jadan (1)

Поскольку согласно лемме6все ηk / intF+, то на основании (172)

k

λs ≤ λ

s=0

для всех k ≥ 0 и следовательно ряд ∞ λk сходится.Отсюда приходим к выводу,

что

k=0

Пусть x предельная точка последовательности {xk}, т . еx. = liml→∞ xkl .Из предельного равенства(173)следует,что

M(x , η ) = 0,

где η = limk→∞ ηk.Поэтому обязательно x X и кроме того ,f(x ) − η ≤ 0r. Но η , как уже отмечалось , не принадлежит множеству intF+. Отсюда приходим к

f ≤ η .Данное неравенство указывает на то,что справедливо включение η intF+. Мы пришли к противоречию.Таким образом, x X, а из неравенства f(x ) ≤ η вытекает,что на самом деле предельный вектор принадлежит границе множества

F+. .

В предложенном обобщении метода параметризации целевой функции выбор кон-

т.е.эта такая точка в критериальном пространстве,каждая компонента которой является минимальным значением соответствующего отдельного критерия на допустимом множестве X.Выберем начальный вектор η0 таким образом,чтобы он лежал строго"юго-западнее"идеальной точки.Другими словами,чтобы он удовлетворя неравенству η0 < fa.Возьмем также"пучок единичных направлений" ep, принадле - жащих внутренности неотрицательного ортанта Rr+ и равномерно накрывающих этот неотрицательный ортант.Тогда,проводя вычисления с каждым из этих направлений(в том числе,используя параллельные вычисления),можно получить достаточно полную конечную аппроксимацию множества F S.Разные лучи будут приводить к разным оптимальным решениям(см.рис***).

Отметим также,что даже если луч,выходящий из точки η0 и имеющий направле -

ние e, пересекает " юго - западную " границу множестваF в точке η = η (e), которая

+

86

не принадлежит множеству оптимальных оценок FS, тем не менее будет найдена оценка,входящая в FS и ближайшая в некотором смысле к точке η .Если точка пересечения η принадлежит FP , то будет найдена оптимальная оценка , совпадающая с η (оба эти случая показаны на рис. ***).

87