Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

FunkAn (2)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

417.2 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Ÿ 1 Интеграл Римана и интеграл Лебега

Определение 1.1 Скажем, что множество

E Rn

элементарно, если оно есть объединение конеч-

ного или счетного числа параллелепипедов

Πk = {x = (x1, . . . , xn) Rn | xj (ajk , bjk ) },

k N,

(1.1)

Определение 1.2 Говорят, что множество

A Rn имеет ( n -мерную) меру нуль, говорят так-

же имеет меру нуль в

Rn , если для всякого

ε > 0

существует такое элементарное множество

Πk.

∑

∏

∞

E = k=1 Πk , ÷òî 1) A E; 2)

k=1 µ(Πk) < ε , ãäå

µ(Πk) = j=1(bjk − ajk )

есть мера (т.е. объем)

параллелепипеда

Ясно, что граница параллелепипеда Π = {x

= (x1, . . . , xn) Rn

| xj (aj, bj) },

т.е. множество

∂Π = Π \ Π,

состоит из конечного числа параллелепипедов размерности, меньшей

n. Поэтому ∂Π

имеет ( n -мерную) меру нуль. Это позволяет дать такое

) R

Определение 1.3

Мерой замкнутого

параллелепипеда

Π = {x = (x1, . . . , x

| xj

[aj, bj] }

j∏

называется его объем, т.е. число, равное µ(Π) =

(bj − aj).

ру нуль. Вывести отсюда, что множество

Задача 1.1 Доказать, что множество A =

имеет меру нуль, если каждое

имеет ме-

j≥1

рациональных чисел

имеет в

ìåðó íóëü, à ìåðà

иррациональных чисел, принадлежащих отрезку

[a, b] , равна

b − a.

∑

= ε.

Указание.

j≥1

Определение 1.4 Канторово1 множество C0 это подмножество отрезка [0,1], которое получа-

ется из отрезка [0,1] последовательным выбрасыванием на

-îì (

≥ 0

) шаге итерации 2k интер-

валов из середины оставшихся на предыдущем

отрезков, причем длина

(k − 1) -ом шаге итерации 2k

каждого такого выбрасываемого интервала равна 1/3 длины соответствующего отрезка. Так, на 0-

ом шаге из отрезка [0,1] выбрасывается интервал (13 , 23 ), на 1-ом шаге выбрасываются 2 срединных интервала, длины (13 )2 из оставшихся после 0-го шага 2-х отрезков.

Задача 1.2 Доказать, что множество C0 имеет мощность континуума, т.е. существует взаимнооднозначное соответствие между C0 è [0, 1], а потому и всей прямой R. Проверить, что множество C0 (несмотря на то, что оно находится во взаимно-однозначном соответствии с [0, 1] ) имеет меру нуль, иными словами, мера всех выброшенных интервалов, т.е. их суммарная длина, равна 1.

Указание. Точки множества C0 (концевые точки выбрасываемых интервалов) находятся во взаимнооднозначном соответствии с представлениями чисел в троичной системе счисления, использующими лишь цифры 0 и 2, а потому с двоичными представлениями чисел, использующими лишь цифры 0 и 1. А такие бесконечные двоичные представления находятся во взаимно-однозначном соответствии с точками отрезка [0, 1] C0.

Замечание 1.1 Если из отрезка [0, 1] выбросить срединный интервал длины		a , ãäå 0 < a < 1,
затем из оставшихся двух отрезков выбросить их срединные интервалы длины	a	2
	a
	8	и продолжить эту

процедуру, выбрасывая на ее n -ом шаге из оставшихся 2n отрезков их срединные интервалы длины

22 a+1 , то мы получим множество Ca, выбросив из отрезка [0, 1] счетное число интервалов общей

длины a < 1. Тем самым, это множество Ca не есть множество меры ноль, но оно, как и C0 нигде не плотно и замкнуто.

Определение 1.5 Говорят, что то или иное свойство P (x), зависящее от точки x Ω Rn, справедливо почти всюду (сокращено пишут: п.в.), если множество точек x, ãäå P (x) не реализуется, имеет ( n -мерную) меру нуль. Говорят также, что P (x) верно для почти всех x Ω .

1Георг Кантор (1845-1918) немецкий математик. Родился в Санкт-Петербурге. Первые работы Кантора посвящены рядам Фурье. В ходе этих исследований он создал теорию иррациональных чисел, получившую широкое признание. В 1874 доказал, что множество всех действительных чисел является несчетным.

называют такую функ-

Определение 1.6 Ступенчатой функцией на открытом множестве Ω Rn

öèþ f : Ω → R , которая в Ω является конечной линейной комбинацией характеристических функций

неких параллелепипедов

Πk , k = 1 , . . . ,

N, ãäå

N N, ò.å.

∑

ck · 1Πk (x),

ck R,

x Ω .

f(x) =

(1.2)

k=1

При этом сумма

k=1 ck · µ(Πk)

называется интегралом ступенчатой функции (1.2) и обозначается

∫

, или даже просто

∫

или коротко

через

f(x) dx ,

∑

f(x) dx

Ω

Определение 1.7 Пусть

{Π} = {Πk}kN=1

система непересекающихся прямоугольников

(1.1), çà-

мыкание объединения которых содержит множество

Ω Rn.

Говорят, что {Π} = {Πk}kN=1

задает

def

− ajk )).

∂

∂Π

Ω на ячейки масштаба

max

max (b

разбиение

{

}

множества

∆Π =

k=1

∂{Π } ∂{Π }.

1≤k≤N(1≤j≤n

для каждого

Πk

. В этом случае

Скажем, что разбиение {∂Π2} = k=1 ∂Πk2

вкладывается в разбиение

∂{Π1} = j=1 ∂Πj1,

åñëè Πj1 Πk2

будем писать

Задача 1.3 Переформулируйте в терминах элементов множества

R предыдущее определение для

случая, когда

n = 1,

Ω = (a, b) R.

ограничена по модулю:

Числа

Ω Rn на ячейки, а функция

Определение 1.8 Пусть

∂Π =

∂Πk

разбиение множества

S− =

∑

m− µ(Π ) ,

f(x)

| ≤

const

Ω.

k=1

µ(Π )

k=1

x Πk f(x), mk− = x Πk

∑

ãäå

= sup

inf f(x) называются, соответственно, верхней и нижней суммами Дарбу

функции f, подчиненные разбиению

∂Π.

Определение 1.9 Говорят, что неубывающая почти всюду последовательность функций

fn : Ω → R

сходится почти всюду к функции

f : Ω → R,

если для почти всех

x Ω

f1(x) ≤ f2(x) ≤ · · · ≤ fn(x) ≤ . . . ,

nlim→∞ fn(x) = f(x) .

При этом пишут: fn ↑ f п.в. Аналогичный смысл имеет обозначение

fn ↓ f

ï.â.

Задача 1.4 a). Пусть (см. определение 1.7)

∂{Π1} ∂{Π2} . . . ∂{Πn} . . . .

Доказать, что множе-

ñòâî

n≥1

∂{Πn}

имеет меру нуль. Проверить, что последовательность соответствующих нижних

lim S−n

(верхних) сумм Дарбу2 монотонно не убывающая (не возрастающая) и потому существуют

è lim SΠ+n . При этом, пределы

n→∞

S−(f) =

lim S−n

S+(f) =

lim S

n→∞

этих монотонных последовательностей

SΠ−n (↑)

è SΠ+n (↓)

не зависят от выбора последовательности

{∂Πn}n≥1

разбиений, если

nlim ∆Πn = 0 (т.е. когда все линейные размеры ячеек разбиения

∂{Πn}

стремятся к нулю).

→∞

и нижняя SΠ−n суммы Дарбу функции f, подчиненные разбиению

b). Проверить, что верхняя SΠ+n

∂{Πn} =

∂Πkn , равны, соответственно, интегралам следующих ступенчатых функций

∑

f±n

: Ω

f±(x) =

m±

Πk

(x) ,

причем

f−n

↑

ï.â.

f+n

↓

ï.â. , åñëè

lim

∆n

= 0 . (1.3)

7→

k ·

k=1

→∞

c). Проверить, что

S−(f) = S+(f),

åñëè

−n

↑

ï.â. è

f+n

↓

ï.â. ïðè lim

∆n

= 0.

→∞

2Жан-Гастон Дарбу (1842 1917) французский математик. Известен благодаря своим результатам в математическом анализе и дифференциальной геометрии.

Пункт c) задачи 1.4 позволяет дать
Определение 1.10 Åñëè f−n	↑	f ï.â., à	f+n	↓	f ï.â. ïðè lim	∆n	= 0, то функция f : Ω	→ R	íà-
Π	↑		Π	↓	n	Π		→ R
					→∞

зывается интегрируемой по Риману 3, а число S−(f) = S+(f) называется (определенным) интегралом
Римана функции f и обозначается так: ∫Ω f(x) dx.			4
Задача 1.5 Проверить, что пределы нижней и верхней сумм Дарбу для функции Дирихле
D(x) = {0,	x	R Q.	(1.4)
1,	x	Q,

различны. Тем самым, эта функция не интегрируема по Риману, хотя она отличается от некоторой непрерывной (какой?) на множестве меры нуль.

Впрочем, пространство функций, интегрируемых по Риману, весьма широко. А именно, f : Ω → R интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она почти всюду непрерывна. В самом деле, если

ступенчатые функции (1.3) таковы, что fΠ−m (x) ↑ f(x) è fΠ+m ↓ f(x) для почти всех x, а точка x0 есть точка непрерывности ступенчатых функций fΠ−m è fΠ+m (заметим, что множество всех иных имеет

меру нуль), то эта точка x0	будет также точкой непрерывности функции f.									Обратно, если f почти
всюду непрерывна, то f−m (x )		↑	f(x )	è f+m (x )		↓	f(x )		в каждой точке x	непрерывности функции
Π	0	↑	0	Π	0	↓		0	0
f и потому S−(f) = S+(f).
Задача 1.6 Проверить непосредственно, что функция
R(x) =		{0,		иначе	x = m/n			−		(1.5)
			1/n,	åñëè	x = m/n				не сократимая дробь,

1)непрерывна почти всюду;

2)на любом компакте интегрируема по Риману (т.е. S−(R) = S+(R) ).

Указание. Пусть N N, à MN множество точек вида mn , ãäå n ≤ N. Тогда R(x) < 1/N в остальных точках. Далее, составим верхнюю сумму Дарбу, соответствующую такому разбиению компакта [0, 1] ,

в которое как его часть входит объединение ON интервалов, содержащих точки множества MN , ïðè- ÷åì µ(ON ) < 1/N . Имеем sup R(x) < 1/N. Поэтому S+(R) < 2/N. Значит S+(R) = 0 â ñèëó

x [0,1]\ON

произвольности N.

Хотя пространство функций, интегрируемых по Риману, весьма широко, однако оно не полно относительно сходимости, определяемой интегралом Римана, аналогично тому, как множество рациональных чисел (в отличие от множества действительных чисел) не полно относительно сходимости, определяемой евклидовым расстоянием на прямой. Действительно, рассмотрим последовательность функций fk, заданных формулой

	fk(x) = x−1/2 ïðè x (1/k, 1)	è		fk(x) = 0 ïðè x (0, 1/k].
ñÿ	∫			1
Очевидно, что	01 \|fm(x) − fn(x)\| dx → 0 ïðè m	è	n	→ ∞ , т.е. последовательность {fk} являет-

фундаментальной относительно сходимости, определяемой∫ интегралом Римана. Ясно также, что fk(x) ↑ f(x) = x−1/2 для любой точки x (0, 1), причем 0 fk(x) dx ≤ 2. Отсюда, как будет видно из

3Бернхард Риман (1826-1866) немецкий математик, механик и физик. За свою короткую жизнь (всего 10 лет трудов) он преобразовал сразу несколько разделов математики. Он положил начало геометрическому направлению теории аналитических функций; им введены так называемые римановы поверхности, разработана теория конформных отображений и даны в связи с этим основные идеи топологии. Риман указал связь распределения простых чисел со свойствами дзета-функции, в частности, с распределением ее нулей в комплексной области так называемая гипотеза Римана. В ряде работ он исследовал разложимость функций в тригонометрические ряды и в связи с этим определил необходимые и достаточные условия интегрируемости в смысле Римана, что имело важное значение для теории множеств и функций действительного переменного. Созданная им так называемая риманова геометрия предварила то, что было сделано в общей теории относительности.

4Леж¼н Дирихле (1805-1859) немецкий математик, внесший существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел. Его предки были выходцами из Бельгии, чем обусловлена необычная для немецкого языка фамилия, а также имя Леж¼н (от фр. Le Jeune молодой человек).

дальнейшего (а именно, из теоремы Беппо Леви5 и интегрируемости по Риману тех функций, которые интегрируемы по Лебегу6) вытекает, что предельной для фундаментальной последовательности {fk} могла бы быть лишь функция f : x 7→x−1/2. Но она не ограничена и потому верхняя сумма Дарбу

стремится к бесконечности при стремлении к нулю шага разбиения интервала (0,1), т.е. эта функция f

не интегрируема по Риману.

Может показаться, что причина неполноты относительно сходимости, определяемой интегралом Римана связана с неограниченностью функций, образующих фундаментальную последовательность. Это не так. В этом легко убедиться, рассмотрев последовательность {fn} характеристических функций от-

резков, оставшихся после n -го шага процедуры построения множества Ca, указанного в замечании 1.1. Отмеченная неполнота относительно сходимости, определяемой интегралом Римана, и ряд других причин побудили к развитию понятия интеграла. Особую роль по своей значимости занимает интеграл Лебега. В 1901 г. 26-летний Анри Лебег ввел пространство L = L(Ω) функций, определенных на от- крытом множестве Ω Rn и называемых ныне интегрируемыми по Лебегу, а также интеграл, носящий

теперь его имя. Ниже дается (предложенное Ф. Риссом7) конструктивное построение интеграла Лебега и пространства L(Ω) . Приводятся также ряд важных результатов теории интеграла Лебега.

Принципиальная разница между конструкциями функций f , интегрируемых по Лебегу и интегрируе-

мых по Риману, заключается в том, что требование, определяющее функции интегрируемые по Риману , а именно:

f = f− = f+

почти всюду в Ω ,

(1.6)

ãäå

f− =

lim f−n ï.â.,

f+ = lim f+n (x) ï.â. ïðè

lim

∆n

= 0, точнее: f−n

↑

f−

ï.â. è f+n

↓

f+ ï.â.

n→∞

заменяется на следующее, более слабое:

f = f1 − f2

почти всюду в Ω ,

(1.7)

ãäå

f1 è

f2 являются пределами почти всюду неубывающих последовательностей ступенчатых функций,

интегралы которых ограничены, т.е.

fn1

↑ f1 ï.â.,

fn2

↑ f2

ï.â. è

fn1 ≤ const,

fn2 ≤ const, ÷òî

∫

также гарантирует существование

= nlim

f2 = lim

f2, а потому и числа

f(x) dx =

→∞

∫n

∫

→∞

Ω

называемого интегралом Лебега функции

∫ f (x) dx

− ∫ f (x) dx,

f L(Ω).

ΩΩ

Задача 1.7 1). Доказать, что

max{f, 0} è min{−f, 0}, а потому и

|f| = max{f, 0} − min{f, 0} èí-

тегрируемы по Лебегу, если

f L(Ω).

|f| L(Ω).

2). Доказать, что

интегрируема по

ï.â. è

ступенчатой. При этом

max fn1, 0

Лебегу, если

max f1, 0

const .

max f1, 0} ï.â. è ∫

Указание. Если ступенчатая функция

fn1 ↑ f1

∫

fn1

≤ const, то функция max{fn1, 0} является

Следствие 1.1 Пусть

è{

} ↑

{Тогда

{

} ≤

интегрируемы по Лебегу, ибо

L(Ω).

max{f, g}

min{f, g}

max{f, g} = 2 [(f + g) + |f − g|],

min{f, g} = − max{−f, −g}.

Задача 1.8 Проверить, что функция

f интегрируемая по Лебегу, если она интегрируема по Риману.

Указание. fΠ−n ↑ f п.в., а интегралы от ступенчатых функций

fΠ−n ограничены.

Задача 1.9 Проверить, что функция Дирихле

(1.4) интегрируемая по Лебегу. Найти ее интеграл.

õîòÿ fn(x) → 0 для любого

x Ω.

∫

Задача 1.10 Привести пример последовательности функций

fn L(Ω), для которой fn(x) dx ̸→0,

Ω

Приведем два важных результата8 о предельном переходе под знаком интеграла , которые помогут доказать теорему Рисса Фишера о полноте пространства L = L(Ω).

5В отличие от французских математиков Мориса Леви (1838-1910) и Поля Леви (1886-1971), Беппо Леви (1875-1961) итальянский математик. Кроме работ, связанных с интегралом Лебега, Б. Леви внес большой вклад в теорию разрешения особенностей алгебраических поверхностей.

6Анри Лебег (1875-1941) французский математик. Наиболее известен как автор теории интегрирования. Ему принадлежат работы по теории размерности, теории функций, теории дифференцирования и мн. др.

7Фридьес Риcc (1880-1956) венгерский математик, основатель современного функционального анализа.

8Их доказательства достаточно просто изложены, например, в учебнике Г.Е. Шилова Математический анализ. Специальный курс . Георгий Евгеньевич Шилов (1917-1974) выдающийся ученый и педагог, автор всемирно известных монографий и учебников. Он был одним из ведущих профессоров МГУ.

Теорема 1.1 (Беппо Леви)

Пусть fN L = L(Ω) è fN ↑ f

п.в. Если существует константа

C ,

такая, что

∫ fN ≤ C

для любого

, òî

f L(Ω)

lim

N→∞ ∫ fN = ∫

Лемма 1.1 (П. Фату)

9 Пусть gn L , gn

≥ 0 è gn → g

ï.â. Åñëè

∫ gn ≤ C < ∞ для любого n

, òî

g L è 0 ≤

g ≤ C .

Теорема 1.2∫(Ф. Рисс и Р. Фишер)

10 Пространство

, снабженное нормой

φ = ∫ |φ|

, являет-

ся банаховым11.

12 Пусть

φn − φm → 0 ïðè n , m → ∞ . Тогда существует возрастающая последовательность ин-

дексов

k≥1 , такая, что

φn − φnk =

|φn − φnk | ≤ 2−k

äëÿ âñåõ

n > nk . Положим

fN (x) =

N−1

{

}

Последовательность∫

{fN }N∞=2

является возрастающей и

∫

fN ≤ 1

. Согласно

|φnk+1 (x) − φnk (x)|.

∞

k∑

теореме Б.Леви, f = Nlim

fN L(Ω). Следовательно, ряд

|φnk+1 (x) − φnk (x)| сходится почти всю-

→∞

k=1

ду. Тем самым, ряд

∞

φnk+1 (x) − φnk (x)

∑

k=1

тоже сходится почти всюду. Иными словами, для почти

âñåõ

существует13

lim

(x) . Обозначим этот предел через φ(x). Покажем, что φ

L è ÷òî

∑m

(

)

→∞

N ≥ 1 , ÷òî

|φnm (x) − φnk (x)| dx ≤ ε ïðè

nlim φn − φ = 0 . Имеем: для любого

ε > 0 существует

→∞

nm ≥ N , nk ≥ N . Полагая gnm (x) = |φnm (x)

− φnk (x)| и опираясь на

лемму Фату, перейдем к пределу

∫

ïðè nm → ∞ . Получим: |φ − φnk | L è

|φ(x) − φnk (x)|dx ≤ ε . Согласно задаче 1.7, φ − φnk

Тем самым,

φ L

, à

φ − φnk → 0

ïðè

k → ∞

. Отсюда

φ −

φn → 0

ïðè

n → ∞

, òàê êàê

∫

φ − φn ≤ φ − φnk + φnk − φn .

Следующая теорема о предельном переходе под знаком интеграла одна из самых значимых теорем теории интеграла Лебега.

Теорема 1.3 (Лебег) Пусть fn L(Ω) и пусть fn(x) → f(x) почти всюду в Ω . Если существует функция g L(Ω) , называемая мажорантой, такая, что |fn(x)| ≤ g(x) äëÿ âñåõ n ≥ 1, òî f L(Ω)

è ∫	lim	∫	fn	.
	f = n→∞

Пусть L(g) = {φ L(Ω) | − g ≤ φ ≤ g}. Это множество замкнуто относительно монотонных

предельных переходов, т.к. (в силу теоремы Б.Леви) если

φn

(g) è φn

↑

φ+

èëè φn

↓

φ−, òî

предельные функции φ+

è φ−

принадлежат множеству

→ ∞

(g). Замечая, что при k

+ def

L(g) max{fn, fn+1, . . . , fn+k} ↑ Fn

= sup{fn, fn+1, . . .}

(1.8)

def

L(g) min{fn, fn+1, . . . , fn+k} ↓ Fn−

= inf{fn, fn+1, . . .} ,

(1.9)

получаем: Fn± L(g). ßñíî, ÷òî

Fn+ ↓, à

Fn− ↑ . Поэтому для почти всех

x Ω,

а именно, для тех

x Ω, ãäå fn(x) → f(x),

имеем:

f(x) è F −(x) = inf

F +(x) = sup

{

(x), f

n+1

(x), . . .

{

f (x), f

n+1

(x), . . .

f(x) .

} ↓

} ↑

9Пьер Фату (1878-1929) французский математик, работавший в области голоморфной динамики, приведшей в дальнейшем к так называемым множествам Мандельброта.

10Рональд Фишер (1890-1962) - английский математик, статистик и генетик.

11Нормой в линейном пространстве X называется такая функция ·: X f 7→f R , которая обладает следущими


свойствами: f > 0 ïðè f ̸= 0 X, 0 = 0, λf = \|λ\| · f	для любого числа λ , f + g ≤ f + g . Слова
¾пространство X снабжено нормой¿ означают, что в пространстве	X вводится понятие сходимости. А именно, fn → f
ïðè n → ∞ , åñëè ρ(fn, f) → 0 , ãäå ρ(fn, f) = fn −f . При этом говорят, что пространство X		является нормированным.
Введенная функция ρ обладает, как легко видеть, следующими свойствами: ρ(f, g) = ρ(g, f) ,		ρ(f, h) ≤ ρ(f, g) + ρ(g, h) ,
причем ρ(f, g) > 0 , åñëè f ̸= g , à ρ(f, f) = 0 . Если на множестве	X × X определена функция ρ , обладающая указан-
ными свойствами, то она называется расстоянием â X , à ïàðà (X, ρ) называется метрическим пространством (вообще

говоря, нелинейным). Ясно, что нормированное пространство является линейным метрическим пространством. Метриче- ское пространство называется полным, если для любой фундаментальной последовательности {fn}n≥1 (это значит, что

ρ(fn, fm) → 0 ïðè n, m → ∞ ) существует такое f X , ÷òî ρ(fn, f) → 0 . Если нормированное пространство полно,

то оно называется банаховым в честь Стефана Банаха (1892-1945) польского математика, который ввел в науку нормированные пространства и получил фундаментальные результаты для линейных операторов, действующих в банаховых

пространствах.

12Иногда начало и конец доказательств отмечаются соответственно такими символами: и .

13 Тем самым, фундаментальная последовательность в L содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.

Вспоминая, что

L(g) замкнуто относительно монотонных переходов, получаем, что f L(g) L. À

èáî ∫ Fn− → ∫

è ∫ Fn+

→

∫ f.

∫

òàê êàê F −(x)

≤

fn(x)

≤

+(x) для почти всех x

Ω, òî

F −

≤

F +

и потому

lim fn = f,

→∞

Замечание 1.2 Можно показать, что если f интегрируема по Лебегу, то характеристическая функ-

def
öèÿ 1{f≤a} множества {f ≤ a} = {x Ω \| f(x) ≤ a } интегрируема по Лебегу.
Задача 1.11 Пусть f L(Ω). Показать, что характеристические функции 1{a<f≤b},				1{f>b}, 1{f=c}
множеств
def	} ,	def	def
{a < f ≤ b} = {x Ω \| a < f(x) ≤ b	} ,	{f > b} = {x Ω \| f(x) > b } , {f = c}	= {x Ω \| f(x) = c }
интегрируемы по Лебегу. Указание.	1{a<f≤b} = 1{f≤b} − 1{f≤a} .
Определение 1.11 Если характеристическая функция 1A множества A Ω интегрируема, то
множество A называется измеримым, а его мерой (Лебега) называется число			µ(A) =	∫ 1A.

Замечание 1.3 Можно показать, что ограниченное открытое или замкнутое множество измеримо. Измеримо также счетное пересечение измеримых множеств. А если счетное объединение измеримых множеств ограничено, то оно также измеримо.

Замечание 1.4 Итальянский математик Джузеппе Витали (1875 - 1932) был первым, кто в 1905 году построил неизмеримое (по Лебегу) множество A (0, 1) R. При построении учитывается то, что мера

Лебега µ обладает двумя свойствами:

1) она инвариантна относительно сдвигов, т.е. µ(A + x) = µ(A) для любой точки							x R и любого мно-
жества	A R с конечной мерой µ(A) ;				∑
{Aj}j1=1	попарно непересекающееся семейство множеств Aj с конечной				∑
					1			1
2) она счетно-аддитивна (говорят также		σ -аддитивна), т.е. µ(A) =			µ(Aj),		åñëè A =	Aj, ãäå
					j=1			j=1
				мерой.
Поэтому для построения искомого множества			A (0, 1) достаточно выбрать из интервала					(0, 1) ñ÷åò-
					1		j
							1
ное множество непересекающихся подмножеств			Aj, таких, что µ(Aj) = µ(A) > 0				è A =	µ(Aj), èáî
					j∑		=1
					j∑
тогда, предположив измеримость множества		A, получим противоречие: µ(A) =				=1 µ(Aj) = ∞.
Определим множество A (используя так называемую аксиому выбора 14					теории множеств) как множе-

ство представителей классов смежности интервала (0, 1], точки которых отождествляются, если они отличаются на рациональное число. При этом от каждого класса смежности, берется по од√íому представителю.

Например, обозначая через x = x − [x] дробную часть числа x, можно взять число 2 в качестве предста-

√

вителя класса смежности 2 + Q . Что же касается Aj, то это множество определим как множество чисел вида xA + j , ãäå xA A.

Обозначая через x = x−[x] дробную часть числа x, возьмем для каждой точки x (0, 1) класс смежности x + Q по множеству рациональных чисел. Выберем (используя так называемую аксиому выбора теории

множеств) по одному предстаâителю из каждого такого класса смежíости. Например, в качестве предста-
вителя класса смежности	√	можно взять, скажем, число	√	. Определим множество	A	êàê
	2 + Q		2 + 1/2		A

объединение выбранных представителей классов смежности. Что же касается Aj, то это множество опре-


делим как множество чисел вида				xA + j , ãäå xA A.
	множество представителей этих классов смежности (по одному ин представитель от каждо-
äëÿ êàê		√	èëè √	являются в качестве представителя класса смежности	√	2 + Q .	Пусть
го. Например,		2	2 + 1/2			2 + Q .

Рассмотрим сначала классы смежности интервала (0, 1], точки которых отождествляются, если они отли- чаются на рациональное число. Определим множество A (используя так называемую аксиому выбора теории множеств) как множество представителей классов смежности интервала (0, 1], точки которых отождествляются, если они отличаются на рациональное число. При этом от каждого класса смежности, берется по

одному представителю. Например, Обозначая через x = x − [x] дробную часть числа x, можно взять чис-

√ √

ëî 2 в качестве представителя класса смежности 2 + Q . Что же касается Aj, то это множество определим как множество чисел вида xA + j , ãäå xA A.

14Согласно аксиоме выбора, из семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать по одному элементу из каждого множества этого семейства.

Замечание 1.5 Можно доказать, что если f интегрируема по Лебегу и ограничена:

m ≤ f(x) ≤ M ,

то интеграл Лебега

f(x) dx равен

lim S

(f) , ãäå σ = max(y

k −

) , m = y

< y

· · ·

< y

= M ,

∫

σ→0

k−1

∫

∫ 1yk−1

∑

| yk−1 < f(x)

≤ yk} ,

∑

[0, 1]

ò.å.

f(x) dx

lim

<f≤yk (x) dx .

Sσ

) = k=1

{

σ→0 k=1 yk

∫

(1.10)

Пример 1.1 Подсчитаем интеграл

−∞e−x2 dx. Его квадрат равен

∫∫2

−∞

{2n ≤

}

σn

= 21n →0

k=0

2 2

(1.10)

k=2n−1

2 2

k + 1

e−(x +y ) dx

lim

e−(x +y ) <

Согласно определению 1.11, величина

≤

e−(x2

+y2) <

k+1

}

есть площадь кольца

{

≥

+y2

> r2

}

ãäå r22 = − ln kσn,

{

à r12 = − ln (k + 1)σn. Таким образом,

k=2n−1

−∞

∑

[

]

−∞

A2 =

lim

x d ln x = π

e−x2 dx = √π .

kσnπ ln(k + 1)σn

ln kσn

= π

σn=

→0

−

∫

k=0

Теорема 1.4 (Фубини) 15 Пусть Ωx открытое множество в Rk , à Ωy

открытое множество

â Rm . Пусть f : Ω (x, y) 7→f(x, y) интегрируемая функция в прямом произведении Ω = Ωx × Ωy .

Тогда		x Ωx		(соответственно y Ωy ) функция f(·, y): Ωx x 7→f(x, y) (ñîîò-
1)	для почти всех
ветственно f(x, ·): Ωy		y 7→f(x, y) ) является элементом пространства L(Ωx) (соответственно
L(Ωy) );				∫
	∫
2)	(Ωx f(x, ·) dx) L(Ωy) , à			(Ωy f(·, y) dy) L(Ωx) ;
	∫	∫	∫	∫	∫
3)	Ω f(x, y) dx dy = Ωy		[Ωx f(x, y) dx]dy = Ωx		[Ωy f(x, y) dy]dx .

Доказательство см., например, в учебнике Г.Е. Шилова Математический анализ. Специальный курс .

Замечание 1.6 Существование двух (повторных) интегралов

∫Ωy [∫Ωx f(x, y) dx]dy è						∫Ωx [∫Ωy f(x, y) dy]dx
не влечет, вообще говоря, ни их равенства, ни интегрируемость функции									f â Ω = Ωx × Ωy , êàê
показывает пример функции
f : (0, 1)		×	(0, 1)	(x, y)		f(x, y) =	y2 − x2	.	(1.11)
f : (0, 1)			(0, 1)	(x, y)		f(x, y) =	(x2 + y2)2	.	(1.11)
					7→		(x2 + y2)2
Ÿ 2 Пространства Рисса	Lp è Lp
			loc
Определение 2.1 (Ф. Рисс.)	Пусть 1 ≤ p < ∞ . Пространством Lp(Ω) (или просто Lp ) интегри-

руемых в p -ой степени функций называется комплексное линейное пространство комплекснозначных

функций16 f , определенных в	Ω и таких, что \|f\|p L(Ω) . Åñëè f L1(Ω) , то интеграл от f
определяется формулой: ∫ f =	∫ Ref + i ∫ Imf.

15Гвидо Фубини (1879-1943) итальянский математик. Основной темой его исследований являлась дифференциальная геометрия

16Точнее, классов функций {f}: Ω → C , ãäå g {f} g = f почти всюду.

Лемма 2.1 Пусть p [1, ∞) . Тогда отображение

· p : Lp f 7→f p = (∫Ω |f(x)|pdx)1/p ,

(2.1)

которое иногда будет обозначаться · Lp , является нормой.

Нужно проверить справедливость неравенства треугольника, т.е. неравенства

f + g p ≤ f p + g p .

(2.2)

В случае нормы (2.1) оно называется неравенством Минковского 17. Очевидно, что при p

= 1 îíî

выполнено. Докажем его при

p > 1 , опираясь на известное неравенство Г¼льдера 18

f · g 1 ≤ f p · g q ,

ãäå

1/p + 1/q = 1,

p > 1 .

(2.3)

Имеем:

∫

[∫

]

1/q {

[∫

]

[∫

]

1/p} .

∫

|f + g|(p−1)·q

|f|p

|f + g|p ≤

|f + g|p−1|f| + (|f + g|p−1|g|) ≤

1/p

+ |g|p

Íî

[∫

|f + g|(p−1)·q]1/q = [∫

|f + g|p]1−(1/p) .

Задача 2.1 Доказать, что отображение (2.1) не является нормой, если

p < 1.

Указание. Проверьте сначала, что f + g 1/2 > f 1/2 + g 1/2, åñëè f(x) = 1 ïðè 0 < x < 1,

f(x) = 1

ïðè −1 < x < 0, à g(x) = 1 − f(x).

Аналогично доказательству теоремы 1.2 доказывается

Лемма 2.2 Пусть 1 ≤ p < ∞ . Пространство

Lp , снабженное нормой (2.1), является банаховым.

Лемма 2.3 Комплексификация пространства ступенчатых функций 19 плотна в Lp , 1 ≤ p < ∞ .

Достаточно доказать, что

f Lp , ãäå f ≥ 0 , существует последовательность

{hk} ступенчатых

функций, таких, что

f − hk p → 0 ïðè k → ∞.

∞

≥

∫

(2.4)

В случае p = 1

возьмем последовательность {hk}k∞=1 , такую, что hk ↑ f L è

hk → f . В результате

получим (2.4). При 1 < p <

положим fn(x) = 1E (x) f(x) , ãäå n

1 , 1En

характеристическая

функция множества En = {x Ω | 1/n ≤ f(x) ≤ n}. Имеем fn ↑ f , откуда (f − fn)p ↓ 0 . По теореме

n ≥ 1

f −(∫fn p

< ε/2 .

)

1/2

1En = 1En ≤ n |f| < ∞

Á. Ëåâè

f − fn p = Ω |f(x) − fn(x)| dx

→ 0

ïðè

n → ∞ . Поэтому для

любого

ε > 0 существует

такое, что

Зафиксируем это

. Заметим, что

. Â

для всякого x Ω , òî

∫

(∫

)

1/q

∫{hk} ступенчатых функций, определенных в Ω

силу неравенства Г¼льдера,

f =

≤

(fp)1/p <

∞

. Òàê êàê fn

L(Ω) è f (x)

[0, n]

∫

существует последовательность

и принимающих значения в

[0, n] , такая, что

lim

n −

= 0 . Отсюда

k→∞ ∫

fn − hk p = [∫

|fn − hk|p]1/p = [∫ (|fn − hk|p−1|fn − hk|)]1/p ≤

|fn − hk|]

1/p

→ 0 ïðè k → ∞ .

≤ n1−(1/p) [∫

Выберем такое K , ÷òî fn − hk p < ε/2 äëÿ k ≥ K . Тогда

f − hk p ≤ f − fn p + fn − hk < ε k ≥ K.

17Герман Минковский (1864-1909) немецкий математик, разработавший геометрическую теорию чисел и геометриче- скую четыр¼хмерную модель теории относительности.

18Отто Г¼льдер (1859-1937) немецкий математик.

19Комплексификацией вещественного линейного пространства X называется комплексное линейное пространство эле-

ментов вида f = g + ih , ãäå g è h элементы X .

Определение 2.2 Если функция f C∞(Ω) равна нулю вне некоторое компактного в

Ω множества

K = Kf , то пишут: f C0∞(Ω).

Теорема 2.1 Пусть f L1(Ω) , причем

f = 0 почти всюду вне некоторого K b Ω . Пусть ρ > 0

функция

∂Ω,

ε (0, ρ],

δε C0∞(Ω),

δε(x) = 0

ïðè

|x| > ε è ∫

δε = 1. Тогда

расстояние между

Rε(f) = fε : Ω x 7→fε(x) = ∫

f(y)δε(x − y)dy,

(2.5)

принадлежит пространству

C0∞(Ω) . Ïðè ýòîì

lim

−

ε p

= 0,

≤

p < .

(2.6)

→

∞

Очевидно, что fε

C0∞(Ω) . Докажем (2.6). В силу леммы 2.3, η > 0

существует такая функция

h = h1 + ih2 , ãäå h1

è h2

ступенчатые функции, что

f − h p < η . Имеем:

f − fε p ≤ f − h p + h − Rε(h) p + Rε(f − h) p .

Покажем, что Rε(g) p ≤ g p . Ïðè p = 1 это очевидно:

∫Ω [∫Ω |g(y)| · δε(x − y)dy] dx = ∫Ω [∫Ω δε(x − y)dx] |g(y)|dy = ∫Ω |g(y)|dy.

∫

Ïðè p > 1 , учитывая равенство δε(x − y)dx = 1 , получаем

Ω

Rε(g) pp = ∫Ω |gε(x)|pdx = ∫Ω [∫Ω(δε(x − y))(p−1)/p)(δε(x − y)1/p|g(y)|)dy]

(2.3)

dx ≤

∫

Ω [

(∫

)

(p−1)/p

(∫

)

1/p]p dx =

≤

Ω

δε(x − y)dy

Ω δε(x − y)|g(y)|pdy

= ∫Ω

[∫Ω δε(x − y)|g(y)|pdy] dx = ∫Ω [∫Ω δε(x − y)dx] |g(y)|pdy = ∫Ω |g(y)|pdy.

âíå ε -окрестности параллелепипеда

Πk,

òî

∑

Èòàê, f − fε p ≤ 2η + h − Rε(h) p . Поскольку

h =

ck C, à (1Πk

− Rε(1Πk )) = 0

k=1 ck · 1Πk , ãäå

∑

max

h − Rε(h) p =

Ω

ck · (1Πk − Rε(1Πk ))

dx ≤ (

|ck|)

Ω

|1Πk − Rε(1Πk )| dx ≤ C · ε .

∫

k=1

∫

Âçÿâ ε < ηp/C , получим h − Rε(h) p < η .
Теорема 2.1 влечет важное
Следствие 2.1 C∞(Ω) плотно в	Lp(Ω) , 1	≤	p <	∞	.
0		≤		∞
Пусть g Lp(Ω) . Заметим, что для всякого			η > 0 существует K b Ω

По теореме 2.1 существует ε > 0 такое, что g · 1K − Rε(g · 1K) p < η .

такое, что g − g · 1K p < η .

Задача 2.2 Пусть u C(Ω),		т.е. функция	u непрерывна в Ω. Показать, что
		def			ε → 0 .
u − Rε(u) C = sup \|u(x) − Rε(u)(x)\| → 0				ïðè
		x Ω
Определение 2.3 Пусть	p [1, ∞) . Через		Llocp (Ω) (или просто	Llocp	) обозначается пространство
локально интегрируемых в			функций, таких, что			p
						f · 1K L (Ω)
p	p -й степени функций f : Ω → C , ò.å. p
äëÿ âñåõ K b Ω . Â Lloc(Ω)		вводится сходимость: fj → f â Lloc(Ω)			тогда и только тогда, когда
1K · (fj − f) p → 0 ïðè j → ∞ äëÿ âñåõ K b Ω .
Задача 2.3 Проверить, что		C ( Lloc∞ ( Llocs	( Llocr ( Lloc1 , åñëè 1 < r < s < ∞.

Определение 2.4 L∞(Ω) это пространство существенно ограниченных функций в Ω , т.е. про-

странство тех функций f Lloc1

(Ω) , для которых

inf sup

f(x)

∞

µ(Ω

ω) = 0.

(2.7)

∞ = ω Ω x ω |

Условие (6.1) означает, что почти всюду функция

f ограничена, т.е. существует такое

M < ∞ ,

÷òî |f(x)| ≤ M почти всюду; при этом

f ∞ = inf M .

Задача 2.4 Изобразить график функции

D1 : x 7→ x,

x Q,

и найти

∞ .

{0,

Задача 2.5 Проверить, что формула (6.1) задает норму, а пространство

L∞(Ω) , снабженное этой

нормой, является банаховым.

Замечание 2.1 Çíàê ∞ в обозначении пространства и нормы (6.1) оправдан тем, что

f ∞ =

plim f p , åñëè Ω b Rn , ò.å.

Ω

компакт в

Rn.

→∞

Определение 2.5 Пусть X нормированное пространство с нормой · . Через X′ обозначается пространство непрерывных линейных функционалов на X . Пространство X′ называется сопряжен- íûì ê X .

Замечание 2.2 Вместо обозначения X′ употребляют также такие: L(X; R) è L(X; C), которые конкретизируют является ли пространство X′ вещественным или комплексным.

Задача 2.6 Проверить, что (Rn)′ = L(R; R) изоморфно Rn.

Указание. Любой непрерывный линейный функционал (функция) на R задается формулой R x 7→ax, ãäå a вещественное число. И обратно, любое вещественное число a задает непрерывный линейный функционал R x 7→ax R.

Задача 2.7 Проверить, что пространство X′ , снабженное нормой	f	′ = sup	\| f,x \|	,	f	X′,
является банаховым. Здесь f, x значение f íà x X .			x X x
является банаховым. Здесь f, x значение f íà x X .
Указание. Здесь от нормированного пространства X полнота не требуется. Но существенно используется
полнота числового поля ( R или C ).
Теорема 2.2 (Ф. Рисс) Пусть 1 ≤ p < ∞ . Тогда (Lp)′ = Lq , ãäå 1/p + 1/q = 1 ( q = ∞ ïðè					p = 1 ).

Точнее:

1) для любого f Lq(Ω) существует F (Lp(Ω))′ , т.е. такой линейный непрерывный функционал

F íà Lp(Ω) , ÷òî	F, φ = ∫Ω f(x)φ(x)dx φ Lp(Ω);
						(2.8)
2) для любого F (Lp(Ω))′ существует единственный элемент (функция)						f Lq(Ω) , такой, что
справедливо (6.2);	F	f		Lq является изометрическим изоморфизмом банаховых
3) соответствие I : (Lp)′
		7→
пространств, т.е. отображение	I линейно, биективно и IF q = F p′ .
Утверждение 1), также как и оценка			F p′ ≤ f q , очевидны при p = 1 . Ïðè p > 1 нужно исполь-
зовать неравенство Г¼льдера. Утверждение 2), а также оценка					F p′ ≥ f q доказываются несколько
сложнее.
Ÿ 3 Ряды Фурье и преобразование Фурье. Пространства					W p,k, S è S′

1. В 1807г. Жан Фурье20 сказал свое слово в знаменитом (шедшем с начала 18 века) споре о звучащей струне. Он, как пишет Лузин21, совершил открытие, которое произвело величайшее недоумение и растерянность среди всех математиков. Оно опрокидывало все понятия и стало источником новых глубоких

20Ж. Фурье (1768-1830) французский математик и физик.

21Николай Николаевич Лузин (1883-1950) академик АН СССР, создатель московской научной школы теории функций, поч¼тный член математических обществ Польши, Индии, Бельгии, Франции, Италии.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.20152.44 Mб131Football_1948.pdf
#
03.06.201517.27 Mб16Foreign Policy 2015-03-04.pdf
#
03.06.20151.67 Mб32Franais_grammaire.pdf
#
03.06.20152.38 Mб40Fridman-AA-Kurs-lektsii-po-makroekonomike.pdf
#
03.06.20151.68 Mб34Fridman_-_konspekt.doc
#
03.06.2015417.2 Кб11FunkAn (2).pdf
#
03.06.2015770.35 Кб16FunkAn.pdf
#
03.06.2015410.25 Кб47f_5yi50h.pdf
#
03.06.20154.1 Mб15Gapochka_I_K_-_Ya_chitayu_po-russki_1999.pdf
#
03.06.20154.58 Mб15Globalnie_gorizonti_RUS.pdf
#
27.03.20165.6 Mб311GRE_Math_Bible_eBook.pdf