7.4 Графическое изображение стат. Распределения.

Наиболее часто используют полигон, гистограмму.

Полигон используется для изображения дискретного вариационного ряда. Представляет собой ломанную, отрезками, которой соединяют точки с координатами (x_i;n_i)

Гистограмма служит только для изображения интервальных вариационных рядов. Представляет собой ступенчатую фигуру состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами которых является знач. n_i/ h.

Площадь гистограммы равна объему выборки.

Кумулята – это кривая частости. для дискретного ряда она представляет собой ломанную, соединяющую точки с координатами (x_i;n_i/n), для интервального ряда ломаная начинается с точки абсцисса которой равна началу первого ряда, а ордината 0. другие точки этого ряда соответствуют концам этого ряда.

Вариационный ряд является стат. аналогом распределения признака СВ. В этом смысле полигон аналогичен кривой распределения, а эмпирическая функция распределения – функции распределения СВ.

7.5. Числовые характеристики статистического распределения.

Вариационный ряд содержит достаточно полную информацию об изменчивости признака, но обилие численных данных с помощью которых он задается усложняя их использование. На практике часто оказывается достаточным знание сводных характеристик рядов – средних или характеристик центральных тенденций. Расчет стат. характеристик – второй этап обработки данных.

7.5.1. Средние величины.

Средние величины характеризуют значения признака вокруг которого концентрируется наблюдение.

Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты и деленная на сумму частот6

_{_ n}

x = 1/n ∑x_in_i (7.3)

ⁱ⁼¹

Свойства средней арифметической.

Свойства аналогичны свойствам мат. ожидания. Кроме этого используют структурные или порядковые средние величины. Медиана вариационного ряда называется значением признака, приходящегося на середину ранжированного ряда. Для дискретного вариационного ряда с четным числом членов – это полусумма двух серединных вариантов. Для ряда с нечетным числом членов – это серединный вариант.

Для интервального вариационного ряда находится медианный интервал, а знач. медианы на этом интервале находится с помощью линейного интерполирования.

Достоинство медианы заключается в том, что на нее не влияет изменение крайних членов вариационного ряда. Медиана предпочтительная средняя арифметическая для ряда, у которого крайнее варианты оказываются очень большими или малыми.

Мода вариационного ряба – это варианты которым соответствует наибольшая частота. Она не изменяется при изменении крайних членов ряда – обладает некоторой устойчивостью к вариациям признака.

7.5.2 Показатели вариации.

Средние величины не отражают изменчивость значений признака. Простейший показатель вариации – вариационный размах. Даны разности наибольших и наименьших знач. вариации R = x_max – x_min Наибольший интерес представляет рассеяние – наблюдение вокруг средней величины.

Дисперсия вариационного ряда – средняя арифметическая квадратич. отклонений рядов от их средних арифметических.

_{_}

σ² = ∑ (x_i - x)² * n_i/n (7.4)

Эту дисперсию называют выборочной или эмпирической.

Подчеркивая, что она находится по опытным или статистическим данным.

Среднее линейное отклонение вариационного ряда – это средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их средней арифметической.

Гипергеометрическое распределение.

Опред.

Дискретная случайная величина имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 0;1; … min (n;M), n, N, M – натуральные числа, с вероятностями:

P (X=m) = C_M^m * C ^n-m _N-M / Cⁿ_N

Вопросы к экзамену!

1. Формулы комбинаторики.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположение их в группы по заданным правилам. В частности, задачи о подсчете числа комбинаций, получаемых из элементов заданного множества. Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух важных правил: правило умножения и правило сложения.

Правило умножения.

Если из некоторого конечного множества 1-й объект (элемент х), можно выбрать n₁ способами, и после каждого такого выбора 2-й объект (эл-т y) может быть выбран n₂ способами, то оба объекта можно выбрать n₁х n₂ способами. Этот принцип распространяется на 3 и более элементов.

Например:

Сколько 3-х значных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если

а) цифры не повторяются

б) цифры повторяются

а) 5х4х3 = 60 – способов

5 вариантов для выбора 1-й цифры

4 варианта для выбора второй

3 варианта для выбора третьей

б) 5х5х5 = 125 – возможностей (т.к. для всех цифр всегда пять вариантов, т.к. с повторениями)

Правило суммы.

Если некоторый объект х можно выбрать n₁ способами, объект у можно выбрать n₂ способами, причем 1-й и 2-й способы не пересекаются, то любой из указанных объектов

х или у можно выбрать n₁+ n₂ способами. Правило распространяется на любое конечное число объектов.

Например:

В группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать двух студентов одного пола?

по правилу умножения:

2-х девушек можно выбрать: 14х13 = 182 способами

2-х юношей: 6х5=30 способами

по правилу сложения:

182 + 30 = 212 способов

Решение вероятностных задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы.

Каждая из них определяет число всевозможных исходов в некотором опыте, состоящем в выборе на удачу m элементов из n элементов рассматриваемого множества.

Существует две схемы выбора m элементов из исходного множества:

1. БЕЗ ВОЗВРАЩЕНИЯ

2. С ВОЗВРАЩЕНИЕМ

В 1-ом случае выбранные элементы не возвращаются обратно, их можно отобрать сразу или последовательно отбирать по одному.

Во 2-ом случае выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением элемента на каждом шаге.

Схема выбора без возвращения.

Пусть задано некоторое множество, состоящее из n элементов.

Определение1

Размещением из n элементов по m (0 ≤ m ≤ n)

называется любое упорядоченное подмножество, содержащее m элементов, или это выборки, состоящие из элементов, отличающихся друг от друга либо составом, либо порядком размещения.

(1) А^m_n = n!/ (n - m)! n! = 1x2x3x...xn

Например:

Составить различные размещения по 2 элемента из элементов множества D. D = {a, b, c}

А²₃ = 3!/ (3-2)! = 6

Определение2

Перестановкой из n элементов

называется размещение из n элементов по n. Перестановки – это выборки из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов.

(2) P_n = n! = Aⁿ_n = n!/0! = n!

Например:

Составить различные перестановки из элементов множества Е = {2;7;8}

P₃ = 3! = 6

Определение3

Сочетание из n элементов по m

называется любое подмножество, кот. содержит m элементов данного множества, т.е. это выборки, каждая из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов и кот. отличаются друг от друга хотя бы одним из элементов (составом)

(3) C^m_n = n!/m!(n-m)!

Например:

Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в кот. 10 красных и 4 розовых гвоздики. А если выбрать 1 красн. и 2 розовые?

1. С³₁₄ = 14!/3!(14-3)! = 12х13х14/6 = 364 способа

2. 10 способов – красн. С²₄ = 4!/2!2! = 10

6 способов – розов. С¹₁₀ = 10!/1!(10-1)! = 6

10х6 = 60 способов

Схема выбора с возвращением.

Если, при выборке m элементов из n, элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещение с повторениями.

Они отличаются друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений.

_

(4) А^m_n = n^m

Например:

Сколько 5-тизначных чисел можно составить, используя цифры: а)2,5,7,8

_ б)0,1,2

а) А⁵₄ = 4⁵ = 1024

б) А⁵₃ = 2 х 3⁴ = 162 (т.к. при значении 0, только два способа выбора)

Если при выборе m элементов из n, элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то это – сочетания с повторениями.

(5) С^m_n = C^m_n+m-1

Пусть в множестве с n элементами есть k различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n₁ раз, 2-й элемент – n₂ раз и т.д. k_эл = n_k число раз, причем

n₁ + n₂ + …+ n_k = n. Перестановки из n элементов данного множества называются перестановки с повторениями.

2. Понятие случайного события, элементарный исход, множество элементарных событий. Достоверное и невозможное событие. Классическое определение вероятности события. Алгебра событий: сумма, произведение событий. Несовместные события. Полная группа событий. Противоположные события.