- •Функціональний аналіз
- •Вступ. Короткі історичні відомості
- •Метричні простори
- •Контрольні запитання.
- •Вправи.
- •Розв’язання.
- •Задачі.
- •Послідовності в метричних просторах. Збіжність
- •Контрольні запитання.
- •Вправи.
- •Розв’язання.
- •Задачі.
- •Відображення метричних просторів
- •Контрольні запитання.
- •Вправи.
- •Розв’язання.
- •Задачі.
- •Повнота метричних просторів
- •Контрольні запитання.
- •Вправи.
- •Розв’язання.
- •Задачі.
- •Теорема банаха та її застосування
- •Контрольні запитання.
- •Вправи.
- •Розв’язання.
- •Задачі.
- •Компакти
- •Контрольні запитання.
- •Вправи.
- •Розв’язання.
- •Задачі.
- •Лема гейне-бореля
- •Контрольні запитання.
- •Вправи.
- •Розв’язання.
- •Лінійні, нормовані та евклідові простори
- •Контрольні запитання.
- •Вправи.
- •Розв’язання.
- •Задачі.
- •Лінійні оператори і лінійні функціонали
- •Контрольні запитання.
- •Вправи.
- •Розв’язання.
- •Задачі.
- •Лінійні додатні оператори
- •Контрольні запитання.
- •Контрольна робота Зразок контрольної роботи.
- •Розв’язання.
- •Програмні питання до екзамену
- •Література
Відображення метричних просторів
Границя і неперервність. Критерій неперервності.
Нехай маємо два метричних простори (X,ρx), (Y,ρy) і множину Е(X,ρx).
Означення. Якщо кожному елементу поставлено у відповідність цілком певний елементу із простору (Y,ρy), то кажуть, що задано відображення множини Е в простір (Y,ρy) та позначають: або y=Ax.
Поняття відображення є узагальненням поняття функції. Це може бути числова функція однієї змінної, багатьох змінних, функціонал. У функціональному аналізі відображення, яке елементу довільної природи х ставиться у відповідність елемент довільної природи у, прийнято ще називати оператором.
Приклади.
1) ;
2)
3) – функціонал;
4)
5)
6) Розглянемо многочлен Бернштейна: Це відображення кожній неперервній функції ставить у відповідність многочлен Бернштейна. Функція задається на сегменті [0,1]. Особливість многочлена Бернштейна в тому, що він може наблизити як завгодно точно будь-яку неперервну функцію на [0,1].
За рахунок степеня многочлена n, можна досягти того, що різниця між функцієюі многочленом Бернштейна буде як завгодно мала.
Нехай x0 – гранична точка множини Е, і вона не обов’язково належить множині Е, яка входить у простір (X,ρx).
Означення (за Коші). Елемент А, який належить простору (Y,ρy) називається границею відображення при, якщо длятаке що, як тількито.
Означення (за Гейне). Елемент А називається границею відображення при, якщо із збіжності будь-якої послідовностівипливає збіжність відповідної послідовності значень відображеннядоА. (Тут збіжність розуміється як збіжність за відстанню).
Нехай тепер відображення визначене в точці x0.
Означення. Відображення називаєтьсянеперервним у точці x0, якщо для , що як тількито.
Означення. Відображення називаєтьсянеперервним в точці x0, якщо із збіжності будь-якої послідовності випливає збіжність.
Якщо відображення взаємооднозначне, то для нього існує обернене відображення.
Означення. Взаємнооднозначне і неперервне відображення називається гомеоморфізмом.
Означення. Гомеоморфне відображення називається ізометрією, або ізоморфізмом, якщо воно зберігає відстань між образами.
Теорема (критерій неперервності). Щоб відображення було неперервним необхідно і достатньо, щоб прообразбув відкритим для всякої відкритої множиниG, яка входить в Y.
Доведення. Необхідність. Дано, що відображення – неперервне і множинаG – відкрита. Треба довести, що – відкрита, тобто всі її точки внутрішні. Нехай,. Покажемо, що точкаx0 належить множині разом з своїм околом. Оскількиy0 є внутрішньою точкою множини G, то існує , що куля. В силу неперервності відображення по заданому ми знайдемо таке , що як тількипопадає в кулю , тоy попадає в кулю . Ясно, що куляналежить множині праобразів, це означає, щоразом із деяким своїм околом, а це означає, щоє відкритою множиною (в силу довільності вибраної точкиx0).
Достатність. Дано – відкрита куля, для будь-якої відкритої множини. Доведемо неперервність відображення. Нехай– довільна точка множиниі нехай. Длярозглянемо кулю. За умовою образ даної кулі:– є відкрита множина, тобто всі її точки внутрішні, а отже і точка, це означає, що знайдеться таке, що куляпопаде в кулю, а це і означає неперервність даного відображення у точціx0 за Коші.
Теорему доведено.
Зв’язність та її збереження при неперервному відображенні.
Означення. Множина Е називається зв’язною, якщо її не можна подати у вигляді об’єднання двох відкритих множин, що не перетинаються.
Теорема. Образ зв’язної множини при неперервному відображенні є множина зв’язна.
Доведення. Дано – зв’язна. Треба довести– зв’язна. Нехай – не зв’язна, і її подано у вигляді об’єднання двох відкритих множин, які не перетинаються. Позначимо їх через Е1 та Е2. Але за критерієм неперервності прообраз множини Е1 – відкрита множина, і прообраз Е2 – також відкрита. Позначимо їх G1 та G2 , вони не будуть перетинатися (в силу неперервності відображення). Тобто множину праобразів ми подали у вигляді об’єднання двох відкритих множин, що не перетинаються , а це суперечить тому, що G – зв’язна. Отже образ – є множина зв’язна.
Теорему доведено.