Теория вероятностей в примерах и задачах

странство, Bn – система борелевских множеств на Rn . Такая со-

вокупность ξ (ω ) = (ξ1(ω ) , ξ2( ω) , ...,ξ(n ω)

)

называется многомер-

ной СВ (или случайным вектором).

Функция n аргументов

Fξ

(x) = Fξ

ξ

...ξ (

x1, x2,..., xn)

=

1

2

n

x2 , ...,ξn(

ω) ≤ xn}

= P{ω

:ξ1(ω ) ≤ x1,ξ2(ω )

≤

называется n -мерной ф.р. n -мерной СВ.

Пример 7.1. Пусть î1(ù)

– СВ, равномерно распределенная

на отрезке [0,1], î2 (ù) = î12( ù) . Тогда î(ù) =

(î1( ù) , î2( ù) ) – дву-

мерная СВ. Найдем ее ф.р.

F

î2

(x , x ) = P{ù:î( ù)

≤ x , î(

ù)

≤ x} =

î1

1

2

1

1

2

2

= P{ù:î(ù) ≤ x , î2( ù)

≤

x } .

1

1

1

2

При x1 < 0, x2

<

0 это выражение равно 0, а при x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

=

P{ù : î1(ù) ≤ min(x1,

x2 )}

=

min(x

,

x

), если min(x

,

x

2

) ≤

1,

=

1

2

1

если min(x

)

> 1,

1,

,

x

1

2

1)

Fξ (x) является неубывающей по всем аргументам;

2)

lim Fξ

... ξ (x1, ..., xn) = 0 ;

xk → −∞

1

n

3)

lim

Fξ ...ξ

(x1, ..., xn ) =

1;

xk → +∞ , k= 1,n

1

n

P{ ù : î1( ù)

≤ x1, ..., îk−(1 ù) ≤ xk− 1, ak <

î(k

ù)

≤ bk ,

îk+ 1(ù) ≤ xk+ 1

, ..., în( ù) ≤ xn }

=

= Fî

... î (x1, ...,

xk− 1, bk , xk+ 1, ..., xn) −

1

n

−

Fî

... î (x1, ..., xk− 1, ak , xk

+

1, ..., xn) = ∆k Fî

... î

( x1, ..., xn) ,

1

n

1

n

а также

P{

} = ∆1∆2 ... ∆ n Fî ... î(

x1, ..., xn) .

ù : îk (ù) Ak , k = 1, n

1

n

F

(x

, x

2

) =

0, x1 <

0, x2 <

0, x1 +

x2 <

1,

ξ1ξ2

1

1, в остальных случаях.

Α

=

ω : 1 <

ξ

k

(ω ) ≤

1 ,

k

3

тогда

P{ù : îk (ù) Ak , k = 1, 2} = ∆1∆ 2

Fî î(

x1, x)2 =

1

2

= ∆

F

(x ,1) −

F

x ,

1

= F

(1,1) − F

1

,1 −

1

ξ ξ

1

ξ ξ

1

3

ξ ξ

ξ ξ

3

1

2

1 2

1

2

1 2

1

1

1

− Fξ ξ

1,

+

Fξ ξ

,

= 1

− 1

− 1+ 0

= − 1.

1 2

3

1 2

3

3

ξ (ω ) = (ξ1(ω ) , ξ2( ω) , ...,ξ(n ω) )

удобно описывать распределением

вероятностей

Pξ (x) = P{ω :ξ1( ω ) = x1 , ξ2( ω)

= x2 , ..., ξ(n ω) = xn} , ∑ Pξ( )x = 1,

где x = (x1, x2 , ..., xn) .

x

x

x

Fξ (x) = Fξ1 ...ξn( x1, ..., xn)

=

∫1

dt1 ... ∫n

pξ1 ...ξn( t1, ..., tn) dtn .

−

∞

− ∞

∂n F

...ξ

(x

, ..., x

)

= pξ ...ξ (x1, ..., xn ) ,

Здесь

ξ

n

1

n

1

∂x1 ... ∂xn

1

n

pξ1 ...ξn (x1 , ..., xn ) ≥

0,

+∞∫

dx1 ... +∞∫ pξ1 ...ξn( x1 , ..., xn) dxn = 11.

− ∞

− ∞

Функция pξ (x) = pξ

...ξ

( x1, ..., xn) ,

обладающая перечисленными

1

n

+∞

(x1, ... xk − 1, xk , xk + 1, ..., xn)dxk =

∫ pξ1 ... ξk− 1 ξk ξk+ 1 ... ξn

− ∞

= pξ

... ξ

k− 1

ξ

k+ 1

... ξ

(x1, ...,

xk − 1, xk + 1, ..., xn).

1

n

например,

G

P{ω :ξ12 (ω ) + ξ22(ω ) ≤ Z} =

∫∫ pξ1 ξ2 (x1, x2)dx1dx2 .

x2

+ x2

≤ Z

1

2

ξ (ω ) =

(ξ1(ω ) ,ξ2( ω)

, ...,ξ(n ω) ) ,

где ξk (ω )

{ 0,1, 2, ..., N}

, ∑n

ξ(k

ω)

= N ,

k = 1

Pξ (x) = Pξ1 ...ξn( x1 , ..., xn) =

N!∏n

pkxk

,

0 ≤ xk ≤

N,

k =

∑n

xk = N,

1, n,

k = 1

xk !

k = 1

, ∑n

pk = 11.

0 < pk < 1, k = 1, n

k = 1

pî(x) = pî ... î

( x1, ..., xn)

=

(2ð)− 2

G exp −

1

n

(x − a )g (x

a ) ,

=

1

n

−

n

∑

i

i

ij

j

j

2 i, j= 1

где G = ||gij||n× n – неотрицательно определенная матрица,

G

– ее

определитель.

Пример 7.3. Пусть (ξ (ω

),η(ω ) )

– двумерная СВ, имеющая

нормальное распределение,

G

x −

T

x −

p (x,

y) =

1

a

a

2π

exp −

G

, G = || g || .

ξ η

2

y −

b

y −

b

ik

2× 2

Найдем плотности распределения СВ î(ù)

и η (ω

) :

pξ (x) =

∞∫ pξ η( x, y) dy =

− ∞

1

g g

1

(g + g

)2

2

12

21

12

21

(x − a)

=

2π

g11 −

g

22

exp −

2 g11 −

4g

22

,

pη (x) =

∞∫ pξ η( x, y) dy =

−

∞

=

1

g22

−

g g

1

−

(g +

g

)2

b)

2

12

21

exp −

g22

12

21

(y −

.

2π

g11

2

4g11

Из условий нормировки

∞∫ pξ (x)dx =

∞∫ pη( y) dy = 1

−

∞

−

∞

для элементов матрицы G вытекает следующее требование:

g12 = g21 , g11 g22 − g12 g21 =

G

> 0 ,

т.е. матрица G должна быть симметричной и положительно оп-

ределенной.

Пусть

(Ω , F , P) – вероятностное пространство,

A, B F.

Если P(Β) >

0 , то условная вероятность события A

P(Α/Β) =

P(Α ! Β)

P(Β)

Α =

{ω :ξ1(ω

) ≤

x1,ξ2(ω )

≤

x2 , ...,ξn( ω) ≤ xn}

,

тогда

F

(x / Β) =

F

...ξ

(

x

, ...,

x

n

/ Β)

= P( Α/Β) .

ξ

ξ

n

1

Когда Fξ (x / Β)

1

– абсолютно непрерывная функция, то она имеет

плотность распределения вероятностей

pξ (x / B)

∂n F (x / B)

,

=

ξ

∂x1 ... ∂xn

которая называется условной плотностью вероятностей СВ ξ (ω

) .

Часто в качестве условия B используется событие, связан-

ное с тем, что некоторая СВ ξ (ω

)

приняла определенное значе-

ние. Допустим, что на (Ω , F , P)

определена многомерная СВ

η (ω

) =

(η (ω ) ,η ( ω) , ...,η ( ω) ) . Пусть

1

2

m

}.

Bξ = {ω : y ≤ η (ω ) ≤ y + ε} = {ω : yk ≤ η k (ω ) ≤ yk + ε, k =

1, m}

Если существует lim Fξ (x / Bε) =

Fξ( x / y) , то он называется услов-

ε→ 0

) =

ной ф.р. СВ î(ù) при условии η (ω

y .

Fξ (x / y) =

lim Fξ( x / Âε)

=

ε→ 0

=

lim Fξ (x / y ≤

η(ω ) ≤

y +

ε) =

lim P(ξ( ω ) ≤

x / y ≤ η( ω)

≤ y + ε) =

ε→ 0

ε→ 0

=

lim

P(ξ(ω ) ≤

x, y ≤ η( ω ) ≤ y + ε)

=

lim

Fξ η (x, y + ε) −

Fξ η( x, y)

,

P(y ≤ η(ω ) ≤ y + ε)

F

(∞ , y + ε) −

F (

∞ , y)

ε→ 0

ε→

0

ξ η

ξ η

где Fξ η (x, y) – совместная (n +

m) -мерная ф.р. СВ î(ù)

и η (ω

) .

y+ ε

'

y+ ε

∫ pξ η (t,τ )dτ =

∫ pξη' ( t,τ) dτ +( y + ε) ε'

pξ (η t, y +

)ε − —

y

ε

y

− 0 p

(t, y) →

p

( t, y) .

ξ η

ε→ 0

ξ η

x

x1

xn

В этих формулах ∫

dt означает n-мерный интеграл ∫ dt1 ... ∫

dtn ..

− ∞

∫x

− ∞

− ∞

Таким образом, Fξ (x / y) =

pξ( t / y) dt ,

где

pξ (x / y)

условная

− ∞

плотность вероятностей, которая определяется равенством

pξ (x /

y) =

pξ η

(x / y)

.

pη (y)

Из условия согласованности следует:

pξ (x) =

∞∫ pξ η ( x; y) dy =

∞∫ pξ( x / y) pη( )y dy,

− ∞

−

∞

pξ (x

/ y) =

pξ η (x, y)

=

pξ (x) pη ( y / x)

.

pη (y)

∞

∫ pξ (x) pη ( y / x) dx

∞∫ pξ( x / y) pη(

− ∞

Формула pξ (x) =

y)

dy

называется формулой пол-

− ∞

ной вероятности для плотностей распределения, а формула

pξ (x / y) =

pξ (x) pη( y / x)

–

∞

1

sin(x + y), 0 ≤ x ≤

π

, 0

≤

y ≤

π

,

pξ1 ξ2 (x, y) =

2

2

2

в остальных случаях.

0,

Найти ф.р. Fξ ξ

(x, y) .

1

2

pξ η (x, y) =

a

.

+ x2 +

y2 +

x2 y2

1

Найти коэффициент a , pξ (x),

pη( y)

; определить вероятность по-

падания случайной точки (ξ,η) в пределы квадрата с центром в

pξ1 ξ2 (x, y) =

a

.

π 2 (3 + x2 )(1+ y2 )

Найти: а) величину а; б) ф.р. Fξ ξ

(x, y) ; в) вероятность попадания

1

2

(ξ1, ξ2) вквадрат,которыйограниченпрямымиx = 0, y =

0, x = 1, y = 11.

7.4. Случайный вектор ξ =

(ξ1,ξ2 ,ξ3) имеет плотность рас-

пределения

pξ (x, y, z) =

a

.

x2 y2 + x2 z2 + y2 z2

+ x2 y2 z2

1+ x2 + y2 + z2 +

(2πr

2h)− 1, x2

+

x2

≤ r

2 ,

x

≤ h,

pξ1 ξ2 ξ3 (x1, x2 , x3 ) =

1

2

3

+ x2 > r 2

или

x

> h.

0, x2

2

3

1