Классификация событий.

Случайным событием называется любой факт, который в результате испытания может произойти и не произойти.

«Испытание» в этом определении – выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдаются то или иное явление.

Примеры:

• Появление герба, либо реверса

• Выигрыш приза

• Выход бракованного изделия с конвейера

Важно заметить, что «событие» - не какое-либо происшествие, а лишь возможный исход, результат.

Если при каждом испытании, при кот. происходит событие А, происходит и событии В, то А влечет за собой В.

Если А влечет за собой В, а В влечет за собой А, то события А и В – равносильные.

Определение.

События называются несовместными, если выполнение одного из них исключает выполнение другого, в противном случае – события совместные.

Несовместные события. Примеры:

• Выигрыш одновременно двух призов по одному билету.

• Получение трех оценок на экзамене.

Определение.

Событие называется достоверным, если в результате испытания, оно обязательно должно произойти.

Определение.

Событие называется невозможным, если в результате испытаний оно вообще не может произойти.

Пример: Партия стандартных изделий и извлечение нестандартного.

Определение.

События называются равновозможными, если в результате испытаний по условию симметрии¹*, ни одно из этих событий не является объективно более возможным.

Пример: Выпадение орла или решки.

Определение.

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытаний обязательно должно произойти хотя бы одно из них.

Несколько событий образуют полную систему, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания.

Означает, что в результате испытания должно произойти ОДНО и только одно событие.

Частным случаем событий, образующих полную группу являются противоположные события (А и неА)

Численная мера степени объективной возможности наступления события – вероятность события.

Пусть исходы некоторых испытаний образуют полную группу и равновозможные, такие исходы называются элементарными. (при этом говорят, что испытания сводятся к схеме случаев).

Определение.

Случай называется благоприятствующим* событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А.

Классическое определение вероятности.

Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих случаев событию А к общему числу случаев.

Р(А) = m/n

m – число случаев благоприятствующих

n – общее число случаев

Действия над событиями.

Суммой событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных:

• Если А и В совместные события, то сумма А и В (А+В) означает наступление либо А, либо В

• Если А и В несовместные, то А+В означает: А∩В

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении этих событий.

Разностью двух событий А и В называется событие, которое состоится, если А произойдет, а В нет.

Ω – множество всех возможных исходов некоторого опыта, каждый элемент этого множества называется элементарным событием²* или исходом. Само множество Ω называется пространством элементарных событий. Любое событие А рассматривается как некоторое подмножество Ω.

3. Классическое, статистическое, геометрическое, аксиоматическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности.

Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих* случаев события А к общему числу случаев.

Р(А) = m/n m – число благоприятствующих случаев

n – общее число случаев

Классическое определение вероятности рассматривается как действительное определение вероятности.

Св-ва вероятности события:

1. вероятность события заключена между 0 и 1, т.е. 0 ≤Р(А)≤1

2. вероятность достоверного события равна 1, т.е. Р(Е) = 1

3. вероятность невозможного события равна 0, т.е. Р(D) = 0

Статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией¹* возможных исходов. Существует большой класс событий, которые не укладываются в схему случаев, т.е. не обладают симметрией возможных исходов.

Пример: неравновозможные события. В этом случае используют статистическое определение вероятности.

Статистическим определением вероятности события А называется относительная частота появления этого события в n произведенных испытаниях.

Р(А) = m/n (опытная характеристика)

m – число испытаний, в которых появилось событие А

n – общее число испытаний

Статистическое определение применимо не к любым событиям, а только к тем, которые обладают определенными свойствами**:

1. Рассматриваемое события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

2. События должны обладать стат. устойчивостью, т.е. в различных сериях испытаний относительная частота появляющегося события должна меняться незначительно и все время находиться около постоянного числа, кот. и является вероятностью события.

3. число испытаний в результате кот. появлялось событие А должно быть достаточно велико.

Геометрическое определение вероятности.

Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытаний. Иногда этот недостаток преодолевается использованием геометрического определения вероятности, т.е. находят вероятность попадания точки в некоторую область.

Пусть, например, плоская фигура g составляет часть фигуры G

g принадлежит G

На фигуру G наудачу бросается точка. Пусть событие А состоит в попадании этой точки на фигуру g, тогда Р(А) пропорционально площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g.

Вероятность этого события:

Р(А) = S_g/S_G

Фигура g благоприятствует событию А, а область применения геометрической вероятности может быть одномерной, двухмерной … n-мерной.

В общем случае:

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей событию А, к мере всей области:

Р(А) = mesg/mesG

Аксиоматическое определение вероятности.

Аксиоматика теории вероятности исходит из основных свойств вероятности событий, в кот. применимы классическое или статистическое определение вероятности.

Аксиоматическое определение вероятности, как частные случаи, включает в себя и классическое и статистическое определения вероятности и преодолевает недостатки каждого.

Формулировка.

Каждому событию А поставим в соответствие некоторое число, называемое вероятностью событий, т.к. любое событие есть множество, то Р(А) – есть числовая функция множества и она должна удовлетворять след. свойствам:

1. Вероятность любого события неотрицательна: Р(А)≥0

2. Вероятность достоверного события равна 1: Р(Ω) = 1

3. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А₁+А₂+ ….+ А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) +…+Р(А_n)

Из аксиом можно вывести основные свойства вероятностей**

аксиомы теории вероятностей позволяют вычислить вероятности любых событий через вероятности элементарных событий² *.

4. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Следствие. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

«Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий»

Р(А + В + …k) = Р(А) + Р(В) + …+ P(k), где А, В, …, k – несовместные.

Доказательство.(сумма двух событий)

Пусть в результате испытаний из общего числа n равновозможных и несовместных исходов испытаний А благоприятствует m₁ случаев, а В – m₂ случаев. Тогда вероятность события А (по классич. опр.) равна m₁/n, а

Р(В) = m₂/n , т.к. события А и В несовместные, то ни один из случаев благоприятствующий событию А, не благоприятствует событию В, след. (А+В) благоприятствует (m₁+m₂) случая, след.

Р(А+В) = (m₁+m₂)/n = m₁/n + m₂/n = P(A)+P(B)

Следствие 1:

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1.

Следствие 2:

Сумма вероятностей противоположных событий так же равна 1.

!!!Замечание: Рассмотренная теорема применима только для несовместных событий.

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

«Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения»

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ) А и В – совместные события

5. Условная вероятность. Независимые события. Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения конечного числа событий.

Р(В) имеет смысл только при выполнении некоторого комплекса условий, при изменении условий, вероятность события может измениться.

Определение.

Если комплекс условий, при которых изучалась вероятность события В добавить новое условие А, то полученная вероятность, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью и обозначается Р_А(В).

Строго говоря, «безусловная» вероятность события В, так же является условной вероятностью при выполнении некоторых условий.

ВЫВОД ФОРМУЛЫ:

Пусть из общего числа n равновозможных и несовместных исходов событию А благоприятствует m случаев, событию В благоприятствует k случаев. Совместному появлению событий, т.е. АВ благоприятствует l исходов, тогда по классич. опр. вер-ти:

Р(А) = m/n, тогда если событие А произошло

Р(АВ) = l/n

число всех равновозможных исходов сократилось с n до m, поэтому условная вероятность считается:

Р_А(В) = l/m = l/n / m/n = Р(АВ) /Р(А)

вероятность совместного появления:

Р(АВ) = Р_А(В) Р(А)

Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется о того произошло событие А или нет, т.е. Р_А(В) = Р(В)

Теорема:

«Если событие А не зависит от события В, то событие В не зависит от события А»

Зависимость или независимость всегда взаимные события.

несколько событий А,В,С называются независимыми в совокупности, если независимы любые два из них и независимо любое из данных событий и любые комбинации этих событий.

Для независимых событий теорема умножения имеет вид:

Р(АВ) = Р(А)Р(В)

!!!Замечание:

1. В основе независимости событий лежит их физическая независимость означающая что мн-ва случайных факторов, приводящих к тому или иному исходу испытаний, не пересекаются или почти не пересекаются.

2. Попарная независимость нескольких событий не означает их независимость в совокупности.

6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) А₁, А₂, … , образующих полную группу, то вероятность события F равна суме произведения каждого события на соответствующее условие вероятности события F:

P(F) = Σ P(A_i) P_Ai(F)

Следствием из теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса. Она применяется, когда событие F произошло и необходимо произвести количественную переоценку вероятностей гипотез.

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события F, т.е. по мере получения информации, можно проверить и комментировать выдвинутые до испытания гипотезы. Формула используется для управления экономикой. Используется для оценки неизвестных параметров в стат. анализах:

P(A_i) P_Ai(F)

Р_F (A_i) = Σ P(A_i) P_Ai(F)

7. Испытания Бернулли. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний при данном комплексе условий, в кот. представляет интерес вероятность числа m, наступление некоторого события А в n испытаниях.

Например:

• Определить вероятность определенного числа попаданий в мишень при нескольких выстрелах

• Вероятность некоторого числа бракованных изделий в данной партии.

Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то испытание называется независимым относительно события А.

Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Данная последовательность независимых испытаний получила название схема Бернулли.

Формула Бернулли

Теорема:

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях одна.

Рm,n = C_n^mp^mq^n-m

q = 1-p, p = const

Число m₀ наступления события А в n независимых испытаниях , обладающее наибольшим значением вероятности, называется наиболее вероятнейшим.

Нахождение m₀

np – q≤ m₀ ≤np+ q

Всегда можно найти целое число, удовлетворяющее этому неравенству.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то вероятность того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно больших m равна:

Pm,n ≈ f(x) / √npq

x²/2

f(x) = 1/√2π * e

x = (m – np)/ √npq

q = 1 - p

Чем больше m, тем точнее приближенная формула. Вычисление по этой формуле дает незначительные погрешности.

Для упрощения расчетов по этой формуле составлена таблица f(x), однако пользуясь таблицей следует учитывать св-ва:

1. Функция f(x) является четной

2. Функция f(x) монотонно убывает при х > 0

3. х → ∞, f(x) → 0

практически можно считать, что если х > 4, то значение функции ≈ 0

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b включительно, при достаточно большом m:

x₂ -t²/2

Pn(a≤ m≤ b) ≈ 1/√2π∫ e dt

x₁

x₁ = (a – np)/ √npq

x₂ = (b – np)/ √npq

Для упрощения вычислений вводим спец функцию:

_х -t²/2

Ф(х) = 1/√2π∫edt

⁰

Свойства функции Лапласа.

1. Функция Ф(х) нечетная: Ф(-х) = - Ф(х)

2. Ф-ция Ф(х) монотонно возрастает, причем при х→∞, Ф(х)→1/2

С помощью функции Лапласа можно найти вероятность отклонения относительной частоты (m/n) от вероятности p в n независимых испытаниях:

p(│m/n - p│≤ ε) = 2Ф (ε) √n/pq

8. Формула Пуассона.

Предположим необходимо вычислить вероятность появления события А в большом количестве испытаний.

Теорема.

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании → 0, при неограниченном увеличении числа n (испытаний), n→∞, причем произведение nxp→λ (постоянный), то вероятность того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет равенству:

lim Pm,n = Pm(λ) = λ^m e^{- λ} / m! *

^n→∞

np→ λ, λ = np

Строго говоря, условие теоремы Пуассона p→0, при n→∞, так что np→ λ противоречит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, однако если вероятность постоянна и мала, а число испытаний велико, то λ (≤10) незначительна. Тогда из предельного равенства * следует приближенная формула Пуассона:

Pm,n ≈ λ^m e^{- λ}/n! = Pm(λ)

9. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины.

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений.

Примеры случайных величин:

1. Число родившихся детей в течении суток в Москве

2. Число бракованных изделий в данной партии

3. Число произведенных выстрелов до 1-го попадания

4. Дальность полета артиллерийского снаряда

5. Расход электроэнергии на предприятии за месяц

Дискретная случайная величина – если множество значений случайной величины конечное или бесконечное, но счетное.

Непрерывная случайная величина – величина, которая имеет бесконечное множество значений.

Примеры:

1)3) – дискретные случайные величины с бесконечным, но счетным множеством

1)2) – дискретные случайные величины с конечным множеством значений

4)5) – непрерывные случайные величины

Случайная величина называется функцией заданной на множестве элементарных исходов X= f(w), w€Ω

Наиболее полным исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Закон распределения – это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан таблично, аналитически, графически

Х:

х1	х2	…хn
p1	p2	…pn

События, состоящие в том, что в результате испытания случайная величина принимает одно из этих значений (х₁…), являются несовместными и единственно возможными, т.е. образуют полную группу, след. сумма вероятностей равна 1.

Вероятность любого события, связанного с данной случайной величиной, может быть найдена, если задан закон распределения. В частности, ряд распределения случайной величины однозначно определяет ее функцию распределения F(x). В общем случае для случайной величины F(x) находится по формуле

F(x) = Σ p_k

k:x_k<x

и представляет собой кусочно-постоянную функцию, при x< min(x₁,x₂,…,x_n) равную 0, при

x>max(x₁,x₂,…x_n) равную 1 и имеющую скачки p₁,p₂, …p_n в точках x₁,x₂,…x_n соответственно_.*

Функция распределения любой дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которых происходят в точках соответствующих возможных значений случайных величин и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков равна 1.