Метричні простори

Поняття границі – основне поняття математичного аналізу, за допомогою якого вводиться поняття похідної, інтеграла та ін. Саме поняття границі використовує поняття відстані між числами. Дійсно, той факт, що числова послідовністьозначає, що. Щоб ввести поняття границі для більш складніших об′єктів ніж число, потрібно означити поняття відстані між абстрактними об′єктами, що приводить до поняття метричного простору.

Означення. Множина об′єктів довільної природи х,у,z,… називається метричним простором, якщо на цій множині визначено поняття відстані (х,у), яка будь-яким двом елементам х та у ставить у відповідність число (х,у), яке задовольняє трьом аксіомам:

1. (х,у)0 , (х,у)=0  xy – рефлексивність відстані;

2. (х,у)= (у,x) – симетричність відстані;

3. (х,у) (х,z)+ (z,у) – нерівність трикутника.

Метричний простір з множиною елементів Х та заданою відстанню , позначають (Х,).

Приклади метричних просторів.

1. Простір R¹ , Х – елементами є дійсні числа, відстань визначається так:

(х,y)=.

Перевіримо, чи даний простір буде метричним. Для цього повинно виконуватись три аксіоми метрики.

а) (х,у)0 – в силу властивостей модуля дійсного числа. Якщо (х,у)=0 . Якщо, то(х,у)= (y,у)=.

Першу аксіому довели. Далі маємо:

б) (х,у) ==.

в) (х,у) ==

2. Простір ізольованих точок. х,у,z,… – елементи довільної природи,

Виконання аксіом відстані перевірити самостійно.

3. Простір Rⁿ , x=(x₁,x₂,…,x_n), y=(y_1,y₂,…,y_n), .

Перевіримо три аксіоми метрики:

а) (х,у)0 – випливає із властивостей квадрата числа, суми, та кореня квадратного.

Якщо х=у, то (х,у)=(х,х)==0. Нехай(х,у)=0, тоді =0. Звідси слідує, що(), а це означає, щох=у. Перша аксіома доведена.

б) ρ(х,у)=

в) Доведемо нерівність трикутника, використовуючи для цього нерівність Коші-Буняковського:

.

Розглянемо квадрат відстані ρ(х,у):

(ρ(х,у))²===(до другого доданка застосуємо нерівність Коші-Буняковського)+==(ρ(x,z)+ρ(z,y))².

Отже, (ρ(х,у))²(ρ(x,z)+ρ(z,y))². Оскільки права і ліва частини нерівності є невід′ємними, то квадрат можемо прибрати, тоді отримаємо нерівність трикутника.

4. Простір ,x=(x₁,x₂,…,x_n), y=(y_1,y₂,…,y_n), ρ(x,y) = .

Доведемо третю аксіому:

Дана нерівність виконується при будь-якому і, а отже і для максимуму. Матимемо:

.

5. Простір із заданою відстаннюρ(х,у) = Аксіоми доводяться аналогічно до попередніх випадків. (x=(x₁,x₂,…,x_n) – елемент простору).

6. Простір , елементами в якому є нескінчені послідовності видуx=(x₁,x₂,…,x_n,…) і виконується умова . Відстань задається наступним чином:ρ(х,у) =.

Перевіримо коректність введеної метрики, а саме, переконаємося, що ряд, який фігурує під знаком радикала, збіжний. Маємо, що: і те, що ряди із загальними членамита– збіжні. Тоді і сума цих рядів збіжна. Звідси випливає, що і ряд із загальним членом у правій частині останньої нерівності () також збігається. Аксіоми відстані перевіряються так само, як це робилося для просторуRⁿ.

7. Простір С_[a,b] – простір неперервних функцій на відрізку елементом, якого є x=x(t). Відстань вводиться наступним чином:

.

Доведемо третю аксіому. Для будь-якого t є маємо: = +

. Знову ж, якщо така нерівність виконується для будь-якого t є , то вона буде виконуватись і для , тобто:, тим самим довели нерівність трикутника.

8. Простір C_L – простір неперервних на відрізку функцій із відстанню .

Доведемо першу аксіому. в силу властивостей модуля числа та інтеграла. Нехайx(t)=y(t), тоді ===0. Якщо =0, то міркуємо так: нехай існує точкаt₀ в якій х(t₀)y(t₀) і х(t₀)>y(t₀), тоді в силу неперервності функцій х(t) і y(t), х(t)>y(t) в деякому околі t₀. Тоді матимемо, що >0. Прийшли до суперечності. Звідси слідує, щоx(t) має дорівнювати y(t). Друга і третя аксіоми доводяться аналогічно до попередніх випадків.

9. Простір – простір неперервних функцій на , метрика якого вводиться так:

_.

Доведемо нерівність трикутника. Для цього скористаємося інтегральною нерівністю Коші-Буняковського:

.

Маємо: =

=.

Добуваючи квадратний корінь з невід’ємних чисел, отримаємо нерівність трикутника.

10. Простір C₀ – елементами якого є нескінчені послідовності, що збігають до нуля: x=(x₁,x₂,…,x_n,…), ,. Таке означення відстані є коректним, бо. А оскільки послідовності{x_i} i {y_i} збігаються до нуля, то вони обмежені довільним числом. Тоді , як величина обмежена, має супремум. Виконання аксіом відстані очевидне.

11. Простір C_m – х – довільна обмежена послідовність. , . Пропонуємо читачеві самостійно перевірити виконання аксіом метрики та коректність такого означення відстані