Билет 11

Теорема Чебышева. Если Х1, Х2,…, Хп – попарно независимые случайные величины, дисперсии которых равномерно ограничены ( D(Xi) ≤ C), то для сколь угодно малого числа ε вероятность неравенства будет сколь угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико.

Теорема Бернулли. Если в каждом из п независимых опытов вероятность р появления события А постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероятность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений А в п опытах от р будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1:

Теорема Пуассона:

Интегральная теорема Лапласа. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность наступления события А одна и та же и равна . Пусть m - число появления события A в n опытах. Тогда для достаточно больших n случайная величина m имеет распределение, близкое к нормальному с параметрами a=M(m)=np,.

Билет 12

Генеральной совокупностью называют совокупность всех мыслимых наблюдений (или всех мыслимых объектов интересующего нас типа, с которых снимаются наблюдения), которые могли бы быть произведены данном реальном комплексе условий (при неизменных условиях)

Выборка – это некоторое ограниченное множество объектов генеральной совокупности, которое рассматривают как эмпирический аналог генеральной совокупности.

Если выборочные наблюдения в конкретной выборке упорядочить по возрастанию, (произвести ранжирование), то получим новую последовательность случайных величин, (где ), называемую вариационным рядом.

Наблюдавшиеся значения xi признака X называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке—вариационным рядом

Выборочная средняя- .

Выборочная дисперсия

Билет 13

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Если все значения признака выборки различны, то

если же все значения имеют частоты , то

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения.

Если все значения признака выборки различны, то

если же все значения имеют частоты , то

Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней:

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, т.е. математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно

Для исправления выборочной дисперсии достаточно умножить ее на дробь получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через. Исправленная дисперсия является несмещенной оценкой.

Билет 14

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания при известном σ. Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. Известно среднее квадратическое отклонение этого распределения – σ. Требуется оценить математическое ожидание а по выборочной средней. Найдем доверительный интервал, покрывающий а с надежностью γ. Выборочную среднюю будем рассматривать как случайную величину(изменяется от выборки к выборке), выборочные значения признака– как одинаково распределенные независимые СВ с математическим ожиданием каждойа и средним квадратическим отклонением γ. Примем без доказательства, что если величина Х распределена нормально, то и выборочная средняя тоже распределена нормально с параметрами

Потребуем, чтобы выполнялось равенство Пользуясь формулойзаменивХ на и σ на, получимгде

Найдя из предыдущего равенства получим окончательную формулу:

Число t определяется из равенства по таблице функции Лапласа.