10. Обратная матрица. Определение. Теорема существования и единственности.

Пусть А квадратная матрица (nxn) называется неособенной(невырожденной),если ее определитель не равен нулю(D). Если ее определитель равен нулю(D=0), то она особенная(вырожденная).

Если существует матрица В, такая что: АВ=ВА=Е, то В называется обратной матрицей А(В=).

Теорема: Если матрица невырожденная, то она имеет обратную матрицу и при том единственную.

Д-во: Пусть А=– квадратная матрица, у которойdetA≠0-невырожденная

составим Ã = , где-алгебаическое дополнение элементоввdetА j=1,n. Подчеркнём, что в i-ой строке матрицы Ã стоят алгебраические дополнения к элементам i-ого столбца detA.Матрицу Ã называют присоединенной матрицей А.Умножим все элементы Ã на число =

=

Докажем, что матрица обратная матрица, т.е..Составим произведение:

A * =*= =

По свойству, говорящему о том что произведение элемента матрицы на алгебраическое дополнение другого элемента матрицы, суммы расположенные на главной диагонали естьdetA=D ,а все остальные суммы равны нулю.

А*== Е. Доказано существование

Докажем единственность .Предположим существование еще матрицы С, такой что АС=СА=Е

* АС=*А*С=ЕС=С

* АС==> С=

лет 12: Отыскание обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк матрицы .

А – квадратная матрица n-го порядка, надо найти обратную матрицу .

- 1й столбец единичной матрицы E n-го порядка

(1)

в результате получили 1й столбец обратной матрицы. Заметим, что матричное уравнение , эквивалентно системе n линейных уравнений с n неизвестными. Поэтому чтобы найти 1й столбец обратной матрицы нужно решить систему n линейных уравнений с n неизместными, где в качестве свободных членов взят столбец- 1й столбец единичной матрицы En-го порядка.

Чтобы найти n столбцов матрицы нужно решить n систем линейных уравнений, беря в качестве свободных членов столбцы. Так как матрица коэффициентов A у всех этих систем одна и та же, то расширенные матрицы таких систем можно объединить в одну матрицу:

Решим эти n систем методом Гаусса-Жордана одновременно, поскольку в их левой части одна и та же матрица. Для этого запишем матрицу, содержащую в первых n столбцах матрицу системы, а в последних n столбцах — единичную матрицу, и выполним Гауссово исключение,исползуя элементарные преобразования так, чтобы получилось:

Очевидно, что матрица, расположенная в последних n столбцах — обратная матрица.

Билет29: Собственные значения и собственные вектора линейного преобразования, их отыскание.

Ненулевой вектор х(с чертой наверху, далее просто черта) называется собственным вектором л.п. α, если оно переводит х(ч) в коллинеарный ему λх(черта):

α (х(черта))= λх(черта) (1)

Число λ в (1) называется собственным значением преобразования α , соответствующим собственному вектору х(черта). Найдем все собственные векторы:

Пусть:

е₁, е₂,…, е_n– базис Rⁿ

Перепишем (1) в координатной форме:

Система (фигурные скобки): (2)

λх₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n,

λх₂= a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n,

…

λх_n= a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_{n .}

Система (3):

(a₁₁-λ)x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=0,

a₂₁x₁+(a₂₂-λ)x₂+…+a_2nx_n=0,

…

a_n1x₁+a_n2x₂+…+(a_nn-λ)x_n=0.

Однородная система (3) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель = 0.

Определитель (прямые скобки): (4)

a₁₁-λ a₁₂ … a_1n

a₂₁ a₂₂-λ … a_2n = 0

…

a_n1 … a_nn-λ

Многочлен n-ой степени относительно λ в левой части уравнения (4) – характеристический многочлен преобразования α (альфа).

Уравнение (4) – характеристическое уравнение преобразования α (альфа).

Всякому действительному корню λ ₀ уравнения (4) отвечает собственный вектор, который находится путем решения совместной системы (3) относительно x₁,x₂,…,x_n после подстановки λ ₀ вместо λ в эту систему.

Замечание:

В матричной форме система (3):

(A- λE)X=θ , где

A - матрица линейного преобразованияя α

Е – единичная матрица того же порядка, что и А,

Х – вектор-столбец из координат вектора х(черта).

Отыскание:

1)множество собственных значений линейного преобразования α (х(черта)):

det(A- λE)=0 – характеристическое уравнение

2)Собственные векторы:

(A- λ_iE)X=θ

Билет29:

(A- λ_iE)X=θ