A_I_Kostrikin_Yu_I_Manin_-_Lineynaya_Algebra_i
.pdfА.И.Кострикин, Ю.И.Манин
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Книга посвящена изложению фундаментальных понятий и аппарата линейной алгебры и родственных ей разделов геометрии. От имеющихся курсов линейной алгебры книга отличается большим вниманием к приложениям и связям с другими областями математики: включено обсуждение основных принципов квантовой механики, описана геометрия пространства Минковского, дано введение в линейное программирование. Книга содержит современный математический материал, не излагавшийся в традиционных руководствах: язык категорий и категорные свойства линейных пространств, кэлерова метрика, введение в теорию многочленов Гильберта.
Для студентов механико-математических специальностей высших учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
||
Предисловие |
5 |
ортогональные многочлены |
|
Часть 1. Линейные пространства и |
7 |
§ 5. Евклидовы пространства |
117 |
линейные отображения |
|
§ 6. Унитарные пространства |
126 |
§ 1. Линейные пространства |
7 |
§ 7. Ортогональные и унитарные |
133 |
§ 2. Базис и размерность |
14 |
операторы |
|
§ 3. Линейные отображения |
21 |
§ 8. Самосопряженные операторы |
137 |
§ 4. Матрицы |
27 |
§ 9. Самосопряженные операторы |
147 |
§ 5. Подпространства и прямые |
38 |
в квантовой механике |
|
суммы |
|
§ 10. Геометрия квадратичных |
155 |
§ 6. Факторпространства |
47 |
форм и собственные значения |
|
§ 7. Двойственность |
51 |
самосопряженных операторов |
|
§ 8. Структура линейного |
54 |
§ 11. Трехмерное евклидово |
163 |
отображения |
|
пространство |
|
§ 9. Жорданова нормальная форма |
61 |
§ 12. Пространство Минковского |
171 |
§ 10. Нормированные линейные |
68 |
§ 13. Симплектические |
181 |
пространства |
|
пространства |
|
§ 11. Функции линейных |
74 |
§ 14. Теорема Витта и группа |
185 |
операторов |
|
Витта |
|
§ 12. Комплексификация и |
77 |
§ 15. Алгебры Клиффорда |
189 |
овеществление |
|
Часть 3. Аффинная и проективная |
193 |
§ 13. Язык категорий |
83 |
геометрия |
|
§ 14. Категорные свойства |
88 |
§ 1. Аффинные пространства, |
193 |
линейных пространств |
|
аффинные отображения и |
|
Часть 2. Геометрия пространств со |
93 |
аффинные координаты |
|
скалярным произведением |
|
§ 2. Аффинные группы |
201 |
§ 1. 0 геометрии |
93 |
§ 3, Аффинные подпространства |
205 |
§ 2. Скалярные произведения |
95 |
§ 4. Выпуклые многогранники и |
212 |
§ 3. Теоремы классификации |
102 |
линейное программирование |
|
§ 4. Алгоритм ортогонализации и |
110 |
§ 5. Аффинные квадратичные |
215 |
функции и квадрики |
|
линейные отображения тензорных |
|
§ 6. Проективные пространства |
220 |
произведений |
|
§ 7. Проективная двойственность |
226 |
§ 3. Тензорная алгебра линейного |
264 |
и проективные квадрики |
|
пространства |
|
§ 8. Проективные группы и |
230 |
§ 4. Классические обозначения |
266 |
проекции |
|
§ 5. Симметричные тензоры |
271 |
§ 9. Конфигурации Дезарга и |
239 |
§ 6. Кососимметричные тензоры и |
275 |
Паппа и классическая проективная |
|
внешняя алгебра линейного |
|
геометрия |
|
пространства |
|
§ 10. Кэлерова метрика |
243 |
§ 7. Внешние формы |
285 |
§ 11. Алгебраические |
245 |
§ 8. Тензорные поля |
287 |
многообразия и многочлены |
|
§ 9. Тензорные произведения в |
291 |
Гильберта |
|
квантовой механике |
|
Часть 4. Полилинейная алгебра |
254 |
Предметный указатель |
297 |
§ 1. Тензорное произведение |
254 |
|
|
линейных пространств |
|
|
|
§ 2. Канонические изоморфизмы и |
259 |
|
|
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
|
||
Аксиома Дезарга 243 |
|
Аннулятор p-вектора 279 |
|
— Паппа 243 |
|
Антисимметриэация тензора 275 |
|
Аксиомы трехмерного проективного |
|
Аппроксимация 114 |
|
пространства 241 |
|
Базис пространства 14 |
|
— проективной плоскости 242 |
|
— — гиперболический 186 |
|
Алгебра внешняя 192, 276, 277 |
|
— — двойственный 24 |
|
— гомологическая 88 |
|
— — жорданов 59 |
|
— Грассмана 192, 276 |
|
— — ортогональный 106 |
|
— Клиффорда 189 |
|
— — ортонормированный 106 |
|
— Ли 34, 38 |
|
— — симплектический 107 |
|
— — классическая 35 |
|
— тензорный 257 |
|
— — gl(n,K) 35 |
|
Базисы одинаково ориентированные |
|
— —o(n,K) 35 |
|
46, 177 |
|
— — sl(n,K) 35 |
|
— — пространственно |
|
— — su(n) 35 |
|
ориентированные 178 |
|
— — u(n) 35 |
|
Бозон 293 |
|
— над полем ассоциативная 189 |
|
Буст 179 |
|
— симметрическая 273, 274 |
|
Валентность тензора 264 |
|
— тензорная 266 |
|
Вектор грассмановых координат 282 |
|
Алгоритм ортогонализации Грама — |
— касательный 287 |
|
|
Шмидта 111 |
|
— корневой 61 |
|
Альтернатива Фредгольма |
|
— собственный 56 |
|
конечномерная 50 |
|
— состояния 130 |
|
Альтернирование тензора 275 |
|
— циклический 67 |
|
Амплитуда вероятности 131 |
|
|
|
Векторы одинаково временно ориентированные 176
—ортогональные 98 Величина случайная 126
—— нормированная 126 Величины случайные независимые
126
Вероятность 129 Вершина выпуклого множества 214
Вес билинейной формы 114 Возмущение 152 Вычитание внешнее 194 Гамильтониан 150
—невозмущенный 152
Геометрия ортогональная 98
—симплектическая 98
—эрмитова 98 Гиперплоскость 224
—касательная 228
—полярная 227 Гиперповерхность алгебраическая
246
Гомотетия 22 Грань верхняя 20
—выпуклого множества 213 Грассманиан 281 Группа аффинная 201
—Витта 189
—движений 202
—классическая 33
—линейная полная 24, 34
—— специальная 34
—Лоренца 135, 173, 178
—ортогональная 34
—— специальная 34
—проективная 231
—Пуанкаре 202
Группа симплектическая 183
—унитарная 34
—— специальная 34 Движение аффинного евклидова
пространства 202
—— — — несобственное 204
—— — — собственное 204
—непрерывное 44 Двойственность тензорных
произведений 260 Действие 151
—симметрической группы на тензорах 260
—транзитивное 193
—эффективное 193
Дельта-функционал Дирака 13 Дельта-функция 9 Деформация 44 Диагональ главная 27 Диаграмма 84
—коммутативная 84 Дисперсия 149
Дифференциал отображения в точке
27
—функции 289 Дифференцирование кольца 288 Длина вектора 118, 129
—флага 18
Дополнение ортогональное 53, 102
—прямое 43 Зависимость линейная 16
Замыкание проективное 225 Значение собственное 56
—среднее 149
Идеал 247
—градуированный 247
—двусторонний 274
—конечно порожденный 248
—, порожденный множеством 248 Излучение фотонов 152 Изометрия линейных пространств 99 Изоморфизм 23
—в категориях 83
—естественный 23
—канонический 24
—проективный 230
—функторный 87
Инвариант линейного оператора 33 Индекс оператора 50
Интервал времениподобный 172 |
Конфигурации в аффинном |
— пространственноподобный 172 |
пространстве аффинно |
— светоподобный 172 |
конгруэнтные 208 |
Карта аффинная 221 |
— — — — метрически конгруэнтные |
Категория 83 |
208 |
— абелевых групп 83 |
— проективно конгруэнтные 232 |
— групп 83 |
Конфигурация 208 |
— дуальная 85 |
— Дезарга 240 |
— линейных пространств 83 |
— координатная 208 |
— множеств 83 |
— Паппа 240 |
— функторов 87 |
— проективная 232 Кообраз 50 |
Квадрат коммутативный 84 |
Координата тензора 267 |
Квадрика аффинная 219 |
Координаты аффинные 197 |
— полярная 227 |
— барицентрические 199 |
Кватернионы 168 |
— вектора 14 |
Клетка жорданова 58 |
— точки однородные 220 |
— циклическая 67 |
Коразмерность подпространства 49 |
Ковариация 126 |
Косокоммутативность 276 |
Кольцо градуированное 247 |
Коэффициент корреляции 126 |
Комбинация линейная 8 |
— Фурье 115 |
— — тензоров одинакового типа 268 |
Коядро 50 |
— точек барицентрическая 198 |
Критерий Сильвестра 113 |
Коммутатор 34 |
— цикличности пространства 67 |
— в K-алгебре Ли 38 |
Круг 71 |
— групповой 37 |
Лемма о змее 91 |
Комплекс 84 |
— Цорна 20 |
— ацикличный 85 |
Линия мировая инерциального |
— точный 85 |
наблюдателя 172 |
— — в члене 85 |
Логарифм оператора 76 |
Комплексификация линейного |
Матрица 27, 267 |
пространства 80 |
— антисимметричная 35 |
— проективного пространства 229 |
— антиэрмитова 35 |
Композиция морфизмов 83 |
— блочная 28 |
— функторов 87 |
— Грама 96 |
Компонента градуированного |
— — положительно определенная |
пространства однородная 246 |
113 |
— группы Лоренца 178 |
— диагональная 27 |
— тензора 267 |
— Дирака 36 |
Конец стрелки 83 |
— единичная 28 |
Конус асимптотических направлений |
— жорданова 58 |
158 |
— квадратная 27 |
— световой 173 |
— композиции линейных |
|
отображений 30 |
— контраградиентная 268 |
— линейно упорядоченное 19 |
— кососимметричная 35 |
— частично упорядоченное 19 |
— косоэрмитова 35 |
Множитель Лоренца 176 |
— линейного оператора 29 |
— фазовый 130 |
— — отображения 29 |
Модуль 248 |
— ортогональная 34, 134, 135 |
— градуированный 248 |
— Паули 36, 164 |
— конечно порожденный 249 |
— перехода 32 |
— нётеров 249 |
— псевдоортогональная 135 |
Монотонность размерности 18 |
— псевдоунитарная 135 |
Морфизм категории 83 |
— симметричная 35 |
— нулевой 84 |
— скалярная 28 |
— функторный 87 |
— транспонированная 28 |
Наблюдаемая 148 |
— треугольная верхняя 27, 28 |
— импульса 150 |
— — нижняя 28 |
— координаты 150 |
— унитарная 34, 135 |
— проекции спина 150, 167 |
— эрмитова 35 |
— энергии 150 |
— эрмитово антисимметричная 35 |
— — квантового осциллятора 150 |
— — симметричная 35 |
Направление 164 |
— сопряженная 34 |
Направления асимптотические 157 |
Медиана системы точек 212 |
Направленность времени 172 |
Метод наименьших квадратов 121 |
Начало стрелки 93 |
— Штрассена 37 |
Независимость линейная 16 |
Метрика 69, 96 |
Неравенство Коши — |
— дискретная 69 |
Буняковского— Шварца 118, 128 |
— естественная 69 |
— Минковского 74 |
— кэлерова 244 |
— треугольника 118, 129 |
Многогранник 213 |
— — в обратную сторону 175 |
Многообразие алгебраическое 246 |
Норма вектора 70 |
— Грассмана 281, 283 |
— линейного оператора |
Многочлен, аннулирующий оператор |
индуцированная 72, 146 |
59 |
Оболочка аффинная 206 |
— Гильберта 252 |
— линейная 16 |
— Лежандра 116, 143 |
— проективная 223 |
— минимальный 60 |
Образ линейного отображения 26 |
— однородный 245 |
— обратный 86 |
Многочлен тригонометрический 114 |
Образующие конуса 158 |
— Фурье 114, 115, 143 |
— мультипликативные 189 |
— характеристический 56 |
Объект категории 83 |
— Чебышева 117, 145 |
— — инъективный 83 |
— Эрмита 117, 144 |
— — проективный 83 |
Множество выпуклое 71 |
Объем n-мерный 122 |
— измеримое 122 |
— — шарового кольца 125 |
Овеществление линейного пространства 77
Ожидание математическое 126 Окружность 71 Оператор Гамильтона 150
—диагонализируемый 56 Оператор пограничный 92
—линейный 21
—неотрицательный 146
—нильпотентный 61
—нормальный 145
—ортогональный 133
—рождения частиц 294
—самосопряженный 138, 139
—симметричный 139
—сопряженный 139
—унитарный 133
—уничтожения частиц 294
—числа частиц 294
—эрмитов 139
Определитель линейного оператора
33
Опускание индексов тензора 263,270 Ориентация пространства 46, 166
— — Минковского 177 Оси квадратичной формы главные
156
Отклонение среднеквадратичное 149 Отношение двойное 235
—перспективное 237
—порядка 19
Отображение антилинейное 82
—аффинно линейное 195
—аффинное 195
—билинейное 51, 95
—двойственное 52
—двойственности 227
—линейное 21
—— нулевое 22
—— ограниченное 72
—— тождественное 22
—полилинейное 95, 254
—— универсальное 254
—полулинейное 82
—полуторалинейное 96
—симметризации 271
—сопряженное 52
—Хопфа 222 Отражение 136
—времени 180
—пространственное 180 Пара базисов двойственная 52
Параболоид гиперболический 157
—эллиптический 156
—— n-мерный 158
Парадокс близнецов 176 Параллелепипед со сторонами
{l1,...,ln} 123
Пары наблюдаемых канонически сопряженные 149
Пересечение подпространств трансверсальное 40
Перестановка 269 Перпендикуляр к двум
подпространствам общий 210 Печка 148 План производства 212
— —, оптимальный по прибыли
213
Плоскость гиперболическая 185
—проективная 220 Поглощение фотонов 152 Подгруппа операторов
однопараметрическая 75
—ортохронная 173 Подмногообразие линейное 47 Подмножество выпуклое 71
—ограниченное 70 Подпространства аффинные
параллельные 205, 206
—ортогональные 98 Подпространство аффинное 205
—вещественное 230
—градуированное 247
—изотропное 102, 181
—, инвариантное относительно |
Проективизация 230 |
оператора 56 |
Проектор 42 |
— линейное 10 |
— самосопряженный 141 |
— направляющее 205 |
Проекция вектора ортогональная |
—, натянутое на векторы 16 |
119 |
— невырожденное 102 |
— из центра 236 |
—, порожденное векторами 16 |
Произведение векторное 167 |
— проективное 223 |
— внутреннее 287 |
— собственное 56 |
— Кронекера 37 |
— состояний квантовой системы 129 |
— морфизмов 83 |
Подсемейство максимальное 17 |
— скалярное 96 |
Подъем индексов тензора 263, 270 |
— — антисимметричное 98 |
— поля скаляров 86, 258 |
— — невырожденное 99 |
Покрытие проективного |
— — симметричное 98 |
пространства аффинное 220 |
— — симплектическое 98 |
Поле векторное 288 |
— — эрмитово 98 |
— тензорное 289 |
— — — симметричное 98 |
Положение общее подпространств 40 |
— тензорное 37 |
— — точек 233 |
— — линейных отображений 262 |
— равновесия механической системы |
— — пространств 255 |
159 |
Производная по направлению 288 |
Полупространство 213 |
Пространства изометричные 99 |
Поляризация квадратичной формы 10 |
— изоморфные 23 |
Последовательность Коши 70 |
Пространство анизотропное 185 |
— линейных пространств точная 54 |
— аффинное 94, 193 |
— сходящаяся 70 |
— — евклидово 202 |
— точная 85 |
— банахово 70 |
— фундаментальная 70 |
— бесконечномерное 14 |
Постоянная Планка 151 |
— векторное 7 |
Правила Фейнмана 131, 132 |
— вероятностное конечное 126 |
Преобразование Кэли 146 |
— гильбертово 127 |
Приведение билинейной формы к |
— гиперболическое 185 |
каноническому виду 109 |
— главное однородное 194 |
— квадратичной формы к |
—, двойственное к данному 10, 51 |
каноническому виду 110, 111, |
— евклидово 117 |
114 |
— касательное 288 |
— матрицы к каноническому виду |
— когомологий 91 |
108 |
— комплексное сопряженное 81 |
Принцип неопределенности |
— конечномерное 14 |
Гейзенберга 149 |
— координатное одномерное 8 |
— Паули 293 |
— — n-мерное 8 |
— проективной двойственности 226 |
— линейное 7 |
— суперпозиции 130, 292 |
|
— —, ассоциированное с аффинным |
Расположение подпространств |
пространством 193 |
взаимное 40 |
— — градуированное 246 |
Расстояние между множествами 119, |
— — над телом 242 |
132 |
— — нормированное 70 |
— — точками 69 |
— — — полное 70 |
— от точки до подпространства 209 |
— метрическое 68, 69 |
Расширение группы аффинное 202 |
— — полное 70 |
Ряд абсолютно сходящийся 70 |
— Минковского 158, 171 |
— Пуанкаре 251 |
— нульмерное 8 |
— теории возмущений 154 |
— ортогональное одномерное |
— Фурье 116 |
нулевое 101 |
Свертка тензора 262, 269 |
— — — отрицательное 101 |
— — по -индексам 263 |
— — — положительное 101 |
— — полная 263 |
— проективное 94, 220 |
Сдвиг 193 |
— — двойственное 226 |
Семейство векторов линейно |
— — координатное n-мерное 220 |
зависимое 16 |
— — трехмерное вещественное 170, |
— — — независимое 16 |
171 |
Сигнатура квадратичной формы 110 |
Пространство рефлексивное 26 |
— пространства 104 |
— симплектическое 181 |
Символ Кронекера 9 |
— сопряженное 10 |
Симметризация тензора 271 |
— спиноров 163 |
Симплекс замкнутый 201 |
— унитарное 126 |
— — вырожденный 201 |
— физическое инерциального |
— (n—1)-мерный стандартный 201 |
наблюдателя 173 |
Система аффинных координат 197 |
— функций 8, 9 |
— координат барицентрическая 199 |
— циклическое 67 |
— — инерциальная 173 |
Прямая проективная 220 |
— образующих идеала 248 |
Пфаффиан 184 |
— — модуля однородная 249 |
Разбиение проективного |
— уравнений нормальная 122 |
пространства клеточное 237 |
След линейного оператора 33 |
Разложение оператора полярное 147 |
Сложение матриц 29 |
— — спектральное 142 |
Сопряжение 33 |
Размерность алгебраического |
— дифференциальных операторов |
многообразия 253 |
формальное 143 |
— линейного пространства 14 |
Состояние вакуумное 294 |
— проективного пространства 220 |
— квантовой системы 130 |
Ранг матрицы 37 |
— — — базисное 131 |
— семейства векторов 16 |
— — — возбужденное 152 |
— скалярного произведения 99 |
— — — вырожденное 152 |
— тензора 264, 294 |
— — — основное 152 |
— — предельный 295 |
— — — стационарное 151 |
Спаривание пространств 51 |
Теорема Витта 186 |
— — каноническое 51 |
— Гамильтона — Кэли 60 |
Спектр квантовой системы |
— Дезарга 257 |
энергетический 151 |
— инерции 105 |
— оператора 58 |
— о продолжении базиса 17 |
— — простой 58 |
Теорема о продолжении |
— самосопряженного оператора 161 |
отображений 88, 89 |
Спуск поля скаляров 78 |
— — точности функтора 89, 90 |
Среднее арифметическое 13 |
— Паппа 241, 243 |
— взвешенное 14 |
— Фишера — Куранта 162 |
— квадратичное взвешенное 114 |
— Шаля 204 |
Статистика Бозе — Эйнштейна 293 |
— Эйлера 137 |
— Ферми 293 |
— Якоби 114 |
Степень внешняя 287 |
Теория возмущений 152 |
— вырождения 151 |
— Морса 160 |
— многообразия 253 |
— относительности специальная 171 |
Столбец матрицы 27 |
Тип тензора 264 |
Стрелка 83 |
Топология слабая 73 |
Строка матрицы 27 |
Точка аффинного пространства 193 |
Структура комплексная 78 |
— вещественная 230 |
— — каноническая 78 |
— внутренняя 213 |
— — сопряженная 81 |
— критическая 160 |
Сумма линейных отображений |
— невырожденная 160 |
прямая 44 |
— проективного пространства 220 |
— подпространств 38 |
— центральная 216 |
— — прямая 41 |
Точность функтора тензорного |
— — — внешняя 43 |
умножения 264 |
Суперпозиция 130 |
Тройка точная 85 |
Сфера 69 |
Углы Эйлера 170 |
Сходимость по норме 70 |
Угол между векторами 119, 129 |
Тело 242 |
— — прямой и аффинным |
— кватернионов 168 |
подпространством 212 |
Температура 125 |
— — прямыми 212 |
Тензор 264, 268 |
Умножение внешнее 275 |
— антисимметричный 275 |
— матриц 30 |
— ковариантный 264 |
— на скаляр 22, 29 |
— контравариантный 264 |
— тензорное 265 |
— кососимметричный 275 |
Уравнение Шрёдингера 151 |
— Кронекера 268 |
Уровень энергетический 151 |
— метрический 267, 290 |
Условие Гильберта 13 |
— симметричный 271 |
— Коши 13 |
— смешанный 264 |
— линейное 10 |
— структурный 265, 268 |
Факторпространство 48 |
Фермион 293 Фильтр 148
Фильтрация возрастающая 18
—убывающая 18 Флаг пространства 18
—— максимальный 18
Форма 95, 245
—билинейная 108
—квадратичная 109
—— положительно определенная 113
—нормальная жорданова 59
—объема 291
—полилинейная 95
Функтор 85
—ковариантный 85
—контравариантный 85 —, представляющий объект
категории 87
—тензорного умножения 264 Функционал линейный 10 Функция аффинно линейная 195
—квадратичная 215
—линейная 10
—полилинейная 95 Характеристика эйлерова 91 Центр 216 Цепь 19
Цилиндр параболический 157 Часть анизотропная пространства 188
—квадратичная квадратичной функции 215
—линейная аффинного отображения 195
—— квадратичной функции 215 Число заполнения 293 Шар замкнутый 69
—открытый 69
Шар n-мерный 124 Эквивалентность норм 72 Эксперимент Штерна — Герлаха 165
Экспонента ограниченного оператора
75
Элемент максимальный 20
—наибольший 20
—однородный 246 Эллипсоид n-мерный 124 Энергия 125
Ядро линейного отображения 26
—— — левое 102
—— — правое 102
—скалярного произведения 99 A-модуль 248
—градуированный 248
p-вектор 279
— разложимый 279 p-форма внешняя 285, 291 σ -процесс 239 ψ -функция 130
1-форма дифференциальная 289