Теория вероятностей в примерах и задачах

причем

u(x)

<

1 .

2πe

Доказать, что функция

1

x2

+ y2

p(x, y) =

e

−

+ u(x)u( y)

2

2π

yi zi

20

40

60

10

3 λ

2 λ

λ

20

λ

4 λ

2 λ

30

0

2 λ

5 λ

7.12. На вероятностном пространстве (Ω , F, P)

где Ω = [0,1]–

σ -алгебра борелевских множеств, P – мера Лебега, заданы две СВ:

1

1

− 1, ω

0,

0,

ω

0,

2

3

ξ (ω

) =

η (ω

) =

.

1

,

1

1, ω

1,

,1

ω

,1

2

3

7.13. СВ (ξ ,η)

имеет равномерное распределение в круге

K =

{(x, y) : x2 + y2 ≤

1}}. Найти условную плотность распределе-

ния

pξ (x / y) .

7.14. Совместная плотность распределения СВ ξ

и η

имеет вид

pξ η (x, y) = 1, (x, y) G,

0, (x, y)

G,

где

G

= (x, y) : 0 ≤

x ≤ 2, 0 <

y < 1− 1 x .

2

Найти условную плотность распределения pη (x / y) .

7.15. Совместная плотность распределения СВ ξ и η

опре-

деляется соотношением

p

− x2 − y2

, x ≥

0, y ≥ 0,

(x, y) = 4xye

ξ η

0, y < 0.

0, x <

Найти pξ (x / y), pη( y / x) .

y

7.16. Случайный вектор

1

ξ = (ξ1, ξ2) распределен рав-

номерно внутри заштрихован-

11

ного квадрата, рис. 7.1. Най-

ти маргинальные и условные

-1

x

плотности распределения его

компонент.

-1

7.17.* Каким условиям

должны удовлетворять числа

a, b, c для того, чтобы при под-

Рис. 7.1

ходящем выборе нормировоч-

Αe− (ax2 + 2bx+ c)

ной константы A функция

являлась плотностью

k = (k1 , k2 , ..., kn ), ∑n

ki = K,

i= 1

k

n

e i

P(k) = G

∏

i

,

µ

i= 1

i

ei = ∑n

e j p ji , i =

,

1, n

j= 1

n

∑ P(k) = 1, D(K) = k / ki ≥

0, i = 1,n

, ∑

ki = K .

k D(k)

i= 1

ства Bk , k =

случайные события Ak ,

k =

1, n,

1, n,

являются не-

зависимыми в совокупности, т.е.

m

m

P( Aj ) m ≤ n, 1≤ j1 <

j2 <

... <

jm ≤ n.

P !

Aj =

∏

i= 1

i

i= 1

i

Определение.

СВ ξk (ω) , k =

называются независимы-

1, n,

ми парами, если

1≤ i <

k ≤

n

и для любых борелевских мно-

жеств Bi и Bk события

Ai

и

Ak являются независимыми, т.е.

P(Αi ! Αk ) = P(Αi )P(Αk ).

Ясно, что СВ, независимые в совокупности, являются и не-

зависимыми парами.

Теорема. Пусть îk (ω

– независимые в совокупнос-

), k = 1, n,

ти СВ,

а fk (x), k = 1, n, –

борелевские функции. Тогда СВ

ηk (ω) =

f k (ξk( ω) ), k =

также независимы в совокупности.

1, n,

Доказательство. Пусть Β j

, B j

2

,..., Β j

m

– борелевские множе-

ства m ≤ n и 1 ≤

j1 < j2 < ... <

1

jm ≤

n. Тогда

P{ω:f jk (ξ jk (ω)) Βjk , k =

= P{ω:ξ jk (ω)

f j−k1(Βjk ), k =

=

1,m}

1, m}

= ∏m

P{ω:ξ jk (ω)

f j−k1(Βjk )} = ∏m

P{ω : f jk (ξ jk (ω)) Βjk} ..

k = 1

k = 1

xk , k =

1, n,

Fξ1...ξn (x1,..., xn) = ∏n

Fξk( xk) .

k = 1

Если Fξ1...ξn

(x1, ..., xn) – абсолютно непрерывная функция, то

имеет место следующее утверждение.

pξ1...ξn (x1, ..., xn) = ∏n

pξk( xk) .

k =

1

x

x

pξ1...ξn( t1, ...,tn) dtn = ∏n

Fξ1...ξn (x1, ..., xn )

=

∫1

dt1...∫n

Fξk( xk) =

−

∞

−∞

k = 1

= ∏n

x

x

x

∫k

pξk (tk )dtk =

∫1 dt1... ∫n ∏n

pξk( tk) dtk .

k = 1 − ∞

− ∞

− ∞

k = 1

Поскольку это выполняется x1, x2 , ..., xn ,

то отсюда следует, что

pξ1...ξn (t1, ..., tn) =

∏n

pξk( tk) .

k = 1

матрицы G были равны нулю, т.е. q12 = q21

=

0. Приведем анало-

гичное утверждение для дискретных СВ.

Теорема. Пусть ξ1(ω), ξ2( ω) , ..., ξn( ω)

−

СВ, каждая из кото-

P{ω:ξ1(ω) = x1, ξ2( ω) = x2, ..., ξn( ω) = xn} = ∏n

P{ω:ξ(k ω) = xk} .

k =

1

B1, ..., Bn – произвольные борелевские множества на прямой, тогда

P{ù:î(ω

) Â , ..., î ( ù)

 }

=

1

1

n

n

= P

ù: "{î

(ù) = x} , ...,

"{î(

ù)

= x } ,

1

1

n

n

j1

jn

объединение здесь берется по всем элементам множеств B1, ..., Bn

положительной вероятности. Значит,

P{ù :1(îù)

Â1, ..., în( ù)

Ân}

=

=

∑∑ ∑...

P{ù :1

(îù) =

x j

, ..., în( ù)

= x j }

=

j1

j2

jn

1

n

... P{ù : n

x j }

= ∑∑

∑

...

P{ù :1(îù) = x j}

î(ù) =

=

j1

j2

jn

1

n

P{ù :

}

=

∑

P{ù:î(ù) = x }

...

∑

n

î(ù) = x

=

1

j1

jn

j1

jn

=

P{ù :1(îù) Â1, ...,

în( ù)

Ân} .

Определение. Пусть Bn – система борелевских множеств в

R n , B – система борелевских множеств на прямой R . Функция n

аргументов f (x) R, x = ( x , ..., x )

R n , называется борелевской

1

n

(Β) = {x:f( x) Β} Bn B B,

(измеримой по Борелю), если

f − 1

т.е. прообраз борелевского множества из R является борелевским

множеством в Rn .

Теорема (о суперпозиции измеримых функций). Пусть

ξ(ω) − n -мерная СВ,

определенная на вероятностном про-

странстве (Ω , F , P) ,

f (x) – борелевская функция на Rn . Тог-

{ù:f(î(ù)) Â} ={

ù:î( )ù f(− 1)B} и f − 1(Β) –

борелевское множество из Rn , то

{ω : ξ(ω)

f − 1( B)} = ξ − 1(f − 1(B)) F,

Рассмотримследующуюзадачу.Пусть

fk (x1, x2, ..., xn), k =

–

1, m

борелевские функции на Rn . Определим СВ

çk (ù) = fk (î( ù) ) =

fk (î1( ù) , î2( ù) , ..., î(n

ù) ), k =

1, m.

где

ξ (ω

) = (ξ1(ω ) , ξ2(

ω) , ..., ξ(n ω)

) −

n -мерная СВ.

СВ η(ω)

= (η ( ω) , η ( ω) , ..., η(

ω)

) является

m -мерной. Пусть

1

2

m

)

и η (ω ) . Нужно вы-

Fξ (x) и Fη (y) −

ф.р. соответственно СВ ξ(ω

разить Fη (y) через Fξ (x)

и систему функций

f k (x), k = 1, m.

Допустим, что ф.р. F (x)

– абсолютно непрерывная. Рассмот-

рим следующие случаи.

ξ

1) Пусть m = n и все функции f k (x),

k =

являются диф-

1,n,

ференцируемыми и функционально независимыми, для последне-

го достаточно, чтобы

det Α = det||aik|| =

det

∂fi (x)

≠

0 x.

∂xk

В данном случае будем иметь:

Fη (y) =

P{ η1 ≤

y1 , ..., ηn ≤

yn}

=

P{f(k ξ1 , ...,

ξ)n

≤

=

yk , k = 1, n}

= ∫ dx1 .

.

. ∫ pξ (x1 , ...,

xn )dxn .

{ fk (x1, ..., xn )≤ yk ,k =

1, n}

Cделаем замену переменных

f k (x1,..., xn )

=

zk ,

k =

тогда

1, n,

xk

=

qk (z1, ..., zn ),

f k [q1( z1, ..., zn) , ..., qn(

z1, ..., zn) ]=

=

zk ,

q( f1 (x1, ..., xn ), ..., f k( x1, ..., xn) ) =

xk ,

k = 1, n,

и поэтому

Fç(y) =

= ∫ dq1(z1, ..., zn )...∫ pî(q1(z1, ..., zn ), ..., qn( z1, ..., zn) )dqn( z1, ..., zn)

=

{zk ≤ yk ,k =

1,n}

y1

yn

pî(q1(z1, ...,zn), ..., qn( z1, ...,zn) )

∂(q1, ..., qn)

= ∫ dz1... ∫

dzn ,

∂(z , ..., z

n

)

− ∞

− ∞

1

где

∂(q1,...,qn)

– якобиан невырожденного преобразования

∂(z ,..., z

)

1

n

xk =

qk (z1 , ..., zn ),

k =

т.е. определитель ( n × n ) – матрицы G

1, n,

с элементами q

ik

=

∂qi (z1 , ..., zn )

. Таким образом,

F

(y) также

∂zk

η

∂(q1 , ..., qn )

p

(y

, ..., y

) =

p

(q ( y

, ...,

y ) , ..., q (

y

, ...,

y ) )

.

∂(y1 , ..., yn )

η

1

n

ξ

1

1

n

n

1

n

p (y) = p (f − 1( y) )

∂f − 1(y)

.

∂(y)

η

ξ

где f (y) = ( f1( y) , ..., f n( y)

) =

( f1( y1 , ...,

yn) , ...,

f n( y1 , ..., yn) ).

2) Пусть теперь m <

n

и rang

∂fi (x)

= m

x .

∂x

k

pç(y1, ..., ym) = ∞∫ dym+ 1... ∞∫ p

(y1, ..., yn)dyn =

ç

− ∞

− ∞

∞

∞

∂(q1, ..., qn)

=

∫ dym+ 1... ∫ pî(q1(y1, ..., yn),...,qn( y1, ..., yn) )

dyn .

∂(y

, ..., y

n

)

− ∞

− ∞

1

Пример 8.3. Пусть у нас есть двумерная СВ

ξ(ω) = (ξ1( ω) ,ξ2( ω) ).

Образуем СВ η(ω) = ξ1(ω) +

ξ2( ω) и найдем ее плотность распре-

деления. В данном случае n = 2 , m = 1,

f1(x1, x2) = x1 + x2 = y1 . Т.к.

m <

n , n −

m = 1, то нужно ввести еще одну функцию,

выберем

f2 (x1, x2) =

x2 =

y2 . Тогда обратное преобразование определяется

функциями x1 =

q1(y1, y2) =

y1 − y2, x2 =

q2( y1, y2) =

y2. Поэтому

∂(q1, q2)

=

1 − 1

=

1 и pη (y) =

∞∫ pξ( y − y2, y2) dy2.

∂(y1, y2)

0 1

− ∞

pη (y) =

∞∫ pξ1( y − y2) pξ2( y2) dy2.

− ∞

распределения вероятностей и обозначается

pη = pξ pξ .

1

2

Пример 8.4. Пусть СВ ξ1(ω) , ξ2 (ω) независимы и имеют

стандартные гамма–распределения с параметрами

p1 и p2

соответственно: pξi (x) =

Γ − 1( pi) x pi − 1e− x, x ≥

0,i = 1,2,

где Г(p) =

+∞∫x p− 1e− xdx –

гамма-функция.

Покажем,

что СВ