Пособие по формулам Тейлора

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5

1.1.

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5

1.2. •¥ª®â®àë¥ ä®à¬ã«ë ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï

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6

1.3.

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7

1.3.1.

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7

1.3.2.

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7

1.3.3. ’¥®à¥¬ ¥¤¨-á⢥--®áâ¨

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8

1.3.4.

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8

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11

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13

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14

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14

2.2. •à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ äã-ªæ¨©

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14

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14

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29

2.5. •à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ä®à¬ã«®© ’¥©«®à

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30

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37

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37

3.2.

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38

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3.3.

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52

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58

4.1.

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58

4.2.

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61

5. Ž’‚…’›

63

5.1.

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63

5.2.

‚ëç¨á«¥-¨¥ ¯à¥¤¥«®¢ . . . . . . . . . . . . . . . .

66

¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ x0. ’®£¤ :

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= 1; â®

£®¢®àïâ,

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x!x0 g(x)

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¡) ¥á«¨ lim f(x)

f (x) » g (x) ¯à¨ x ! x0:

= 0; â® £®¢®àïâ, çâ® äã-ªæ¨ï f (x) ¥áâì ®-¬ «®¥

x!x0 g(x)

®â äã-ªæ¨¨ g (x) ¯à¨ x ! x0, ¨ ¯¨èãâ

f (x) = o(g (x))

¯à¨ x ! x0:

(1)

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(1) á«¥¤ã¥â ç¨â âì ⮫쪮

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x ! x0. • ¢¥-á⢮

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®¡®§- ç¥-¨¥

¯à¨- ¤«¥¦-®á⨠äã-ªæ¨¨ f (x) ª ª« ááã o(g (x)).

‡ ¯¨áì f (x) = o(1) ®§- ç ¥â, çâ® äã-ªæ¨ï f (x) ï¥âáï

¡¥áª®-¥ç-® ¬ «®© ¯à¨

x ! x0

, â® ¥áâì

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x x0

f (x)

=

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g (x)

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¬ « ï

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f (x) ¡ g (x) = o(g (x))

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x0)n + o((x

¡

x0)n) ¯à¨

¡

n - §ë¢ ¥

x ! x0, £¤¥ a 6= 0, á« £ ¥¬®¥ a (x ¡ x0)

âáï £« ¢-®©

•ãáâì ¢ «¥¢®© ç áâ¨ à ¢¥-áâ¢

§ ¯¨áì ¢¨¤ o(f) ®¡®§- ç ¥â

ª®-ªà¥â-®£® ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ï ª« áá

o(f), x ! x0, C

6= 0 |

¯®áâ®ï-- ï. ’®£¤ ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ä®à¬ã«ë:

o(Cf) = o(f) ;

(2)

C ¢ o(f) = o(f) ;

(3)

o(f) + o(f) = o(f) ;

(4)

o(o(f)) = o(f) ;

(5)

o(f + o(f)) = o(f) ;

(6)

o(f) ¢ o(g) = o(fg) ;

(7)

fn¡1 o(f) = o(fn) ;

(8)

fn)

o(

= o¡fn¡1¢;

®¥á«¨

f®(x) 6= 0

8x 2 U˙± (x0) ;

(9)

f

(o(f))

= o(f ) ; ® > 0:

(10)

• ¯à¨¬¥à, ä®à¬ã«

(7)

®§- ç ¥â,

çâ®

¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥

® (x) ¢ ¯ (x)

«î¡®£® í«¥¬¥-â

® (x)

¨§ ª« áá

äã-ªæ¨© o(f)

1.3.1.

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á ®áâ â®ç-ë¬ ç«¥-®¬

¢ ä®à¬¥ •¥ -®

•ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â f(n) (x0). ’®£¤

¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥

f0 (x0)

f00

(x0)

2

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(x ¡ x0) +

(x ¡ x0) + : : : +

1!

2!

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+

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(x ¡ x0)n + o((x ¡ x0)n)

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n

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f (x) =

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(x ¡ x0)k + o((x ¡ x0)n) ¯à¨ x ! x0: (11)

k=0

k!

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n

f(k) (x )

Pn (x) =

X

0

(x ¡ x0)k

k=0

k!

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äã-ªæ¨¨ f (x) ¢ â®çª¥ x0.

n

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(x ¡ x0)k +

(x ¡ x0)n+1 : (12)

f (x) =

k!

(n + 1) !

k=0

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(12) - §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© ’¥©«®à á ®áâ â®ç-ë¬

(n+1)

ç«¥-®¬ rn (x) = f

(n+1)!(») (x ¡ x0)n+1 ¢ ä®à¬¥ ‹ £à -¦ .

•ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â fn (x0). ’®£¤

äã-ªæ¨ï f (x) ¥¤¨-á⢥--ë¬

®¡à §®¬ ¯à¥¤áâ ¢¨¬

¢ ¢¨¤¥

n

f (x) =

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x ! x0;

(13)

k=0

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¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï

(13)

®¯а¥¤¥«повбп

ä®à¬ã« ¬¨ ak =

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;

k = 0; 1; : : : ; n:

k!

1.3.4. ”®à¬ã«

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…᫨ x0 = 0, â® ä®à¬ã«

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¯à¨-¨¬ ¥â ¢¨¤

X

f(k) (0)

k

n

n

f (x) =

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x + o(x )

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(14)

k=0

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•à¨¢¥¤¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- ®á-®¢-ëå

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+ : : : +

+ o(xn) ¨«¨

2!

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n

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X

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+ o(xn) ¯à¨ x ! 0: (15)

k=0

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+

x4

+ : : : +

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+ o x2n+1

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(2n)!

2!

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¢

n

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ch x =

+ o x2n+1

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x ! 0: (16)

k=0

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¢

X

sh x = x +

x3

+

x5

+ : : : +

x2n+1

+ o x2n+2

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(2n + 1)!

3!

5!

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¢

n

x2k+1

sh x =

+ o x2n+2

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x ! 0: (17)

(2k + 1)!

k=0

¡

¢

X

x2

x4

¡ : : : + (¡1)n

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¢

¨«¨

cos x = 1

+

+ o x2n+1

2!

4!

(2n)!

¡

n

k x2k

2n+1

¡

cos x =

(¡1)

+ o x

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x ! 0: (18)

(2k)!

k=0

¡

¢

X

x3

x5

: : : + ( 1)n

x2n+1

+ o x2n+2

¢ ¨«¨

3!n+ 5! ¡

sin x = x ¡

2k+1¡

(2n + 1)!

¡

k

x

2n+2

sin x =

(¡1)

+ o x

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x ! 0: (19)

(2k + 1)!

k=0

¡

¢

X

(1 + x)® = 1 + ®x +

® (® ¡ 1)

x2 +

® (® ¡ 1) (® ¡ 2)

x3

+ : : : +

2!

3!

+

® (® ¡ 1) : : : (® ¡ (n ¡ 1))

xn + o(xn)

¨«¨

n

n!

X

x ! 0; ® 2= N; ® 6= 0;

(1 + x)® =

C®kxk + o(xn) ; ¯à¨

(20)

k=0

£¤¥ C0 = 1; Ck

=

®(®¡1):::(®¡(k¡1)) ; k = 1; 2; : : : ; ¢ ç áâ-®áâ¨,

®

®

k!

n

1

=

X

(¡1)k xk + o(xn)

¯à¨

x !

0;

(21)

1 + x

k=0

¡

n

X

1

=

xk

+ o(xn)

¯à¨

x

!

0:

(22)

1

x

k=0

x2

x3

n¡1 xn

n

¨«¨

ln (1 + x) = x ¡

2

+

3

¡ : : : + (¡1)

n

+ o(x )

n

X

xk

ln (1 + x) =

(¡1)k¡1

k

+ o(xn) ¯à¨

x ! 0;

(23)

k=1

n

xk

ln (1 ¡ x) =

X

+ o(xn)

¯à¨

0:

(24)

¡

k

x

!

k=1

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Œ ª«®à¥- ¯à¨¬¥â ¢¨¤

X

(2k) (0)

2k

¡

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f (x)

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x

+ o x

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x

! 0:

(25)

k=0

X

f(2k+1) (0) 2k+1

¡

2n+2

¢

n

f (x) =

(2k + 1) !

x

+ o x

¯à¨

x ! 0: (26)

k=0

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(26) - ¥¤¨-¨æã ¢ëè¥ á⥯¥-¨ ¯®á«¥¤-¥£® ç«¥-

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á« £ ¥¬®¥, á«¥¤ãî饥 §

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4.

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çâ® à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¥

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®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯ã⥬

¢ë¯®«-¥-¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®¯¥à 権 - ¤ ª®íää¨æ¨¥-â ¬¨

¯à¨ ®¤¨-nª®¢ëå á⥯¥-ïå. …᫨

n

X

n

X

f (x) =

akxk

+ o(xn) ; g (x) =

bkxk + o(xn) ; x ! 0; â®

k=0

X

k=0

1) f (x) § g (x) =

(ak § bk)xk + o(xn) ; x ! 0;

k=0

n

k

X

X

aibk¡i:

2) f (x) g (x) =

ckxk + o(xn) ; x ! 0; £¤¥ ck =

k=0

i=0

•à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥- á«®¦-®©

äã-ªæ¨¨

F (x) = f (' (x)) ¤® o(xn), £¤¥ ' (x) = o(1) ¯à¨ x ! 0, ¯®«ãç ¥¬

á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:

¤® o(xn);

1) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ äã-ªæ¨î ' (x) ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

2) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ äã-ªæ¨î f (y) ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

¤® o(yn);

3) § ¬¥-塞 y ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥¬ ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥-

äã-ªæ¨¨

' (x);

•à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ ä®à¬ã«®©

Œ ª«®à¥-

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= ® (x) ¢

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1+¯(x) ,

Œ ª«®à¥-

¯® ¯à ¢¨«ã ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï á«®¦-®© äã-ªæ¨¨ ¤«ï

¢-¥è-¥© äã-ªæ¨¨ 1

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1+y . ‡ ⥬ ¯¥à¥¬-®¦ ¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï

„«ï ¯®«ãç¥-¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï ç áâ-®£®

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g (x)

•ãáâì f (x) =

g(x)

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¯à¥¤áâ ¢«¥-¨©

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¢ «¥¢®© ¨ ¯а ¢®© з бвпе. •¥и¥-¨п б¨бв¥¬л п¢«повбп

ª®íää¨æ¨¥-â ¬¨ ¨áª®¬®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï äã-ªæ¨¨ f (x).

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