Вэриан

Постепенно экономисты пришли к признанию того, что применительно к потребительскому выбору полезность важна только в том смысле, обладает ли один набор благ более высокой полезностью, чем другой, а насколько более высокой — значения на самом деле не имеет. Первоначально предпочтения определялись в терминах полезности: утверждение, что набор Ошибка! Не указан аргумент ключа.(x1, x2) предпочитается набору (y1, y2Ошибка! Не указан аргумент ключа.)

означало, что набор x обладает большей полезностью, чем набор y. Теперь же мы склонны рассуждать наоборот. Описание предпочтений потребителя существенно полезно для анализа потребительского выбора, полезность же — это просто способ описания предпочтений.

Функция полезности — это такой способ приписывания каждому возможному потребительскому набору некоего численного значения, при котором более предпочитаемым наборам приписываются бóльшие численные значения, чем менее предпочитаемым. Иными словами, набор (x1, x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) предпочитается набору (y1, y2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) в том и только в том случае, если полезность набора (x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа. больше полезности набора (y1, y2Ошибка! Не указан аргумент ключа.)Ошибка! Не указан аргумент ключа.: на языке условных обозначений (x1, x2) (y1, y2Ошибка! Не указан аргумент ключа.) Ошибка! Не указан аргумент ключа., если и только если, u(x1, x2) > u(y1, y2Ошибка! Не указан аргумент ключа.).

Единственный смысл приписывания полезности состоит в том, что с его помощью ранжируются товарные наборы. Значение, принимаемое функцией полезности, важно только с точки зрения ранжирования различных потребительских наборов; величина разности полезности двух любых потребительских наборов не существенна. Вследствие указанного акцентирования расположения товарных наборов в определенном порядке полезность этого рода именуется по-

рядковой полезностью.

Рассмотрим, например, табл. 4.1, в которой показано несколько разных способов приписывания полезностей трем товарным наборам, одинаково ранжирующих эти наборы. В данном примере потребитель предпочитает набор A набору B, а набор B — набору С. Все указанные способы приписывания полезностей представляют собой функции полезности, годные для описания одних и тех же предпочтений, потому что все эти функции обладают тем свойством, что набору A поставлено в соответствие бóльшее число, чем набору B, которому в свою очередь поставлено в соответствие бóльшее число, чем набору C.

Если f (u) есть любое монотонное преобразование функции полезности, представляющее какие-либо конкретные предпочтения, то f (u(x1, x2))Ошибка!

Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. — это тоже функция полезности, представляющая те же самые предпочтения.

Почему? Доводы в пользу этого даны следующими тремя утверждениями:

1.Сказать, что u(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. представляет

некие конкретные предпочтения, означает, что u(x1, x2) u(y1, y2)Ошибка! Не

указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа., если и только если (x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. (y1, y2).

2.Но если f(u) есть монотонное преобразование, то u(x1, x2) u(y1, y2)Ошибка!

Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа., если и только если f(u(x1, x2)) f(u(y1, y2)).

3.Следовательно, f(u(x1, x2)) f(u(y1, y2)), если и только если (x1, x2)Ошибка! Не

указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. (y1, y2)Ошибка! Не указан аргумент ключа., так что функция f(u)

представляет предпочтения совершенно таким же образом, как и исходная функция полезности u(x1, x2).

Подытожим эти рассуждения, сформулировав следующий принцип: моно-

тонное преобразование функции полезности есть функция полезности, представляющая те же самые предпочтения, что и исходная функция полезности.

Геометрически функция полезности представляет собой способ обозначения кривых безразличия. Поскольку каждый набор, находящийся на какой-либо кривой безразличия, должен иметь одинаковую полезность, функция полезности есть такой способ приписывания различным кривым безразличия неких численных значений, при котором более высоким кривым безразличия приписываются бóльшие численные значения. С этой точки зрения, монотонное преобразование

— всего лишь переименовывание кривых безразличия. До тех пор, пока кривые безразличия, на которых находятся более предпочитаемые наборы, обозначаются бóльшими числами, чем кривые безразличия, на которых находятся менее предпочитаемые наборы, подобное переименовывание будет представлять те же самые предпочтения.

4.1. Количественная полезность

Существует ряд теорий полезности, в которых величине полезности придается значение. Эти теории известны как количественные теории полезности. В количественной теории полезности предполагается, что величина разности значений полезности для двух наборов благ имеет определенную значимость.

Нам известно, как определить, предпочитает ли данный индивид один товарный набор другому: мы просто предложим ему (или ей) выбрать один из двух наборов и посмотрим, какой набор выбран. Следовательно, мы знаем, как приписывать двум товарным наборам порядковую полезность: достаточно приписать выбранному набору более высокую полезность, чем отвергнутому. Любое приписывание такого рода явится функцией полезности. Таким образом, у нас имеется рабочий критерий, позволяющий определить, имеет ли для данного индивида один набор бóльшую полезность, чем другой.

Но как можно утверждать, что один набор нравится индивиду в два раза больше другого? На основании чего вы сами можете определить, нравится ли вам один набор вдвое больше другого?

Можно было бы предложить для такого рода приписывания значений полезности разные исходные определения: скажем, "один набор нравится мне вдвое больше другого, если я готов заплатить за него вдвое больше". Или: “Один набор нравится мне вдвое больше другого, если, чтобы его получить, я готов пробежать вдвое более длинную дистанцию, или прождать вдвое дольше, или сыграть на него по удвоенной ставке.”

Ничего неправильного ни в одном из этих определений нет: на основе каждого из них можно было бы построить способ приписывания наборам уровней полезности, при котором приписываемые численные значения полезности имели бы некий рабочий смысл. Но и правильного в этих определениях немного. Хотя каждое из них представляет собой возможную интерпретацию того, что может означать утверждение "хотеть какую-то вещь вдвое больше другой", ни одно из них не кажется особенно убедительным.

Но даже если бы нам удалось найти способ приписывания полезности численных значений, который показался бы нам особенно удачным, какую пользу он мог бы принести при описании потребительского выбора? Чтобы утверждать, будет ли выбран тот товарный набор или другой, нам надо знать лишь, какой из них предпочитается — какой имеет большую полезность. Знание того, насколько эта полезность больше, ничего не добавляет к нашему описанию выбора. Поскольку количественная полезность для описания потребительского выбора не требуется и поскольку бесспорного способа приписывания количественных полезностей так или иначе не существует, будем придерживаться рамок чисто порядковой полезности.

4.2. Построение функции полезности

Однако уверены ли мы в том, что вообще существует какой-либо способ приписывания товарным наборам порядковых полезностей? Допустим, имеется некое ранжирование предпочтений. Всегда ли можно найти функцию полезности, располагающую товарные наборы в том же порядке, в каком располагаются эти предпочтения? Существует ли функция полезности, описывающая любое рациональное ранжирование предпочтений?

Не все виды предпочтений можно представить с помощью функции полезности. Предположим, например, что предпочтения некоего индивида нетранзитив-

ны, так что A B C AОшибка! Не указан аргумент ключа.. Тогда функция полезности, соответствующая этим предпочтениям, должна была бы состоять из чисел u(A), u(B) и u(C) таких, что u(A) > u(B) > u(C) > u(A). Но это невозможно.

Если, однако, исключить из рассмотрения аномальные случаи вроде нетранзитивных предпочтений, то окажется, что практически всегда можно найти некую функцию полезности, которая бы представляла данные предпочтения. Поясним построение функции полезности наглядными примерами, рассмотрев один из них здесь, а другой — в гл. 14.

Допустим, что нам дана карта кривых безразличия, такая, как на рис. 4.2. Мы знаем, что функция полезности есть способ обозначения кривых безразличия, при котором более высоким кривым безразличия ставятся в соответствие бóльшие числа. Как это можно сделать?

Рис. Построение функции полезности на основе кривых безразличия. Нари-

4.2суйте диагональную линию и обозначьте каждую кривую безразличия числом, соответствующим расстоянию от нее до начала координат, измеренному вдоль этой линии.

Один из простых способов — провести диагональ, как показано на рисунке, и обозначить каждую кривую безразличия числом, соответствующим ее расстоянию от начала координат, измеренному вдоль этой диагонали.

Откудамы знаем, что в результатеэтого получим функциюполезности? Нетрудно заметить, что если предпочтения монотонны, то луч, проходящий через начало координат, должен пересечь каждую кривую безразличия в точности один раз. Таким образом, каждый набор благ получает свое обозначение, и наборы, находящиеся на более высоких кривых безразличия, обозначаются бóльшими числами, а только это и требуется, чтобыпостроитьфункцию полезности.

Это дает нам один из способов обозначения кривых безразличия по крайней мере для случая монотонных предпочтений. Данный способ не всегда будет самым подходящим для любого заданного случая, но он показывает достаточно общий характер идеи, заложенной в функции порядковой полезности: "разумные" предпочтения почти любого вида можно представить с помощью функции полезности.

4.3.Некоторые примеры функций полезности

Рассмотрим еще один пример. Допустим, нам задана функция полезности вида u(x1 , x2 ) x12x22.Ошибка! Не указан аргумент ключа. Как выглядят ее кривые безразличия? Согласно стандартным правилам алгебры:

v(x1, x2) = x12x22 (x1x2)2 u(x1, x2)2.

Ошибка! Не указан аргументключа.

Иными словами, функция полезности v(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. есть просто квадрат функции полезности u(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Поскольку u(x1, x2) Ошибка! Не указан аргумент ключа. не может быть отрицательной величиной, отсюда следует, что v(x1, x2) Ошибка! Не указан аргумент ключа. яв-

ляется монотонным преобразованием исходной функции полезности u(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Это означает, что функции полез-

ности v(x1, x2) = x12x22 Ошибка! Не указан аргумент ключа. должны соответст-

вовать кривые безразличия в точности такой же формы, как у представленных на рис.4.3. Обозначения кривых безразличия будут другими — обозначения 1, 2, 3 теперь станут обозначениями 1, 4, 9, ..., но множество наборов, имеющее по-

лезность v(x1, x2) = 9Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа., в точности такое же, что и множество наборов, имеющее по-

лезность v(x1, x2) = 3Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Следовательно, v(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент клю-

ча.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа. описывает в точности те же предпочтения, что и u(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан

аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа., поскольку она ранжирует все наборы таким же образом.

Идти в обратном направлении — находить функцию полезности, представляющую определенные кривые безразличия, — несколько сложнее. Для этого можно прибегнуть к двум способам. Первый способ — математический. Исходя из заданных кривых безразличия мы хотим найти функцию, которая принимала бы постоянные значения вдоль каждой кривой безразличия и приписывала бы бóльшие численные значения более высоким кривым безразличия.

Второй способ — несколько более интуитивный. Исходя из описания предпочтений, мы пытаемся представить себе, что именно стремится максимизировать потребитель — какая комбинация товаров описывает его потребительский выбор. Хотя на данной стадии рассмотрения этот способ может показаться несколько неясным, после обсуждения нескольких примеров его смысл станет понятнее.

Совершенные субституты

Помните пример с красными и синими карандашами? Для потребителя имело значение только общее число карандашей. Таким образом, вполне естественно измерять полезность общим числом карандашей. Поэтому предварительно вы-

берем функцию полезности видаОшибка! Не указан аргумент ключа. u(x1, x2) = x1 + x2. Подойдет ли она? Достаточно задать себе два вопроса: принимает ли эта функция полезности постоянные значения при перемещении вдоль кривых безразличия? Приписывает ли она более высокие численные значения более предпочитаемым наборам? Поскольку на оба эти вопроса следует дать утвердительный ответ, перед нами — функция полезности.

Разумеется, это не единственная функция полезности, которую мы могли бы использовать в данном случае. Можно было бы также использовать квадрат числа карандашей. Таким образом, функция полезности

v(x1, x2 ) (x1 x2 )2 x12 2x1x2 x22Ошибка! Не указан аргумент ключа. то-

же представляет предпочтения для случая совершенных субститутов, как, впрочем, и любая другая функция, являющаяся монотонным преобразованием функ-

ции u(x1, x2)Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент

ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа.Ошибка! Не указан аргумент ключа..

Что, если потребитель хочет заместить товар 1 товаром 2 в соотношении, отличном от соотношения "один к одному"? Предположим, например, что потребителю потребуются две единицы товара 2, чтобы компенсировать отказ от одной единицы товара 1. Это означает, что товар 1 вдвое ценнее для потребителя, чем товар 2. Функция полезности, следовательно, принимает вид u(x1, x2) Ошибка! Не указан аргумент ключа.= 2x1 + x2Ошибка! Не указан аргумент ключа.. Заметьте, что эта функция полезности дает кривые безразличия с наклоном –2.

Вообще предпочтения в отношении совершенных субститутов можно представить функцией вида

Ошибка! Не указан аргумент ключа.u(x1, x2) Ошибка! Не указан аргумент ключа.= ax1 + bx2.

Здесь a и b — некие положительные числа, измеряющие "ценность" товаров 1 и 2 для потребителя. Обратите внимание на то, что наклон типичной кривой безразличия задан — a/b.

Совершенные комплементы

Это случай левого и правого башмаков. При предпочтениях такого рода потребителя заботит только число имеющихся у него пар обуви, поэтому естественно выбрать число пар обуви в качестве функции полезности. Число имеющихся у вас полных пар обуви есть минимум числа имеющихся у вас правых x1Ошибка! Не указан аргумент ключа. и левых x2 башмаковОшибка! Не указан аргумент ключа.. В соответствии с этим функция полезности для совершенных комплементов принимает вид u(x1, x2) Ошибка! Не указан аргумент ключа.= min{x1, x2}.Ошибка! Не указан аргумент ключа.

Чтобы проверить, действительно ли эта функция полезности подходит в данном случае, выберем, скажем, товарный набор (10, 10). Добавив еще одну единицу товара 1, получаем набор (11, 10), потребляя который, мы должны были бы остаться на той же самой кривой безразличия. Так ли это? Да, поскольку min{10, 10} = min{11, 10} = 10.

Итак, u(x1, x2) Ошибка! Не указан аргумент ключа.= min{x1, x2} — функция полезности, с помощью которой можно описать совершенные комплементы. Как обычно, для этого подойдет и любая функция, являющаяся монотонным преобразованием данной .

Что можно сказать о случае, когда потребитель хочет потреблять товары не в пропорции "один к одному"? Например, как насчет потребителя, всегда потребляющего 2 ложки сахара с чашкой чая? Если x1Ошибка! Не указан аргумент ключа. — число имеющихся чашек чая, а x2Ошибка! Не указан аргумент ключа. — число имеющихся ложек сахара, то число должным образом

чашек подслащенного чая составит min{x1, 1 x2}.

2

Это несколько сложно для понимания, так что немного поразмыслим об этом. Ясно, что если число чашек чая будет больше половины числа ложек сахара, то мы не сможем положить в каждую чашку чая по 2 ложки сахара. В этом случае у

нас в итоге окажется только 1 x2 чашек должным образом подслащенного чая.

2

(Чтобы убедиться в этом, подставьте вместо x1 и x2Ошибка! Не указан аргумент ключа. какие-нибудь числа.)

Разумеется, те же самые предпочтения могут быть описаны любой функцией, которая является монотонным преобразованием указанной функции полезности. Например, можно произвести умножение на 2, чтобы избавиться от дроби. В результате этого получим функцию полезности u(x1, x2) = Ошибка! Не указан аргумент ключа.min{2x1, x2}.

Вообще, функция полезности, описывающая предпочтения для случая совершенных комплементов, имеет вид

u(x1, x2) Ошибка! Не указан аргумент ключа.= min{ax1, bx2},

где a и b — положительные числа, показывающие пропорции, в которых потребляются товары.

Квазилинейные предпочтения