20.Теорема: каждый базис данной системы векторов включает одно и то же количество векторов.

Док-во:

Пусть есть система векторов

a₁, a₂,..a_n– данная система векторов

a_i1, a_i2,..a_im– базис (I)

a_i1, a_i2,..a_is– базис (II)

Т.к. (II) – базис, каждый вектор системы (I) разлагается по базису (II),

С другой стороны, эти векторы (I) линейно-независимые

Используем следствие теоремы Штейна (Пусть система векторов (I) линейно-независимая и каждый вектор этой системы разлагается по векторам системы (II), тогда n≥m)

S≥m

Векторы (II) – линейно-независимые, каждый вектор системы(II)разлагается по векторам системы (I) =>S≤m

S≥m, S≤m => S=m

Билет21: Отыскание базиса системы векторов.

Пусть однородная система уравнений:

(1)

(2)

(1)(2)

Тогда : 1) Если -базис системы (2), то -базис системы (1)

2) Если разлагается по векторам

, то

Док-во: Пусть -базис системы (2).

1) Предположим, что существует нетривиальный набор () являющийся решением однородного уравнения, т.е выполняется равенство. В левую часть добавим нулевые слагаемые:() –решение однородной системы(1)решение системы(2).

Отбросив в левой части нулевые слагаемые равенство не нарушится:

Предположим, что()-нетривиальный, тогда существует нетривиальная линейная комбинация векторовПо условию эти векторы образуют базис-противоречие, т.к. набор чисел нетривиален.

()-могут быть только тривиальными-Л.Н

2)по условию -базис (2),

=

Добавим нулевые слагаемые:

()-решение системы(2)решение системы(1)

Отсюда: , значит каждый вектор системы разлагается по векторам, значит-базис системы(1)

Билет 22. Однородные системы линейных уравнений. Их свойства. Фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Теорема об условии существования фундаментальной системы решений (формулировка).

++…+=0 - однородная система уравнений (1). В матричном виде АХ=,(2)-матрица коэффициентов системы ; Х-столбец неизвестных

Свойства:

1. Если -решение (2), то λ, где λ-число,тоже решение (2).

2.Если -решение(2),то ()-решение(2).

3.Если …-решение(2),то их линейная комбинация+…+-решение(2).

Применяя теорему(совместная система будет неопределенной, если ранг системы уравнений меньше, чем число неизвестных)к однородной системе уравнений. Сделаем следующие выводы:

1)если r(A)=n,то (2) имеет единственное тривиальное решение.

2)если r(A)<n,то (2) является неопределённой, т.е имеет нетривиальные решения. Мы знаем, что всякая система n-мерных векторов, включающая более n-векторов будет ЛЗ. Решениями(2)являются n-мерные векторы. Поэтому из них можно выбрать конечную максимальную ЛН систему, т.е. такую, что любое решение(2) будет линейной комбинацией этих выбранных векторов.

Всякая максимальная ЛН система решений однородной системы уравнений называется ФСР.

Условие существования ФСР устанавливает следующая теорема:

Если r(A)<n, то ФСР однородной системы(2) существует и состоит из n решений.

Билет23: Линейные преобразования векторного пространства. Определение, свойства.

Пусть дано правило, по которому каждому вектору х из Rⁿ,ставится в соответствие вполне определённый вектор у и того же Rⁿ.

Говорят, задано преобразование пространства Rⁿ.

у=α(х)-образ вектора х.

Преобразование α(х)называется линейным, если выполняются условия:

1)α(сх)=сα(х) с-любое из Rⁿ

2)α(х+у)=α(х)+α(у) х и у€Rⁿ

Свойства: 1)линейное преобразование векторного пространства приводит любую линейную комбинацию векторов х₁, х_2,… х_n в линейную комбинацию с теми же коэффициентами образов этих векторов, т е преобразование α(с₁х₁ +…+с_nx_n)=c₁α(х₁)+…+с_n α(х_n) 2)при любом преобразовании линейного пространства образом θ является θ, а образом α(θ)=θ, образом противоположного вектора является векторами противоположный образу α(-х)= - α(х).

Билет24: Теорема: Всякое линейное преобразование(ЛП) αпространства определяется заданием образов α()…α() всех векторов фиксированного базиса,,...

Док-во:

Пусть = () –произвольный вектор из, т.е. его можно разложить:

= (1)

Образ этого вектора в силу свойства ЛП (ЛП векторного пространства переводит любую линейную комбинацию данных векторов в линейную комбинацию с теми же коэффициентами образов этих векторов):

α==(2)

Пусть векторыданы, т.е. известны их разложения по базису,,..

(3)

Составим квадратную матрицу А порядка n:

A= (4)

В этой матрице в каждом i-том столбце записаны координаты вектора .

Эта матрица А, столбцы которой составлены из координат образов векторов базиса α()…α() в том же базисе,,..называется матрицей данного ЛП.

Теперь мы можем выразить ЛП в координатах, т.е. для любого вектора извыразить координаты вектора α.

Формулу (3) запишем в матричной форме

, ,..)*A =

, ,..) *(5)

Формулу (1) также можно представить в матричной форме

α==

= ,,..) * А *(6)

= ,,..) *(7)

Сравним (6) и (7), мы имеем

= А * (8)

(9)

Равенство (9) есть матричная форма записи ЛП, из которой мы получаем

(10)

(10) будем называть координатным представлением данного ЛП.

Эти формулы позволяют для вектораизопределить его образ

.

Коэффициенты этих формул известны, если даны формулы (3).

Единственность преобразования доказывается тем, что коэффициенты разложения векторовпо базису,,..определяются однозначно.

Т.о. если мы знаем образы базисных векторов при некотором ЛП, то мы знаем образы всех векторов при этом ЛП.

Замечание.

Координаты векторалинейно выражаются через координаты векторапо формулам (10). Матрица коэффициентов формул (10) совпадает с матрицей (4).

Зная эту матрицу, можно определить образ вектораиз. Из этого можно заключить, что каждому ЛП пространствасоответствует в силу формул (10) однозначно определенная квадратная матрица порядкаn.

Теорема 2

Для всякой кв. матрицы порядка nсуществует единственное ЛП , которое в данном базисе задается этом матрицей А.