Доброхотов

ih

∂ψ

= −

h2 ∂2ψ

+ V (x)ψ,

(1.1)

∂t

2 ∂x2

ψ|t=0 = ψ0(x) = A0

iS0(x)

(x)e

,

(1.2)

h

iS(x;t)

ψ = A(x, h)e

,

A(x, t) = A0(x, t) + hA1(x, t) . . . + hA0k(x, t).

(1.3)

h

Подставляя ψ âèäà

WKB

Sch1

(1.3) â

(1.1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых сте-

пенях h к нулю, получим уравнение Гамильтона-Якоби для функции S(x, t)

∂S

+

1

(

∂S

)2 + V (x) = 0,

(1.4)

∂t

2

∂x

S|t=0 = S0(x),

(1.5)

и уравнения переноса

∂A0

∂S ∂A0

1 ∂2S

+

+

A0 = 0,

(1.6)

∂t

∂x ∂x

2

∂x2

A0|t=0 = A0(x),

(1.7)

∂Aj

+

∂S ∂Aj

+

1

∂2S

Aj =

i

∂2Aj−1

,

(1.8)

∂t

∂x ∂x

2 ∂x2

2 ∂x2

Aj|t=0 = 0,

(1.9)

A(x, t)

∂A

∂H

∂A

1

∂2H ∂2S

+

,

+

tr

A + GA = 0.

(1.11)

∂t

∂p

∂x

2

∂

2 ∂

2

Tr0

∂p

∂2H ∂2(S

p

p

)

∂p

(

)

Здесь G(p, x, t) гладкая функция, tr

∂p2 ∂p2

след произведения матриц вторых про-

изводных, аргументы у ∂H , ∂2H2 , G ñóòü (p =

∂S , x, t). Наряду с однородным уравнением

∂x

(1.11) иногда приходится рассматривать и неоднородные уравнения переноса:

∂A

∂H

∂A

1

∂2H ∂2S

+

,

+

tr (

)A + GA = F,

(1.12)

∂t

∂p

∂x

2

∂p2

∂p2

где аргументы у F ñóòü (p = ∂S

, x, t).

∂x

p2

H =

+ V (x).

(1.13)

2

одномерном случае (x R)

H± = ±(x)p,

(1.14)

и в многомерном случае (x Rn, n ≥ 2)

H± = ±(x)|p|, |p| = √

.

p12 + . . . + pn2

(1.15)

условию Sx ̸= 0.

HJ0

Tr0

Рассмотрим для уравнений (

1.10),(1.11) задачи Коши:

S|t=0 = S0(x),

(1.16)

A|t=0 = A0(x),

(1.17)

ãäå (S0(x), A0(x)) -гладкие функции. Уравнения (

HJ0

Tr0

1.10),(1.11) первого порядка, поэтому

p˙ = −

∂H

∂H

, x˙ =

,

(1.18)

∂x

∂p

∂S0

p|t=0 = p0(α) =

(α), x|t=0 = α Rn.

(1.19)

∂x

S(x, t) = S0(α) +

∫0 t

( p, Hp − H)(P (α, τ), X(α, τ), τ)dτ

α=α(x,t)

0

(α) exp

t

1

A

G)(P(α, τ), X(α, τ), τ) dτ

A(x, t) =

∫0

(

2 trHpx −

)

α=α(x,t).

J(α, t)

Здесь

√

∑

n

∂2H

−

∂H

−Vx,

H

p˙ =

=

x˙ =

= p,

(1.24)

∂x

∂p

p|t=0 = p0(α) =

∂S0

(α), x|t=0 = α R.

(1.25)

∂x

Обозначим эти решения P (α, t), X(α, t). Предположим, что при t [0, T ] якобиан

J(α, t) =

∂X

̸= 0.

∂α

Тогда при таких t решения S(x, t), Aj(x, t)

существуют, единственны и определяются

формулами

S(x, t) = S0(α) + ∫0 t(pHp − H)(P (α, τ), X(α, τ))τ

α=α(x,t)

(1.26)

Здесь α(x, t) решение уравнения (1.20).

A0(α)

√

A

x, t) =

.

(1.27)

0(

alpha1

J(α, t) α=α(x,t)

∫

x

2

√

π

x

S = x +

e−y

/2 d y = x +

erf(√

).

(1.28)

2

0

2

Ham1

Ham1a

Тогда задача

(1.24),(1.25) имеет вид

p˙ = 0, x˙ = Hp, p|t=0 = p0(α) = 1 + e−α2/2, x|t=0 = α R,

(1.29)

а ее решение есть

= P (α, t) ≡ p0(α) ≡ 1 + e−α2/2, x = X(α, t) = α + tHp(p0(α)).

(1.30)

Якобиан J(α, t) = 1 + H

(p

(α))dp0 (α) = 1

−

αe−α2

/2H

pp

(p

(α)). Изучим решения, соот-

pp

0

dp0

0

Λt = { = P (α, t), x = X(α, t), α R},

(1.32)

Пример 5. Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора

Ðàñ-

смотрим пример гармонического осциллятора. Тогда V (x) = x2

/2 и уравнение

Sch1

(1.1)

примет вид

∂ψ

= −

h2 ∂2ψ

x2

ih

+

ψ.

(1.34)

∂t

2

∂x2

2

P (α, t) = −α sin t + p0(α) cos t, X(α, t) = α cos t + p0(α) sin t.

(1.35)

íà óãîë t ( с учетом знака t). Якобиан J

= cos t +

∂p0(α)

sin t. Равенство J

= 0 имеет

∂α

место в точках α, в которых

∂p0(α)

ctg t = −

.

(1.36)

∂α

Если якобиан не обращается в ноль, то

S(x, t) = [S0(α) − αp0(α) sin2 t +

1

((p0(α))2 − α2)sin 2t] α=α(x,t),

(1.37)

4

∂p0(α)

∂2S0

Osc2

Поскольку

=

∂x2 (α), то правая часть в (

1.36) имеет постоянный знак. Отсюда

∂α

следует, что J ̸= 0

ïðè

t [0, π/2]

, åñëè

íà

0

∂2S0

è

t [0, −π/2]

, åñëè

(a)

suppA

∂x2 > 0

2

0

(b) íà suppA0

∂

S

< 0.

2

∂x

построенные асимптотики решения в моменты времени

t =

±

π/2. Положим в случае

(a) t = π/2 и в случае (b) t = −π/2. Тогда уравнение

alpha1

(1.20) принимает вид

p0(α) = q,

ãäå

q = x

в случае

(a)

è

q = −x,

в случае

(b)

(1.38)

ïðè ýòîì

∂p0(α)

∂2S0

и окончательно

S(x, ±π/2) = Φ(q) = [S0(α) − αp0(α)]|α=α(q), J = ± ∂α |α=α(q) = ∂x2

(α(q)) ,

ψ(x, ±π/2) =

A0(α(q))

i (q)

e

h

.

(1.39)

√

|

∂2S0

(α(q))

∂x2

Пример с квадратичной2

фазой. Рассмотрим

пример

конкретной функции

S0(x) = k(x

−

ξ) +

b(x−ξ)

k, ξ

. Тогда

0

(α) = k + b(α

−

ξ),

∂p0

2

, зависящей от параметров

p

= b. Ïðè ýòîì

∂α

P (α, t) = −α sin t + (k + b(α − ξ)) cos t,

X(α, t) = α cos t + (k + b(α − ξ)) sin t,

(1.40)

J = cos t + b sin t.

(1.41)

Osc1a

R2

Уравнения

(1.40) определят на фазовой плоскости

px прямые, которые со временем

t вращаются вокруг начала координат. Якобиан

J

обращается в ноль когда cot t = b-

тогда кривая Λt становится вертикальной. Решение уравнение для α äàåò

α(x) =

x − (k − bξ) sin t

cos t + b sin t

è

2x(k − bξ) + (b(x2 + ξ2) −

2kξ) cos t − (x2 + k2) sin t

S(x, t) =

(1.42)

2(cos t + b sin t)

Таким образом

A0(

x−(k−bξ) sin t

)

i

2x(k − bξ) + (b(x

2

+ ξ

2

)

− 2kξ) cos t − (x

2

+ k

2

) sin t

ψ =

cos t+b sin t

exp

[

]

(1.43)

√cos t + b sin t

{h

2(cos t + b sin t)

}

Это асимптотика работает

на промежутке

[0, T ]

, ïîêà

J ̸= 0 cot t

̸= b.

Заметим, что

ïðè A

0

= 1 и формула

psi2

(3.8) дает точное решение задачи Коши. Действительно, J íå

зависит от α, и, следовательно, производные от

A0

по переменной x равны 0. Поэтому

TR3

как правые

части, так и начальные условия в (

1.8) равны 0 и в разложении для A â

WKB

формуле

(1.3) остается только одно слагаемое. Выпишем это точное решение

ψ =

1

exp

i

[

2x(k − bξ) + (b(x2 + ξ2) − 2kξ) cos t − (x2 + k2) sin t

]

.

(1.44)

√cos t + b sin t

{h

2(cos t + b sin t)

}

Групповая и фазовая скорости.

iS(x;t)

Решение вида A(x, h)e

в случае когда A(x, h) финитная функция называют волно-

h

вым пакетом. Изучим случай, когда амплитуда A0 вещественна и имеет вид шапочки ,

локализованной в окрестности некоторой точки

x0. Рассмотрим вещественную часть

ВКБ-решения Re A(x, t)e

iS(x;t)

= A(x, t) cos