15. Функция распределения и её свойства. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал.

Функцией распределения F(x) случайной величиныХназывается вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшеех:

F(x) =p(X < x). (4.1)

Свойства функции распределения.

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1. Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.

2. Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x₂) ≥F(x₁) прих₂>x₁. Это следует из того, чтоF(x₂) =p(X < x₂) =p(X < x₁) +p(x₁≤X < x₂) ≥F(x₁).

3. В частности, если все возможные значенияХлежат на интервале [a, b], тоF(x) = 0 прих≤аиF(x) = 1 прих≥b. Действительно,X < a – событие невозможное, аX < b – достоверное.

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна разности значений функции распределения на концах интервала:

p(a < X < b ) =F(b) –F(a).

Если R — это непрерывная случайная величина, которая распределена равномерно в интервале (0, 1), а r — ее возможные значения, то вероятность попадания величины R (в результате испытания) в интервал (с, d), принадлежащий интервалу (0, 1), равна его длине: В самом деле, плотность рассматриваемого равномерного распределения равна:

а значит, вероятность попадания случайной величины R в интервал (с, d) будет:

16. Плотность распределения и её свойства. Вероятностный и геометрический смысл плотности распределения.

Функция f(x), называемаяплотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле:

f(x) =F′(x), (5.1)

то есть является производной функции распределения.

Свойства плотности распределения.

1. f(x) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.

2. , что следует из определения плотности распределения.

3. Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) определяется формулой Действительно,

4. (условие нормировки). Его справедливость следует из того, чтоа

5. так какпри

Таким образом, график плотности распределения представляет собой кривую, располо-женную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при(последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.

Вероятностный смысл плотности распределения.

Обозначим через F(x) функцию распределения непрерывной случайной величины X. На основании определения плотности распределения f(x) = F'(x) или

Разность обусловливает вероятность того, чтоX будет иметь значение, которое принадлежит интервалу (x,x + Δx). Следовательно, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (x,x + Δx) к длине этого интервала (при Δx → 0) равен значению плотности распределения в точке х. Рационально рассматривать значение функции f(x) в точке х как плотность вероятности в этой точке.

Таким образом, функция f(х) находит плотность распределения вероятности для каждой точки х. Мы знаем, что приращение функции приблизительно равно дифференциалу функции:

или

Поскольку F'(x) = f(x) и dx=Δx, то

Запишем вероятностный смысл этого равенства: вероятность того, что случайная величина примет значение, которое принадлежит интервалу приблизительно равна произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала Из геометрических соображений можно сказать: вероятность того, что случайная величина будет иметь значение, которое принадлежит интервалу примерно равна площади прямоугольника с основанием и высотой f(x).

Тогда площадь прямоугольника равная произведению только приблизительно равняется площади криволинейной трапеции — истинной вероятности, определяемой определенным интегралом