Теория вероятностей в примерах и задачах
.pdf
η = 1n (ξ1 + ...+ ξn )
за один рабочий день.
8.42.Пусть ξ – случайное число изделий. Каждое изделие с
вероятностью p является бракованным. Обозначим через ξ1 число бракованных изделий, через ξ2 – число не бракованных изделий. Показать, что СВ ξ1 и ξ2 независимы тогда и только тогда, когда
ξимеет распределение Пуассона.
8.43.Совместное распределение
pij = P{ξ1 = ai , ξ2 = a j} , i,j = 1,3,
случайных доходов фирмы ξ1 , ξ2 в течении двух последовательных рабочих дней задано таблицей (ai {− 1000, 0, 1000} ) :
ξ 2 |
-1000 |
0 |
1000 |
|
ξ1 |
||||
|
|
|
||
-1000 |
0.2 |
0.1 |
0.3 |
|
0 |
0.1 |
0.2 |
0.2 |
|
1000 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
Найти:
а) одномерные распределения pi = P{ξ1 = ai} , pi = P{ξ2 = a j} ;
б) распределение среднего дохода ξ = 12 (ξ1 + ξ2 ) ;
в) совместное распределение среднего дохода ξ и прироста дохо-
да η = ξ2 − ξ1.
8.44*. Доказать, что сверка непрерывной ф.р. с любой ф.р. непрерывна.
8.45*. СВ ξ1, ..., ξn независимы и имеют стандартные нормальные плотности распределения
|
|
(x) = 1 |
|
x2 |
|||
|
|
e− |
i |
||||
p |
ξi |
2 |
, i = |
1,n. |
|
||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111
Показать, что СВ n j = ∑n |
|
|
|
aij ξi , j = 1,n, |
|||
i= 1 |
|
|
|
где матрица 
aij 
ортогональна, также независимы и распреде-
лены по стандартному нормальному закону.
8.46*. При проведении вычислений по методу Монте-Карло часто требуется последовательность независимых нормально распределенных СВ. В ЭВМ с помощью теоретико-числовых методов или с помощью физических датчиков успешно получают последовательность независимых равномерно распределенных на
[0, 1] СВ ξ1, ..., ξn , ... . Можно показать (см. пример 6.8), что СВ |
|||||||
η |
= |
F − 1 (ξ |
), где |
|
|
|
|
|
i |
i |
F(x) = 1 |
x |
|
t2 |
|
|
|
|
− |
||||
|
|
|
∫e |
|
dt. |
||
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
2π − ∞ |
|
|
|
|
имеет нормальное распределение. Однако строить по последовательности {ξi } последовательность нормально распределенных величин с помощью F − 1 (y) неудобно, т.к. выражение F − 1 (y) через элементарные функции отсутствует, а для запоминания F − 1 (y) требуется достаточно большой объем памяти. Одним из способов построения нормальных величин является следующий. Разбивают последовательность {ξi } на пары и по каждой паре ξi , ξi+ 1 с помощью преобразований
ϕ = 2πξi ; z = − ln ξi+ 1; r = 
2z;
ηi = r cosϕ; ηi+ 1 = r sinϕ
получают последовательность независимых нормально распределенных величин. В связи с этим возникают следующие вопросы: а) доказать, что z имеет показательное распределение; б) доказать, что ηi и ηi+ 1 независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (0, 1) .
112