Олимпиада ФМХФ 2015

Уважаемый старшеклассник!

Вашему вниманию предлагается Заочная физико-математическая олимпиада, которая проводится Факультетом Молекулярной и Химической Физики МФТИ. Задачи, приведённые ниже, представляют собой удивительный сплав необычности повседневных жизненных ситуаций и необходимости творческого подхода к ним. Если Вы решаете такие задачи, Вы приобщаетесь к тому прекрасному и благородному, что движет физтехами уже многие годы. Если Вы можете решить такие задачи, Ваше место среди нас.

Ещё одной целью олимпиады является предоставление возможности попробовать свои силы в самостоятельном осмысленном использовании дополнительных источников знаний. Такие навыки необходимы настоящему исследователю, независимо от того, в какой области он применяет свой интеллект.

Всем участникам олимпиады будут высланы подробные решения задач, информация о факультете, диплом Участника олимпиады.

Если Вы не смогли решить какую-либо задачу, не смущайтесь – ведь правильное решение даже части столь нетривиальных задач даёт повод гордиться своими знаниями, а также шанс получить почётный диплом Победителя олимпиады, что будет учитываться при поступлении на наш факультет.

Решения задач просьба присылать в тонкой тетради простой бандеролью по адресу:

МФТИ, Деканат ФМХФ Институтский пер., д. 9 г. Долгопрудный, Московская обл., 141700 Олимпиада ФМХФ-2015

Последний срок отправки решения – 15 февраля 2015 года. На титульном листе и на отдельном листочке печатными буквами укажите свою фамилию, имя, отчество, почтовый адрес, место учёбы, класс, номер в ЗФТШ (если там учитесь), нарисуйте табличку для баллов за задачи. Также просим прислать конверт формата А4 с обратным адресом и марки для отправки дипломов и решений задач.

Работы можно присылать в формате doc в архивах rar или zip на адрес trankov@phystech.edu (тема письма – «Олимпиада ФМХФ-2015», в письме и на первом листе документа – полная информация об участнике).

Вопросы по условиям задач можно задать в группе абитуриентов ФМХФ:

http://vk.com/my_fizhim

Желаем успеха!

Оргкомитет олимпиады

Задачи предлагали: Блинов Егор, Маслов Иван, Мищенко Константин, Протопопов Алексей, Фёдоров Илья. Часть задач взята из сборников и олимпиадного фольклора Физтеха.

© Авторы сборника – Траньков Сергей, Яворский Владислав.

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Факультет Молекулярной и Химической Физики

15-я

ЗАОЧНАЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ФМХФ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

Москва – 2014

Физика

1.Терминатор для борьбы со злом выбрал максимально тяжёлый однородный шар, который он смог бы без проскальзывания катить вверх по наклонной плоскости с углом наклона α = 30°. В технических характеристиках Терминатора указана зависимость силы F, которую он может прикладывать к шару в любом направлении, от

высоты h по вертикали от точки с розеткой до точки приложения силы: F = F0 – kh0,5, F0 = 1,5 кН, k = 1000 Н∙м–0,5, h < 2 м. Найдите массу шара, если известно, что его радиус R = 1,8 м, ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2.

2.Тяжёлая, тонкая и однородная доска, двигавшаяся со скоростью v по гладкой горизонтальной поверхности, въезжает на асфальт, коэффициент трения о который равен μ. Доска полностью въезжает на асфальт в момент, когда мощность выделяемого при трении тепла достигает наибольшего возможного значения. Какое расстояние проедет доска после этого?

3.Напряжение на плоском конденсаторе поддерживается равным U. Между его обкладками движется множество шариков из фольги (концентрация равна n), каждый из которых поочередно абсолютно неупруго сталкивается то с одной пластиной, то с другой (расстояние между пластинами – d) и приобретает заряд ±q (того же знака, что и пластина). Найдите результирующее среднее давление, действующее на обкладки. Взаимодействием между шариками пренебречь, поле между обкладками считать однородным.

4.Американский физик Вуд предлагал астрономам наблюдать небесные объекты при помощи идеального фокусирующего зеркала, образованного поверхностью ртути, налитой во вращающийся чан (см. рис. 1). Найти зависимость фокусного расстояния f такого зеркала от угловой скорости вращения .

5.Объясните, почему при повторяющихся порывах ветра незакреплённая дверь или окно периодически открываются и закрываются.

Математика

где [x] – целая часть числа x, {x} – дробная часть числа x.

2.Все делители числа n < 20000 выписали в порядке возрастания. Оказалось, что первые 5 делителей образуют геометрическую прогрессию, сумма всех простых делителей равна 56, а девятый делитель меньше 65. Найдите n.

3.Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD,

ω– окружность, описанная около треугольника ABO, S – точка этой окружности, диаметрально противоположная O, а P и Q – точки пересечения окружности ω с отрезками SD и SC соответственно. Докажите, что прямые AP и BQ пересекаются на стороне CD.

4.Найти площадь плоской фигуры, состоящей из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

x2 y2 x y x2 y2 1 0.

5.Найти функцию f(x), определенную на множестве действительных чисел, которая для произвольных действительных аргументов x, y и параметров n>1, m>1 удовлетворяет уравнению:

f xy xf y nf x m .