Статистическое определение вероятности

Пусть проводится серия опытов (n раз), в результате которой наступает или не наступает некоторое событие А (m раз), тогда отношение m/n, при n →  называется статистической вероятностью события А. Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний. В случае статистического опред вероятность облад след св-ми: 1) вероятность достоверного события = 1, 2) вероятно невозможного соб = 0 3) вероятн случ соб заключ между 0 и1. 4) вероятн суммы двух несовместных соб = сумме вероятностей этих соб.

4. Теорема сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

«Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий»

Р(А + В + …k) = Р(А) + Р(В) + …+ P(k), где А, В, …, k – несовместные.

Доказательство.(сумма двух событий)

Пусть в результате испытаний из общего числа n равновозможных и несовместных исходов испытаний А благоприятствует m₁ случаев, а В – m₂ случаев. Тогда вероятность события А (по классич. опр.) равна m₁/n, а

Р(В) = m₂/n , т.к. события А и В несовместные, то ни один из случаев благоприятствующий событию А, не благоприятствует событию В, след. (А+В) благоприятствует (m₁+m₂) случая, след.

Р(А+В) = (m₁+m₂)/n = m₁/n + m₂/n = P(A)+P(B)

Следствие 1:

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1.

Следствие 2:

Сумма вероятностей противоположных событий так же равна 1.

!!!Замечание: Рассмотренная теорема применима только для несовместных событий.

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

«Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения»

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ) А и В – совместные события

Доказательство:

Пусть n-число возможных исходов опыта; m_А-число исходов благоприятствующих соб.А; m_B-//-соб.В; m_АВ – число исходов опыта, при котором происходят оба события, т.е. исходов благоприятных А*В, тогда число исходов, при котором имеет место событие А+В=m_A+ m_B- m_AB (т.к. в сумме m_A+m_B, m_AB учтено дважды: как исходы благоприятные А, и исходы благоприятные В

5. Сумма и произведение совместных событий и их геометрическая интерпретация.

6. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.

Опр.: условной вероятностью соб.А называется вероятность соб.В при условии, что событие А произошло (пример: пусть соб.А - это извлечение из колоды в 32 карты туза; соб.В – вторая вынутая карта из колоды оказалось тузом. Если после 1-го раза карта возвращается в колоду, то вероятность вынуть туз не меняется и равна 4/32, если же 1-я карта в колоду не возвращается, то осуществление соб.А прибудет к тому, что в колоде остается 31 карта из которой 3 туза – условная вероятность

Теорема (умножения зависимых событий): вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого, при условии, что 1-ое событие произошло:

Доказательство: Пусть n-число возможных исходов опыта; m_А-число исходов благоприятствующих соб.А; m_B-//-соб.В, m_АВ – число исходов опыта, при котором происходят оба события,. для вычисления условной вероятности , множеством возможных исходов нужно считать m_А(т.к. А произошло), а множеством благоприятных исходов, необходимо считать исходы, при которых произошли и А, и В.

=>

Пример: для поражения цели необходимо попасть в неё дважды. Вероятность 1-го попадания 0,2, затем она не меняется при промахах, но после 1-го попадания увеличивается в 2 раза. Найти вероятность того что цель будет поражена первыми двумя выстрелами.

Решение: соб.А – попадания при первом выстреле

Соб.В - //- при 2-ом выстреле

,

А и В совместные события

Пусть вероятность соб.В не зависит от появления соб.А

Событие В называют независимым от события А, если появление соб.А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность соб.В равна его безусловной вероятности:

подставив данное равенство в

получим

, отсюда

,

т.е.условная вероятность соб.А в предположении, что наступило соб.В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, соб.А не зависит от соб.В

Итак, если соб.В не зависит от соб.А, то и соб.А не зависит от соб.В; это значит, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения имеет вид

,

Т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий, поэтому событие «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.