2. Определенный интеграл

Пусть

функция y = f (x)

определена

на

отрезке[a, b] .

Разобьем

отрезок

[a, b] произвольным образом на

n частей (элементарных отрезков):

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b .

n

(точки пунктуации), Dxk

Составим сумму å f (xk )Dxk , где xk Î[xk -1 , xk ]

=xk - xk -1

k =1

(длины

элементарных

отрезков), k =1, 2,..., n . Эта

сумма

называется

интегральной суммой Римана. Обозначим l = max Dxk .

1£k £n

Если

существует предел

интегральной

суммы Римана при

условии, что

l ® 0 , причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка[a, b] на

элементарные отрезки, ни от способа выбора точек пунктуацииxk , то функция

f (x) называется интегрируемой на отрезке [a, b] , а сам

предел

называется

O

определенным интегралом от функции f (x)

на отрезке [a, b] и обозначается

b

b

n

ò f (x )dx = liml®0

å f (xk )Dxk

.

(6)

a

k =1

b

b

1)

òk × f (x )dx = k ò f (x )dx , где k - const;

a

a

2)

b

1 (

)

2 (

)û

b

1 (

)

b

2 (

)

òë

ò

ò

f

x

dx;

é f

x + f

x ù dx =

f

x dx +

a

a

a

b

a

3) ò f (x )dx = -ò f (x )dx;

a

b

b

c

b

4)

ò f (x )dx = ò f (x )dx + ò f (x )dx.

a

a

c

b

a

F (b )- F (a ).

(7)

ò

f (x )dx = F (x )=

|b

a

2.Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть

требуется

вычислить

b

где

функция f (x)

интегралf (x )dx ,

ò

a

непрерывна

на

отрезке[a, b] .

Полагая x = j (t ) , где

j (t )

непрерывно

дифференцируемая

функция

на

отрезке[a, b ], причем

j (a ) = a, j (b ) = b ,

получим:

b

(x )dx =

b

éj (t )ù ×j¢(t )dt .

(8)

ò

f

ò

f

ë

û

a

a

3. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Если u (x ) и v (x) -

непрерывно

дифференцируемые

функции на отрезке

[a, b] , то справедлива формула интегрирования по частям:

b

b

òu dv = (u ×v)|ba - òv du .

(9)

a

a

p

Задание 1. Вычислить интеграл:

2

?

ò cos x dx .

0

Решение. Так как первообразной подынтегральной

функцииf (x) = cos x

является функция F (x) = sin x , то по формуле Ньютона-Лейбница получаем:

p

2

p

ò cos x dx = (sin x=)|p0

2

sin

-sin 0 =1 .

0

2

1

Задание 2. Вычислить интеграл: ò

1- x2

dx .

sin t = 0

и,

следовательно,

t = 0 ;

если

x = 1 ,

то sin t = 1,

и,

следовательно,

t =

p

.

2

Тогда имеем:

1

p

p

p

2

2

2

1- cos 2t

1

æ

sin 2t ö p 2

p

2

2

2

ò

1- x

dx

ò =1-sin

t ×cos t dt

ò=cos

t dt

ò=

dt=

çt -

÷|0

=

.

2

2

2

4

0

0

0

0

è

ø

2

Задание 3. Вычислить интеграл: ò x ex dx .

0

Решение.

Воспользуемся

формулой

интегрирования

по

частям

определенном

интеграле (9).

Положим:

u = x, dv = ex dx . Тогда

du = dx, v = ex .

Следовательно,

2

2

2

2

+1.

x

x

x

2

-

x

2 ×e

2

- e

2

+1

=e

2

ò x e

dx = (x e

)|0 - òe=dx 2 ×e

(e =)|0

0

0

&

3.

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку

O

Пусть

функция

f (x)

непрерывна

на

промежутке[a, +¥).

Несобственным

интегралом

от

функцииf (x)

по

промежутку[a, +¥)

b

+¥

называют

предел

интегралаò f (x )dx

при b ® +¥

и

обозначают ò

f (x )dx .

a

a

Следовательно, по определению:

+¥

b

ò f (x )dx = blim®+¥ ò f (x )dx

.

(10)

a

a

Если предел в правой части равенства(10) существует и конечен, то

говорят, что несобственный

интеграл сходится, в противном случае

говорят,

что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы и для других

бесконечных промежутков:

b

b

ò

f (x )dx = alim®-¥ò f (x )dx

(11)

-¥

a

+¥

c

+¥

c

b

ò

f (x )dx = ò

f (x )dx + ò f (x )dx

alim®=-¥ ò f (x )dx + blim®+¥ ò f (x )dx

.

(12)

-¥

-¥

c

a

c

Заметим, что

несобственный

интеграл от функции f (x) по промежутку

(-¥, +¥)

сходится,

если сходятся

оба

несобственных интеграла

стоящих в

&

Несобственные интегралы от неограниченных функций

O

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке[a, b) , а при x = b функция

обращается

в

бесконечность:

f (b) = ¥ .

Несобственным

интегралом от

функции

f (x)

на

отрезке [a, b] в

данном

случае называют

предел

интеграла

b-e

b

ò f (x )dx

при e ® 0 и

обозначают ò f (x )dx . Следовательно,

по определению

a

a

имеем:

b

b-e

ò f (x )dx = lime ®0 ò f (x )dx

.

(13)

a

a

Если предел в правой части равенства(13) существует и конечен, то

говорят,

что несобственный интеграл сходится, в противном случае

говорят,

что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы от функции

f (x) на

отрезке [a, b] в других случаях:

1) в случае

f (a) = ¥ :

b

b

ò f (x )dx = limd ®0 ò f (x )dx

.

(14)

a

a+d

2) в случае

f (c) = ¥ , где

c Î(a, b) :

c

b

c-e

b

ò f (x )dx = ò f (x )dx + ò f (x )dx = lime ®0 ò f (x )dx + limd ®0 ò f (x )dx