг, индекс инерции, сигнатура и положительная определенность в случае F = R), переносят на квадратичные функции.

В качестве примера использования теории пространств со скалярными произведениями в теории квадратичных функций приведем один результат, касающийся пары квадратичных функций.

Теорема 2. Любые две квадратичные функции над полем R, по край-

ней мере одна из которых положительно определена, с помощью одной и той же невырожденной линейной замены переменных могут быть приведены к диагональному виду.

Доказательство. Пусть P (x1, . . . , xn) и Q(x1, . . . , xn) квадратичные функции над R, причем функция P положительно определена и V = = Rn пространство столбцов над полем R. Определим на пространстве V два скалярных произведения p(x, y) и q(x, y), взяв соответствующие поляризации квадратичных функций P и Q. Так как пространство

63

V с заданным на нем положительно определенным скалярным произведением p(x, y) образует евклидово пространство E, то в E найдется ортонормированный относительно p(x, y) базис E. Понятно, что матрица скалярного произведения p в базисе E является единичной, а матрица скалярного произведения q в базисе E является симметричной матрицей A.

Рассмотрим линейный оператор A евклидова пространства E с матрицей A в базисе E. Так как A симметричная матрица и E ортонормированный базис, то A самосопряженный оператор. Следовательно, в E найдется ортонормированный базис E′, состоящий из собственных векторов оператора A. Другими словами, матрица A в базисе E′ диагональна. Матрицы оператора A в базисах E и E′ связаны между собой равенством

(A)E′ = S−1 · (A)E · S,

где S матрица перехода от базиса E к базису E′. Значит, S−1AS диагональная матрица.

Пусть теперь B матрица скалярного произведения q(x, y) в базисе E′. Матрицы q в базисах E и E′ связаны между собой равенством

B = ST AS.

Напомним, что матрица перехода S между ортонормированными базисами является ортогональной, т. е. S−1 = ST . Следовательно, матрица B совпадает с матрицей (A)E′ и поэтому является диагональной. Таким образом, в базисе E′ квадратичные функции P и Q имеют диагональный вид.

64