Иванова. Построение графиков функции

точкой максимума (минимума).

Для запоминания достаточного условия удобно использо-

вать модельные примеры: y x2 (рис. 3.1) и y x2 (рис. 3.2)

при x0 0имеют максимум и минимум соответственно:

3. Пусть существует 0, такое что функция f x диффе-

ренцируема в проколотой -окрестности точки x0 , непрерывна

в точке x0 . Тогда,

а) если существуют конечные или бесконечные правая и ле-

ма (рис. 4.2).

Замечание 2. Из теоремы Лагранжа о среднем следует, что, если

13

проколотой окрестности U x0 и существуют конечные или бесконеч-

построении графиков функций для доказательства наличия экстремума в точке разрыва производной исследуемой функции как правило рассматривают пределы производных справа и слева. Предел производной справа (слева) равен тангенсу угла наклона касательной справа (слева) в точке экстремума.

Замечание 3. Точка разрыва первого и второго рода функции f x может быть точкой локального экстремума (рис. 5.1 и

5.2).

5. Выпуклость функции вверх и вниз. Точки перегиба Определение 5. Непрерывная функция y f x называется

выпуклой вверх (строго выпуклой вверх) на отрезке a,b , если

14

для любых различных точек x1 и x2 отрезка a,b выполняется неравенство

отрезке a,b , если каждая точка любой хорды к графику функ-

ции y f x лежит не выше (ниже) графика y f x (рис. 6.1). Непрерывная функция y f x называется выпуклой вниз

(строго выпуклой вниз) на отрезке a,b , если каждая точка лю-

бой хорды к графику функции y f x лежит не ниже (выше)

графика y f x (рис. 6.2).

Достаточные условия выпуклости вверх и вниз функции

ция выпукла вверх (строго выпукла верх) на отрезке a,b .

15

ция выпукла вниз (строго выпукла вниз) на отрезке a,b .

Определение 7. Точка x0 называется точкой перегиба функ-

ции y f x , если:

1.Функция y f x непрерывна в точке x0;

2.Функция y f x имеет в точке x0 конечную или бес-

конечную определенного знака производную;

3. Функция y f x при переходе через точку x0 меняет направление выпуклости, то есть существует 0, такое что на

16

Замечание 4. Если функция y f x дважды дифференци-

руема в окрестности точки x0, и x0 — точка перегиба функции y f x , то график функции переходит с одной стороны касательной на другую. Обратное неверно.

Пример 9. Доказать, что, из того, что график функции y f x в точке x0 переходит с одной стороны касательной на другую не следует, что точка x0 является точкой перегиба функ-

0,x 0

x0 0 график функции имеет горизонтальную касательную, и

переходит с одной стороны касательно на другую, но точка x0 не является точкой перегиба функции f x , так как не существует левой и правой окрестностей точки x0, в которых сохраняется направление выпуклости функции f x . ◄

3. Дифференцирование функции, аналитическое выражение которой содержит модуль

17

1) При исследовании с помощью производной поведения графика функции, аналитическое выражение которой содержит модуль, удобно производить дифференцирование по правилу

во всех точках дифференцируемости функции справедлива фор-

равна нулю во всех точках дифференцируемости.

Пример 10. Найти первую и вторую производные функции

4.Основные требования к результатам исследования

ипостроению графика

1.Все результаты исследования функции следует обосновать в ходе решения. Все исследования функции, включая все необходимые вычисления: вычисления пределов функции, вычисления производных, решения уравнений, являются необходимой частью решения задачи на построение графика функции или кривой.

2.Все результаты должны быть получены точно. Необходимые приближенные вычисление привести в решении задачи.

3.Масштаб построения графика следует выбирать так, чтобы были отражены основные характерные моменты поведения графика функции.

4.На рисунке изобразить вертикальные и наклонные асимптоты, указать уравнения асимптот.

18

5.Обозначить точки минимума и максимума функции, указать их координаты.

6.Обозначить точки разрыва производной, указать их координаты. Изобразить односторонние касательные (если они существуют). В случае существования конечной односторонней производной указать тангенс угла наклона односторонней касательной.

7.Обозначить точки перегиба графика функции, указать их координаты. Указать точное значение производной или тангенс угла наклона касательной в точке перегиба. Изобразить касательную к графику функции в точке перегиба.

19