FunkAn (2)

p/2

ak = p ∫−p/2 u(y)e−◦ı(k/p)y dy ,

◦ı = 2πi, i = √

(3.1)

−1

1

(называемых коэффициентами Фурье) в разложении

∞

◦ k

∑

k

k

∑

akeı p x

u(x)

= a0 +

ck cos(2π

p

x) + dk sin(2π

p

x) ,

ck = ak + a−k ,

dk = i[ak − a−k] (3.2)

k=−∞

k≥1

произвольной функции u : Ω =

(−p/2, p/2)

x 7→u(x) C по гармоникам

◦ k

k

k

e

ı p x = cos(2π

x) + i sin(2π

x),

k Z.

(3.3)

p

p

Тригонометрический ряд (3.3) называется рядом Фурье функции u (по системе функций (3.2)).

Следует иметь ввиду, что для какой-то, взятой наугад непрерывной функции

u (а такая, как пра-

Теорема 3.2 Для любой u L2(Ω) , ãäå Ω =] − p/2, p/2[ , ряд (3.3) сходится к

u â L2(Ω) , ò.å.

|

∑

ïðè N → ∞,

u −

akek L2 → 0

(3.4)

k|≤N

ãäå

1

k

ek : Ω x 7→ek(x) =

exp

(◦ı

x) .

(3.5)

p

p

23Такие функции представимы в виде разности двух монотонных (неубывающих) функций. Они имеют почти всюду

√

конечную производную, а графики

a

1

u, заданных на отрезке [a, b] , имеют конечную длину

a

1 + ( dx )

dx.

в отличие от

∫

таких функций

b

du

2

В частности, функция

[0, 1] x 7→x

sin x

имеет ограниченную вариацию при a > 1,

случая

a ≤ 1.

ò.å.

(ek, em) = 0 ïðè k ̸= m

è (ek, ek) = 1

для любого k.

(3.6)

|

∑

akek) íà em , получим

Поэтому, выбрав N ≥ |m| и умножив скалярно функцию (u −

∑

k|≤N

|

∑

|(u, em) − am| = |(u −

akek , em)| ≤ u −

akek L2 .

|k|≤N

k|≤N

Отсюда и из (3.5) следует, что

am = (u, em) , m Z.

(3.7)

Определение 3.1 Говорят, что

{ek}k≥1

есть ортонормированная система векторов гильбертова

пространства

H, åñëè

(ek, ej) = δkj

(ãäå δkj

символ Кронекера).

Лемма 3.1 Пусть {ek}k≥1

ортонормированная система в

H. Тогда для любого вектора u H

справедливо неравенство Бесселя:

∑

ck2 ≤ u 2,

ãäå

ck = (u, ek).

k≥1

Пусть un =

n

k=1 ckek, à vn = u−un. Имеем: (vn, ej) = (u, ej)−(un, ej) = cj −cj = 0 äëÿ j = 1, . . . , n.

Тем самым,

u

есть сумма двух взаимно ортогональных векторов

un

è vn.

По теореме Пифагора

∑

n

n

∑

∑

u 2 = un 2 + vn 2 = ck2 + vn 2 ≥

ck2 .

k=1

k=1

Определение 3.2 Ортонормированная система

{ek}k≥1 в гильбертовом пространстве H называ-

ется полной, если лишь нулевой вектор 0 H ортогонален ко всем элементам этой системы.

Теорема 3.3 Пусть {ek}k≥1

полная ортонормированная система в

H. Тогда для любого вектора

u H справедливо разложение

∑

u =

(u, ek)ek, причем имеет место равенство Парсеваля:

k≥1

∑

ck2 = u 2 ,

ãäå

ck = (u, ek) .

∑

k≥1

∑

2

k

Пусть

p

имеем: sq − sp 2

q

ck2. В силу неравенства Бесселя,

sp =

ckek. Тогда при q > p

=

∑

k=1

=p+1

H ) она имеет предел s = lim sp.

s = u.

ðÿä

k≥1

ck

сходится. Значит последовательность

{sp}p≥1 фундаментальна и потому (в силу полноты

пространства

p→∞

Покажем, что

В самом деле, при фиксированном

k è p > k

p

(s, ek) = lim (sp, ek) = lim (

∑j

cjej, ek) = lim ck = ck = (u, ek).

p→∞

p→∞

=1

p→∞

Значит (u − s, ek) = 0 для любого k,

ò.å. s − u = 0.

24Это означает, что функционал

(u, v)

линеен по первому аргументу, причем

(u, u) > 0 , åñëè u ̸= 0 , è (u, v) = (v, u) ,

где черта сверху означает

комплексное сопряжение. Отметим, что функция

u 7→u = (u, u)

является нормой, причем

+ y

2

+

x

y

2

= 2(

x

2

+

y

2

|

(u, v)

| ≤

u

v

. Åñëè

x

−

) для любых x è y

из банахова пространства X с нормой

·

1

2

2

√

· ,

то формула

(x, y) = 4 ( x + y

− x

− y )

задает в

X

скалярное произведение и такое банахово пространство

p ëèøü

L

2

является гильбертовом.

называется гильбертовым. Таким образом, среди пространств L

Лемма 3.2 Ортонормированная система {ek}k≥1

полна в гильбертовом пространстве

H тогда и

только тогда, когда линейные комбинации этой системы образуют всюду плотное множество в H,

системы, такая, что

x − xn → 0 ïðè n → ∞.

∑

aknek ýòîé

т.е. для любого

x

H

существует последовательность линейных комбинаций xn =

Åñëè

ортонормированная система

{ek}k≥1

полна, то (в силу теоремы 3.3) для любого вектора

u H

n

имеем: nlim u −

(u, ek)ek = 0. Обратно, пусть линейные комбинации этой системы образуют всюду

→∞

k=1

(x, ek) = 0

k

≥ 1.

x

плотное

множество в

à

для любого

Тогда ортогональное дополнение к

содержит

∑ H,

все линейные комбинации этой системы, а также (в силу непрерывности скалярного произведения) их

замыкание, т.е. все пространство H и, в частности, элемент x . Значит, (x, x) = 0 и потому x = 0.

Теорема 3.4 Система функций ek : (−p/2, p/2) x 7→ek(x)

=

p1 exp (◦ı kp x) полна в L2(−p/2, p/2).

(3.4)

Согласно следствию 2.1, для любой функции

u L2(−p/2, p/2)

и любого ε > 0 существует по-

следовательность функций un C0∞(−p/2, p/2)

и число N, такие, что

u − un < ε ïðè n > N. Ñ

другой стороны, в силу теоремы 3.1 (Дирихле Жордана), для функции un

существует такая линейная

p(n)

p(n)

∑

∑

комбинация k=1

a

e

системы функций (3.4), что

max

u

(x)

− k=1

a

e

(x)

< ε и потому

k,n

k

|x|≤p/2

n

k,n

k

p(n)

p(n)

∑

∑

2

2

max

u (x)

a

e (x)

< ε2 .

un − k=1 ak,nek ≤ p

|x|≤p/2

n

− k=1

k,n

k

∞

1

p/2

∑

e◦ı(k/p)x ∫−p/2 e−◦ı(k/p)yu(y)dy.

u(x) = k=

−∞

p

(3.8)

−∞

(

−∞

)

u(x) = ∫

∞ e◦ıxξ

∫

∞ e−◦ıyξu(y)dy dξ.

(3.9)

Закончим формальные выкладки и дадим точное

x è ξ . Функция

Пусть ξ R

,

x R

, xξ = ∑k=1 xkξk , ò.å. xξ = (x, ξ) скалярное произведение

Определение 3.3

n

n

n

u(ξ) = ∫Rn e−◦ıxξu(x)dx, ◦ı = 2πi,

i = √

(3.10)

−1

e

Из теоремы 8.20 (Лебега)2 следует, что u =2Fu C(R) ; ïðè ýòîì |u(ξ)| ≤ ∫Rn |u(x)|dx.

Пример 3.1 Åñëè u(x) = e

−

e

e

πx , òî u(ξ) = e−πξ .

Действительно, имеем:

π

+iy)2

2πi(x+iy)ξ

πN2+2πyξ

e−

(x e

−

x=N ≤ e−

.

Поэтому, согласно теореме Коши,

y=−ξ dx = e−πξ2

∫∞ e−πx2 dx = e−πξ2 .

∫∞ e−πx2−2πixξ dx = ∫∞ e−π(x+iy)2−2πi(x+iy)ξ

−∞

−∞

−∞

Пример 3.2 Пусть

u

(x) = θ (x)e ax , ãäå

θ характеристическая функция R

=

{±

x > 0

}

,

1

±

±

1

1 . Отметим также,

±

±

что функция

a > 0 . Тогда u±(ξ) =

. Отметим, что u± / L , õîòÿ u± L

a±◦ıξ

u±

e

e

C . Нетрудно проверить, что

e

аналитически продолжается в комплексную полуплоскость

ln(ξ ◦ıε) = ln |ξ ◦ıε| + i arg(ξ ◦ıε) → ln |ξ| iθ−(ξ)

ïðè

ε → +0 .

Отсюда вытекает весьма употребительна в математической физике формула

lim

∞

φ(ξ) dξ

= v.p.

∞ φ(ξ) dξ

φ C(R) ∩ L(R) ,

± iπφ(0)

ε→+0

∫−∞ ξ iε

∫−∞

ξ

которая часто записывается в таком виде

1

= v.p.

1

± iπδ(ξ) .

(3.11)

ξ

i0

ξ

Здесь δ(ξ)

δ -функция, а

∞ φ(ξ) dξ def

v.p.

lim

φ(ξ) dξ

∫−∞

ξ

=

µ→0 ∫|ξ|>µ

∫

ξ

Ниже в теореме 3.5 даны достаточные условия, при которых

∞

φ(ξ) dξ

.

так называемое главное значение (valeur principale) интеграла

−∞

ξ

Замечание 3.1 Определение 3.12 оправдано тем, что функционал (3.12)

определяет непрерывную

функцию v = ∂αu(x) , åñëè u C|α|(Ω). Действительно, в этом случае

∂αu, φ =

∫

Ω φ(x)∂αu(x)dx, à

Ω δε(x x0)v(x)dx

v(x0) ïðè ε

0, ãäå δε

C0∞(R),

δε(x) dx = 1,

δε

0,

δε = 0, åñëè

|∫x| > ε.−

→

→

∫

≥

причем

p,k

все производные по Соболеву

α

, ãäå

|α| ≤ k

, принадлежат

p

. Сходимость

ëåâà W

(Ω) , åñëè

характеризуется нормой

∂

u

L (Ω)

в пространстве W p,k

u W p;k =

∂αu Lp ,

(3.13)

α|≤k

|∑

ò.å. uj → u â

W p,k

ïðè

j → ∞ , åñëè u − uj W p;k → 0 ïðè j → ∞ .

Легко проверить, что

W p,k банахово пространство.

Лемма 3.4 25

W 1,n(Rn)

C(Rn) , т.е. для любого

u W 1,n

существует единственная функция

u0 C , совпадающая почти всюду с u , причем

u0 C ≤ u W 1;n .

Положим u0(x) =

x ∂nu(y1,...yn)

dy. Из теоремы 1.4 (Фубини) следует, что функция u0

допускает

∂y1∂y2...∂yn

представление в виде

∫−∞

x1

x2

xn ∂nu(y1, . . . yn)

u0(x) = ∫−∞

[∫−∞ . . . [∫−∞

dyn] . . . dy2] dy1

,

∂y1∂y2 . . . ∂yn

откуда вытекает ее непрерывность, равенство

u0 = u

п.в. и оценка u0 C ≤

|

∂nu(x)dx

| .

∂x1...∂xn

вложение

p;k

n

n , ñïðà-

25

Лемма 3.4 простой частный случай теорем вложения Соболева. Отметим, что

∫

W

(R ) C(R )

ведливое при n/p < k , нарушается, если

p > 1 , à n/p = k .

Теорема 3.5 Пусть u W 1,n(Rn) . Тогда для любого

x Rn

N

N

◦

à

преобразование Фурье функции .

−

−

ıxξ

e

(3.14)

u(x) =

lim

ãäå

uN (x) = ∫ N . . . ∫ N e u(ξ)dξ1 . . . dξn ,

N→∞ uN (x) ,

ue = Fu

∫

u

−∫

∫

σ

N

e

◦ısξ

dξ =

sin 2πNs

∞ sin x

dx = 1, òî

Положим θN (σ) =

δN (s)ds , ãäå δN (s) =

πs

. Поскольку

−∞

πx

−1

N

2πNσ

1

ïðè σ > 0

sin t

θN (σ) =

∫

dt → θ(σ) = {0

πt

ïðè σ < 0 .

−2πN